Бинарный урок по теме "Показательная функция"
план-конспект занятия по алгебре (10 класс)

Открытый урок по теме: «Показательная функция».

Тема урока: «Показательная функция».

Предмет: математика.

 Курс:1.

Тип урока:   комбинированный.

Цели урока:

-     Обеспечить усвоение каждым учащимся знаний о показательной функции на основе исследовательской деятельности и анализа ситуации.

-  Закрепить навыки построения графиков и умение использовать свойства показательной функции, показать применение показательной функции на практике.

-     Научить применять полученные знания к решению математических задач, а также показать возможности применения математических функций к описанию явлений окружающего мира.

Задачи урока:

• Образовательные: приумножить знания по теме “Показательная функция, ее свойства и график”. Формировать умение использовать ранее полученные знания.
• Развивающие: формировать устойчивость внимания. Совершенствовать вычислительные навыки и словестно-логическое мышление у учащихся. Развивать память.

• Воспитательные: воспитывать интерес к данному предмету, формировать внимательность и аккуратность в построении графиков; требовательное отношение к себе и своей работе, умение анализировать полученный результат, оценивать свои достижения и достижения одноклассников.

Формы работы:     Фронтальная, групповая, индивидуальная.

Оборудование: доска, компьютер с проектором, слайдовая презентация по теме «Показательная функция»

Методы обучения: наглядный, словесный, графический, исследовательский.

Ход урока

I.Организационный момент

II Целеполагание

Найдите лишнюю функцию:

 У=х2;  у=2х3;  у=;  у=2х;  ;  у=2х4;  ;  

II.   Актуализация опорных знаний.

Вступительное слово учителя.

      На сегодняшнем занятии речь вновь пойдёт о функции. С этим важнейшим математическим понятием мы встречаемся на протяжении всего курса изучения алгебры. Многое о функции мы уже знаем, и многое нам предстоит ещё узнать. Применение показательной функции

Рассмотрим вопрос о применении показательной функции.

         Показательная функция применяется при описании процессов природы и общества. Приведём несколько примеров таких процессов:

Показательная функция часто применяется в физике, химии, биологии, географии, экономике и иных науках. Рост количества бактерий, концентрация адреналина в крови, способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, восстановление концентрации гемоглобина в крови, рост количества древесины, количество радиоактивного вещества, изменение количества населения – все это измеряется по законам показательной функции.

1. Процесс изменения температуры чайника при кипении описывается формулой: T=T0+(100– T0)e-kt.

2) Известно утверждение, что количество информации удваивается каждые 10 лет.

 3) Ну, и конечно же, свойства показательной функции можно применять при решении математических задач.

Готовясь к сегодняшнему занятию, вы повторяли определение функции, а также алгоритм работы с  программой Excel.

Excel — электронные таблицы, позволяющие производить вычисления. Результаты вычислений можно применить в качестве исходных данных для графика (диаграммы) Excel.

Как же связана работа в программе эксель с функциями, давайте разберемся

4. Изучение нового материала

1. Какую функцию называют показательной?

          (Показательной функцией называют функцию вида у=ах, где а-заданное число, а>0, а1.)

2. Чем объясняется название функции?

       (Роль аргумента выполняет показатель степени, а основание степени - заданное (фиксированное) число.)

3. Почему показательную функцию рассматривают только при а>0 и а1?

           (Это следует из свойств степени с действительным показателем)

4. Объясните, что будет в случае, если а=1 и

        (Если а=1, то f(x)=ax=1x=1-линейная функция, график которой параллелен оси х.)

       Итак, мы обсудили определение показательной функции.

    Что собой представляет график показательной функции?, выполним исследовательскую работу по построению графика показательной функции с различными основаниями. Как их  построить в программе Excel расскажет Светлана Александровна.

Для начала нужно вспомнить, а как же строится график функции на координатной плоскости? Нужны две координаты х и у, х задаем сами, а у вычисляем по функции. 

Для примера рассмотрим функцию y = (3/2)х на отрезке [1;3] с шагом 0,25.

1. Открываем чистый лист книги. Делаем два столбца, в одном из которых будет записан аргумент, а в другом — функция.

2. Заносим в столбец с аргументом x (столбец А) значения x так, чтобы вас устраивал выбранный отрезок, на котором вы будете рассматривать график функции.

Для этого необходимо поставить в ячейку А2 начальное значение отрезка, например, «1». После на вкладке «Главная» в разделе «Редактирование» нажать кнопку «Заполнить – Прогрессия».

В появившемся окне выбрать расположение по столбцам, указать шаг «0,25» и предельное значение равное 3. Тип остается по умолчанию – «арифметическая». В итоге у вас должен получиться столбец со значениями х.

В ячейку В2 забьём формулу функции, которую вы собираетесь строить.

Формулы в Excel всегда начинаются со знака "=". В нашей формуле (=(3/2)^A2) происходит возведение числа  3/2 в степень числа из ячейки А2 (оператор ^)..

Однако забивать формулу в каждой строке очень неудобно. Создатели Microsoft Excel всё это предусмотрели. Для того, чтобы наша формула появилась в каждой ячейке необходимо "растянуть" её. Растягивание ячеек с формулами и числами — это функция автозаполнения.

Щёлкните на ячейке с формулой. В правом нижнем углу ячейки есть маленький квадратик  - маркер автозаполнения. Вам нужно навести курсор мышки на него (при этом курсор мышки поменяется на тонкий черный крест), нажать ЛКМ и "растянуть" формулу вниз на столько ячеек, сколько вам нужно.

3. Перейдём непосредственно к построению графика.

Выделяем столбец с данными функции Y, по которым и будет строиться график.

На вкладке Вставка в разделе Диаграммы нажмите кнопку График и выберете один из видов графиков: «График» или «График с маркерами». После выполненных действий должна появиться диаграмма функции.

Для того, чтобы было понятно, по каким значениям х и какая функция отображена на графике нужно внести изменения. Для этого выделите область диаграммы, должны появиться вкладки для работы с ней. На кладке «Конструктор» в разделе «Данные» нажмите кнопку «Выбрать данные».

В появившемся окне нам нужно изменить Элементы легенды (Имя ряда) и Подписи горизонтальной оси. Для этого нужно нажать в соответствующей стороне кнопку «Изменить»

Для изменения имени ряда нужно поставить курсор в соответствующем поле, нажать на ячейку с видом функции или напечатать самостоятельно. Для изменения подписи горизонтальной оси нужно выделить диапазон значений х.

Для всех

у=2х                              у=(1/2)х

у=3х                              у=(1/3)х 

у=4х                              у=(1/4)х

у=(3/2)х                        у=(2/3)х     

Свойства  показательной функции

         Переходим к установлению свойств показательной функции с помощью графика.

Сначала вспомним, какие свойства функций нам известны.

• Область определения.
• Множество значений функции.
• Нули функции.
• Промежутки знакопостоянства   функции.
• Чётность, нечётность.
• Монотонность функции.
• Периодичность.
• Наибольшее и наименьшее значения.
• Ограниченность функции.

       Что собой представляет каждое свойство мы подробно обсуждали на предыдущем занятии и вы ещё раз повторяли дома. Поскольку сегодня нам предстоит исследовать свойства показательной функции на основе графика, то мы сейчас обратим внимание на следующий вопрос: «Как по графику мы устанавливаем свойства функции?»

Итак,

1. Как по графику найти область определения функции и её множество значений?
2. (Область определения -это проекция графика на ось х, множество значений функции- проекция на ось у.)
3. Где смотрим нули функции? (Это абсциссы точек пересечения графика с осью х)
4. Как по графику найти промежутки знакопостоянства функции? ( Нужно найти значения аргумента, при которых соответствующая часть графика расположена выше оси х (в этом случае значения функции >0) и ниже оси х (в этом случае у<0).
5. Как по графику судим о чётности (нечётности) функции? (Если функция чётная, то её график симметричен оси у; если функция нечётная, то её график симметричен началу координат.)
6. Как определяем промежутки возрастания и убывания функции?

(Если на некотором интервале оси х с увеличением значений аргумента значения функции также увеличиваются (по графику «поднимаемся в гору» в направлении слева направо), то функция на этом интервале возрастает. Если же на некотором интервале оси х с увеличением значений х значения у уменьшаются («спускаемся с горы»), то функция на этом интервале убывает.)

7. Как находим наибольшее и наименьшее значения функции?

           (Наибольшее значение достигается в наивысшей точке графика, наименьшее - в    

           самой нижней точке графика (если таковые точки существуют).

Теперь данные знания применим к установлению свойств показательной функции.

        По окончании работы выслушиваем ответы участников групп. Работа в группах: участники групп описывают свойства функции, график которой строили раннее..

1) Область определения –  множество всех действительных чисел   (D(у)=R).

2) Множество значений – множество всех положительных чисел    (E(y)=R+).

3) Нулей нет.

4) у>0 при х    R.

5) Функция ни чётная, ни нечётная.

6) Функция монотонна: возрастает на R при а>1 и убывает на R при  0

7) Наибольшего и наименьшего значений у функции нет.

8) Функция непериодична.

9) Ограничена снизу, не ограничена сверху.  

          Итак, подведём итог (учитель комментирует):

 о показательной функции нам известно: определение, графики функции в зависимости от а, свойства функции.

      Для уточнения вида графика показательной функции ребята, используя программу  EXCEL, построили графики функций у=(2/5)х и у=(5/2)х с различным шагом (шаг =1/4 и 1/8).

              Сравним графики полученные с помощью программы EXCEL.

Видим, что действительно точки располагаются на плавной кривой линии и независимо от выбранного шага вид графика не меняется, а лишь пополняется большим числом точек.

                     Обратим внимание на особенности графиков.

1. Могут ли графики пересекать ось х?  ( Нет, так как ax>0 при .)
2. Пересекают ли графики ось у?  (Да, все графики пересекают ось у в точке (0;1). Действительно, если х=0, то ах=а0=1.)
3. Имеют ли представленные графики  сходство по расположению в системе координат? ( Да, во-первых, все графики расположены выше оси х, во-вторых, внешне схожи между собой графики функций у=2х, у=3х,  у=4х, у=(5/2)х,

а также графики функций у=(1/2)х,у=(1/3)х, у=(1/4)х,у=(2/5)х.)

      Действительно, среди представленных графиков можно выделить только 2 вида.

Объединим графики по группам в соответствии с внешним сходством (учитель перемещает графики на доске в две группы).

у=2х                              у=(1/2)х

у=3х                              у=(1/3)х 

у=4х                              у=(1/4)х

у=(5/2)х                        у=(2/5)х    

       Какой существенный признак объединяет функции и их графики в представленных группах?  (Основание степени а. В первой группе а>1, во второй-0

        Таким образом, в зависимости от основания а существуют 2 вида графиков показательной функции: первый соответствует основанию а>1, второй- 0

6.      Рефлексия

 Преподаватель предлагает обучающимся  продолжить фразы

Я узнал….

Я научился…

Я могу…

и провести рефлексию своей деятельности

       Домашнее задание

Построить любую показательную функцию в тетради

Дружить наукам можно вечно, Вселенная ведь бесконечна.

Спасибо всем вам за урок,

А главное, чтоб он был впрок!