Авторская методика:" Построение графиков функций с помощью дифференциального исчисления".
методическая разработка (11 класс)

Построение графиков функций с помощью дифференциального исчисления

Нахождение асимптот графика функции 

Определение. Асимптотой графика функции  называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки  графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные , горизонтальные , наклонные .

Очевидно, горизонтальные являются частными случаями наклонных (при ).

Нахождение асимптот графика функции основано на следующих утверждениях.

Теорема 1. Пусть функция  определена хотя бы в некоторой полуокрестности точки  и хотя бы один из ее односторонних пределов в этой точке бесконечен, т.е. равен  или . Тогда прямая  является вертикальной асимптотой графика функции.

Таким образом,  вертикальные асимптоты графика функции следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения (если это конечные числа).

Теорема 2. Пусть функция  определена при значениях аргумента, достаточно больших по абсолютной величине, и существует конечный предел функции . Тогда прямая  есть горизонтальная асимптота графика функции .

Может случиться, что , а , причем  и   конечные числа, тогда график имеет две различные горизонтальные асимптоты: левостороннюю и правостороннюю. Если же существует лишь один из конечных пределов  или , то график имеет либо одну левостороннюю, либо одну правостороннюю горизонтальную асимптоту.

Теорема 3. Пусть функция  определена при значениях аргумента, достаточно больших по абсолютной величине, и существуют конечные пределы   и . Тогда прямая  является наклонной асимптотой графика функции .

Заметим, что если хотя бы один из указанных пределов бесконечен, то наклонной асимптоты нет.

Наклонная асимптота так же, как и горизонтальная, может быть односторонней.

Пример 1. Найдите все асимптоты графика функции .

Решение.

Функция определена при . Найдем ее односторонние пределы в точках .

Так как  и  (два других односторонних предела можно уже не находить), то прямые  и  являются вертикальными асимптотами графика функции.

Вычислим

 (применим правило Лопиталя) =

.

Значит, прямая   горизонтальная асимптота.

Так как горизонтальная асимптота существует, то наклонные уже не ищем (их нет).

Ответ: график имеет две вертикальные асимптоты  и одну горизонтальную .

Асимптоты графика функции

Виды асимптот

Определение

Прямая  называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений  или  равно  или  .

Замечание. Прямая  не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке  . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Определение

Прямая  называется горизонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений  или  равно  .

Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.

Определение

Прямая  называется наклонной асимптотой графика функции , если

Нахождение наклонной асимптоты

Теорема

(условиях существования наклонной асимптоты)

Если для функции  существуют пределы  и , то функция имеет наклонную асимптоту  при  .

Замечание

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при  .

Замечание

Если при нахождении горизонтальной асимптоты получается, что , то функция может иметь наклонную асимптоту.

Замечание

Кривая  может пересекать свою асимптоту, причем неоднократно.

Пример 2 : Найти асимптоты графика функции 

Решение. Область определения функции:

а) вертикальные асимптоты: прямая  - вертикальная асимптота, так как

б) горизонтальные асимптоты: находим предел функции на бесконечности:

то есть, горизонтальных асимптот нет.

в) наклонные асимптоты :

Таким образом, наклонная асимптота: .

Ответ. Вертикальная асимптота - прямая .

Наклонная асимптота - прямая .

Пример 3 : Найдем асимптоты графика функции 

1. Начнем с области определения функции. Функция  не определена в точке , следовательно прямая  является вертикальной асимптотой.

2. Степень числителя дроби    на единицу больше степени знаменателя, поэтому предел этого отношения при  отношения равен бесконечности. Следовательно, график функции    не имеет горизонтальной асимптоты.

3. Попробуем найти наклонную асимптоту.

(Предел функции равен отношению коэффициентов при максимальных степенях  в числителе и знаменателе дроби).

Итак, уравнение наклонной асимптоты: 

График функции , построенный с помощью специальной программы, показывает, что асимптоты были найдены верно:

Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Существует способ построения графика функции, основанный на аналитическом исследовании функции. Исследование проводится по следующей примерной схеме: 
1) выяснение области определения функции; 
2) решается вопрос о четности или нечетности функции; 
3) исследуется периодичность функции; 
4) находят точки пересечения кривой с осями координат; 
5) находят точки разрыва функции и определяют их характер; 
6) проводят исследования на экстремум, находят экстремальные значения функции; 
7) ищутся точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости кривой; 
8) отыскание асимптот кривой; 
9) полученные результаты наносят на чертеж и получают график исследуемой функции.

ПРИМЕР №1. Провести полное исследование функции             и построить ее график.

1) Функция определена всюду, кроме точек .

2) Функция нечетная, так как f(-x) = -f(x), и, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому ограничимся исследованием только для 0 ≤ x ≤ +∞.

3) Функция не периодическая.

4) Так как y=0 только при x=0, то пересечение с осями координат происходит только в начале координат.

5) Функция имеет разрыв второго рода в точке       , причем          , . Попутно отметим, что  

прямая  – вертикальная асимптота.

6) Находим  и приравниваем ее к нулю: , откуда x1 = -3, x2 = 0, x3 = 3. На экстремум

 надо исследовать только точку x=3 (точку x2=0 не исследуем, так как она является

граничной точкой промежутка [0, +∞)).

В окрестности точки x3=3 имеет: y’>0 при x<3 и y ’<0 при x>3, следовательно, в точке x3 функция имеет максимум, ymax(3)=-9/2

.

Найти первую производную функции

Для проверки правильности нахождения минимального и максимального значения.

7) Находим . Видим, что y’’=0 только при x=0, при этом y”<0 при x<0 и y”>0 при x>0,

следовательно, в точке (0,0) кривая имеет перегиб. Иногда направление вогнутости

 может измениться при переходе через разрыв кривой, поэтому следует выяснить

 знак y” и около точек разрыва функции. В нашем случае y”>0 на промежутке  и y”<0

на , следовательно, на  кривая вогнута и выпукла на .

Найти вторую производную функции

8) Выясним вопрос об асимптотах.

Наличие вертикальной асимптоты  установлено выше. Ищем горизонтальные: ,

следовательно, горизонтальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты: ,

 , следовательно, y=-x – наклонная

двусторонняя асимптота.

9) Теперь, используя полученные данные, строим чертеж:

Построить график функции

ПРИМЕР №2. Построить график функции 
. 
Решение. 
1. Область определения функции D(y) = (-∞;0)U(0;∞). 
2. Функция не является четной или нечетной. 
3. Найдем точки пересечения графика с осью ОХ; имеем 
; . 
4. Точки разрыва x=0, причем ; следовательно, x=0 является вертикальной асимптотой графика. 
Найдем наклонные асимптоты: 
; 
. 
Наклонная асимптота имеет уравнение . 
5. Найдем экстремум функции и интервалы возрастания и убывания. Имеем . Существует единственная критическая точка x=2. В промежутках , следовательно, функция возрастает; в промежутке , функция убывает. Далее, находим ; , следовательно, x=2 – точка минимума ymin=3. 
6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба. Так как y’’>0 (x≠0), то график функции всюду вогнут. Точек перегиба кривая не имеет. 
Строим график функции. 

Исследование функции и построение ее графика

При построении графика функции необходимо провести ее предварительное исследование. Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика имеет следующую структуру:

1. Область определения  и область допустимых значений  функции.
2. Четность, нечетность функции.
3. Точки пересечения с осями.
4. Асимптоты функции.
5. Экстремумы и интервалы монотонности.
6. Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.
7. Сводная таблица.

Пример

Задание. Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение. 1) Область определения функции.

2) Четность, нечетность.

Функция общего вида.

3) Точки пересечения с осями.

а) с осью  :

то есть точки 

б) с осью  : в данной точке функция неопределенна.

4) Асимптоты.

а) вертикальные: прямые  и  - вертикальные асимптоты.

б) горизонтальные асимптоты:

то есть прямая  - горизонтальная асимптота.

в) наклонные асимптоты  :

Таким образом, наклонных асимптот нет.

5) Критические точки функции, интервалы возрастания, убывания.

Найдем точки, в которых первая производная равна нулю или не существует:  для любого  из области определения функции;  не существует при  и  .

Таким образом, функция убывает на всей области существования. Точек экстремума нет.

6) Точки перегиба, интервалы выпуклости, вогнутости.

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует:  ; при и  вторая производная не существует.

Таким образом, на промежутках  и  функция вогнута, а на промежутках  и  - выпукла. Так как при переходе через точку  вторая производная поменяла знак, то эта точка является точкой перегиба.

7) Эскиз графика.