Открытый урок по теме: «Функция: понятие, способы задания, основные характеристики. Обратная функция. Суперпозиция функций».
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме
Изложены основные характеристики функции. Приведены определения обратной функции и сложной функции.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 191.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Тема: «Функция: понятие, способы задания, основные характеристики. Обратная функция. Суперпозиция функций».
Эпиграф урока:
«Изучать что-либо и не задумываться над
выученным - абсолютно бесполезно.
Задумываться над чем-либо, не изучив
предварительно предмет раздумий-
опасно.»
Конфуций.
Цель и психолого-педагогические задачи урока:
- Общеобразовательная (нормативная) цель: повторить со студентами определение и свойства функции. Ввести понятие суперпозиции функций.
- Задачи математического развития студентов: на нестандартном учебно-математическом материале продолжить развитие ментального опыта учащихся, содержательной когнитивной структуры их математического интеллекта, в том числе, способностей к логико-дедуктивному и индуктивному, аналитическому и синтетическому обратимому мышлению, к алгебраическому и образно-графическому мышлению, к содержательному обобщению и конкретизации, к рефлексии и самостоятельности как метакогнитивной способности студентов; продолжить развитие культуры письменной и устной речи как психологических механизмов учебно-математического интеллекта.
- Воспитательные задачи: продолжить личностное воспитание у студентов познавательного интереса к математике, ответственности, чувства долга, академической самостоятельности, коммуникативного умения сотрудничать с группой, преподавателем, согруппниками; аутогогической способности к соревновательной учебно-математической деятельности, стремления к высоким и высшим ее результатам (акмеический мотив).
Тип урока: изучение нового материала; по критерию ведущего математического содержания - урок-практикум; по критерию типа информационного взаимодействия учащихся и преподавателя – урок сотрудничества.
Оборудование урока:
- Учебная литература:
1) Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учеб. для студентов университетов и вузов. В 3 т. Т. 3. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1989. – 352 с. : ил.
2) Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – 9-е изд. – М.: Издательство «Наука», 1977.
- Иллюстрации.
Ход урока.
1.Объявление темы и главной образовательной цели урока; стимулирование чувства долга, ответственности, познавательного интереса студентов при подготовке к сессии.
2.Повторение материала по вопросам.
a) Дать определение функции.
Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств.
Пусть даны два непустых множества и
. Соответствие f, которое каждому элементу
сопоставляет один и только один элемент
, называется функцией и записывается y = f(x). Говорят еще, что функция f отображает множество
на множество
.
рис.1
Например, соответствия f и g, изображенные на рис.1 а и б, являются функциями, а на рис.1 в и г – нет. В случае в – не каждому элементу соответствует элемент
. В случае г не соблюдается условие однозначности.
Множество X называется областью определения функции f и обозначается D(f) . Множество всех называется множеством значений функции f и обозначается E(f).
б) Числовые функции. График функции. Способы задания функций.
Пусть задана функция .
Если элементами множеств и
являются действительные числа, то функцию f называют числовой функцией. Переменная x при этом называется аргументом или независимой переменной, а y – функцией или зависимой переменной (от x). Относительно самих величин x и y говорят, что они находятся в функциональной зависимости.
Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости Oxy , для каждой из которых x является значением аргумента, а y – соответствующим значением функции.
Чтобы задать функцию y = f(x), необходимо указать правило, позволяющее, зная x , находить соответствующее значение y.
Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.
Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.
Например:
Если область определения функции y = f(x) не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл.
Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию y = f(x).
Графический способ: задается график функции.
Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность.
Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.
в) Основные характеристики функции.
1. Функция y = f(x),определенная на множестве D, называется четной, если выполняются условия
и f(-x) = f(x); нечетной, если
выполняются условия
и f(-x) = -f(x).
График четной функции симметричен относительно оси Oy, а нечетной – относительно начала координат. Например, – четные функции; а y = sinx,
– нечетные; y = x-1,
– функции общего вида, т.е. не четные и не нечетные.
2.Пусть функция y = f(x) определена на множестве D и пусть . Если для любых значений
аргументов из неравенства
вытекает неравенство:
, то функция называется возрастающей на множестве
; если
, то функция называется неубывающей на
;
то функция наз. убывающей на
;
- невозрастающей.
Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие – строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.
3. Функция y = f(x), определенная на множестве D, называется периодической с периодом T>0, если при каждом xD значение (x+T)
D и выполняется равенство f(x+T) = f(x).
Для построения графика периодической функции периода T достаточно построить его на любом отрезке длины T и периодически продолжить его во всю область определения.
Отметим основные свойства периодической функции.
1) Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один и тот же период T, есть периодическая функция с периодом T.
2) Если функция f(x) имеет период T, то функция f(ax) имеет период T/a.
г) Обратная функция.
Пусть задана функция y = f(x) с областью определения D и множеством значений E. Если каждому значению соответствует единственное значение
, то определена функция x = z(y) с областью определения E и множеством значений D. Такая функция z(y) называется обратной к функции f(x) и записывается в следующем виде:
. Про функции y = f(x) и x = z(y) говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию x = z(y), обратную к функции y = f(x), достаточно решить уравнение f(x) = y относительно x.
Примеры:
- Для функции y = 2x обратной функцией является функция x = ½ y;
- Для функции
обратной функцией является функция
.
Из определения обратной функции вытекает, что функция y = f(x) имеет обратную тогда и только тогда, когда f(x) задает взаимно однозначное соответствие между множествами D и E. Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом, если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).
- Изучение нового материала.
Сложная функция.
Пусть функция y = f(u) определена на множестве D, а функция u = z(x) на множестве , причем для
соответствующее значение
. Тогда на множестве
определена функция u = f(z(x)), которая называется сложной функцией от x (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции).
Переменную u = z(x) называют промежуточным аргументом сложной функции.
Например, функция y = sin2x есть суперпозиция двух функций y = sinu и u = 2x. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.
4. Решение нескольких примеров у доски.
5. Заключение урока.
1) теоретико-прикладные итоги практического занятия; дифференцированная оценка уровня ментального опыта учащихся; уровня усвоения ими темы, компетентности, качества устной и письменной математической речи; уровня проявленного творчества; уровня самостоятельности и рефлексии; уровня инициативы, познавательного интереса к отдельным методам математического мышления; уровней сотрудничества, интеллектуальной состязательности, стремления к высоким показателям учебно-математической деятельности и др.;
2) объявление аргументированных отметок, поурочного балла.
Спасибо за урок!
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2011/01/25/picture-7243.jpg)
Открытый урок по теме "Функции символьных величин"
Содержит конспект урока по программированию в среде QBASIC по теме "Функции символьных величин"....
![](/sites/default/files/pictures/2012/03/30/picture-72737.jpg)
план-конспект открытого урока по теме :" Функция у=х² и ее график"
План- конспект открытого урока по теме " Функция у=х² и ее график" с использованием ЦОР, а также презентация с явлениями в природе и жизни, описывающимися параболой....
![](/sites/default/files/pictures/2014/09/22/picture-485041-1411373621.jpg)
открытый урок по теме "Функции в окружающем мире"
АннотацияМетодическая разработка занятия по дисциплине « Математика» предназначена для проведения урока в группе учащихся обучающихся по специальности 230115 Программирование в компьютерных сист...
![](/sites/default/files/pictures/2015/08/07/picture-652693-1438963950.jpg)
Открытый урок по теме "Функция".
Материал представляет собой конспект урока, презентацию, приложения.Данный урок был проведен в рамках конкурса Уроки Педагогического мастерства в марте 2015г....
![](/sites/default/files/pictures/2016/06/24/picture-785388-1466719110.jpg)
Открытый урок по теме "Функция y=ax^2+bx+c, её свойства и график".
Открытый урок по теме "Функция y=ax^2+bx+c, её свойства и график". Рассмотрено построение графика квадратичной функции, рассмотрены свойства функции. Представлена разноуровневая письменная работа на у...
![](/sites/default/files/pictures/2020/08/17/picture-1262184-1597673870.jpg)
Открытый урок по теме:"Ознакомление со способами развития выносливости". Эстафеты. 2018 год
Конспект урока по физической культуре для учащихся _1_ класса...
![](/sites/default/files/pictures/2022/04/26/picture-1356647-1650937594.jpg)
Открытый урок по теме: "Функция. Связь между величинами".
Открытый урок по теме: "Функция. Связь между величинами". ФГОС...