Технологическая карта к уроку математики «Понятие логарифма. Основное логарифмическое тождество»
учебно-методический материал по алгебре (10 класс)

Технологическая карта урока алгебры и начал анализа

Предмет: Алгебра и начала математического анализа
Класс: 10
Тема урока: «Понятие логарифма. Основное логарифмическое тождество»
Тип урока: Урок открытия нового знания (ОНЗ)
УМК: любой (Колмогоров, Мордкович, Алимов — структура едина)

1. Цели урока (планируемые результаты)

Личностные (Л):

• Формирование умения преодолевать познавательные трудности.
• Понимание практической ценности математики (логарифмы — это шкала звука, pH, Richter).

Метапредметные (М):

• Регулятивные: Умение ставить цель, планировать путь её достижения, работать по алгоритму.
• Познавательные: Сравнение, анализ, поиск закономерностей, перевод с языка степеней на язык логарифмов.
• Коммуникативные: Умение задавать уточняющие вопросы, аргументировать ответ.

Предметные (П):

• Знать определение логарифма, условия существования (a>0,a≠1,b>0a>0,a=1,b>0).
• Уметь вычислять простейшие логарифмы и применять ОЛТ.

2. Оборудование

• Доска, проектор, презентация (с таблицей степеней).
• Раздаточные карточки для рефлексии и групповой работы.
• Модель «шкалы» (лист ватмана), магниты.

Ход урока (45 мин)

I. Организационный момент (1 мин)

*Приветствие. Проверка готовности. Эмоциональный настрой: «Сегодня мы совершим открытие, которое сломало стереотипы математики 17 века».

II. Актуализация знаний и мотивация (5 мин)

Учитель: Ребята, давайте сыграем в игру «Угадай показатель». Я называю степень, вы — показатель.

• 2x=82x=8 → x=3x=3
• 3x=813x=81 → x=4x=4
• 5x=55x=5 → x=1x=1

Проблемная ситуация: А теперь: 2x=72x=7. xx?

Ученики (предполагаемые): Между 2 и 3, потому что 22=422=4, 23=823=8.

Учитель: Верно. Но как точно назвать это число? Для 8 — 3, для 4 — 2. А для 7? Вычислить не можем. Нужна НОВАЯ операция. Она называется логарифмирование.

III. Целеполагание (2 мин)

Беседа:
— Какая цель урока? (Определить, что такое логарифм, научиться его находить).
— Запишем тему: «Логарифмы. Основное логарифмическое тождество».

IV. Изучение нового материала (15 мин)

Шаг 1. Определение (работаем вместе)

Определение: Логарифмом числа bb по основанию aa (a>0,a≠1,b>0a>0,a=1,b>0) называется показатель степени, в которую нужно возвести aa, чтобы получить bb.

Запись: log⁡ab=x ⟺ ax=bloga​b=x⟺ax=b

Учитель (шагая по классу): Читаем «хэ» как формулу-переводчик. Заучивать коряво. Понимаем так: Логарифм — это бывший показатель степени.

Важно! Где живет логарифм? a>0,a≠1,b>0a>0,a=1,b>0. Проговариваем причину каждого условия (почему основание не 1, почему число положительное).

Шаг 2. Первичное закрепление (устно):
Переведите с языка степеней на язык логарифмов и обратно:

• 32=9⇒log⁡39=232=9⇒log3​9=2
• log⁡5125=3⇒53=125log5​125=3⇒53=125

Ошибка-ловушка: log⁡2(−4)log2​(−4) — не существует (почему? — нет такого показателя степени, чтобы 2 возвести в отрицательное? — ошибочно! 2^{x}>0 всегда).

Шаг 3. Основное логарифмическое тождество (ОЛТ)

Возьмем определение: log⁡ab=xloga​b=x и ax=bax=b. Подставим xx из первого во второе:

alog⁡ab=baloga​b=b

Учитель: Это паспорт логарифма. Пока он выглядит так — логарифм настоящий. Изумляет: мы возводим число в степень, где в показателе стоит... само число! Физический смысл: мы сделали операцию и вернулись к исходному числу.

Пример: 2log⁡27=72log2​7=7.

Шаг 4. Историческая и практическая минутка

• Изобрел Джон Непер в 1614 году для упрощения астрономических расчетов.
• Логарифмы в жизни: сила звука (дБ), кислотность (pH), шкала Рихтера.

V. Физминутка (1 мин)

«Логарифмическая разминка»:

• Если ответ < 1 — присели.
• Если ответ 1 — встали руки вверх.
• Если ответ > 1 — наклон влево/вправо.

• log⁡24log2​4 (2 — >1 -> наклон)
• log⁡51log5​1 (0 — <1 -> присели) — о! А кто забыл, что любое число в 0 = 1?
• log⁡33log3​3 (1 -> встали руки вверх).

VI. Первичное закрепление с проговариванием (12 мин)

Групповая работа (по 4 человека):

Карточка А (вычисление):

1. log⁡216log2​16
2. log⁡5125log5​251​
3. log⁡93log9​3 (здесь нужно представить 3=91/23=91/2, ответ 0,5)
4. log⁡1255log125​5,
5. 7log⁡7107log7​10

Карточка Б (проблемная):
Найдите xx:

1. log⁡x16=2logx​16=2 (x2=16,x=4x2=16,x=4, так как x>0,x≠1x>0,x=1)
2. log⁡4x=−2log4​x=−2 (x=4−2=116x=4−2=161​)

Проверка: Один ученик у доски комментирует решение. Остальные сигналят цветными карточками (зеленый — согласен, красный — ошибка).

VII. Самостоятельная работа (5 мин)

Вариант 1:

1. log⁡381log3​81
2. log⁡218log2​81​
3. 10lg⁡510lg5 (свойство: lg⁡lg — это log⁡10log10​)
4. Найдите log⁡6366log6​366​ (подумайте: 366=62⋅61/2=#8203;=62⋅61/2= → ответ )

Вариант 2:

1. log⁡464log4​64
2. log⁡3127log3​271​
3. 2log⁡#8203;
4. log⁡816log8​16 (подсказка: 16=8?16=8? → 24=(23)x24=(23)x → 4=3x4=3x → x=4/3x=4/3)

Сбор листочков или самопроверка по готовым ответам.

VIII. Рефлексия и подведение итогов (3 мин)

Прием «Логарифмическая шкала»:
На доске начерчена ось от 0 до 10. Учитель:
— Оцените свою уверенность в теме сегодня:
*0–3*: «Я потерялся. Что такое основание?» (красный стикер)
*4–7*: «Считаю, но иногда путаю запись» (желтый стикер)
*8–10*: «Могу объяснить соседу. Легко!» (зеленый стикер)

Ученики клеят стикеры.