КОНСПЕКТ ЛЕКЦИОННОГО ЗАНЯТИЯ по теме: «Понятие показательной функции и показательного выражения. Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы. Свойства логарифмов. Основное логарифмическое тождество».
план-конспект занятия по алгебре (11 класс)

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИОННОГО ЗАНЯТИЯ

по теме: «Понятие показательной функции и показательного выражения. Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы. Свойства логарифмов. Основное логарифмическое тождество.»

Понятие показательной функции и показательного выражения

КАК ВИДИМ, ВО ВСЕХ ЭТИХ ВЫРАЖЕНИЯХ ПРИСУТСТВУЕТ СТЕПЕНЬ, У КОТОРОЙ В ОСНОВАНИИ ПОСТОЯННОЕ ЧИСЛО (), А ПЕРЕМЕННАЯ «ЗАПРЫГНУЛА» В ПОКАЗАТЕЛЬ. ТАКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ НАЗЫВАЮТ ПОКАЗАТЕЛЬНЫМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ

Рассмотрим график показательной функции на примере  функций

                             и                              :

 В случае 1 функция возрастает                                              В случае 2 функция убывает    

Кроме того, на графике нет точек, у которых координата у < 0 и у = 0. ЗНАЧИТ:

(такие же, как у всех степеней: их можно применять как слева направо, так  и справа налево)    

 если .                           если .          

 если  

ОБРАТНОЙ К ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ЯВЛЯЕТСЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ.

Прежде, чем познакомиться с логарифмической функцией, познакомимся  сначала с ЛОГАРИФМОМ ЧИСЛА.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГАРИФМА:

рого чуть ниже записывают  число а, которое называют основанием логарифма.

Пример.

Логарифм при основании 10 называют десятичным логарифмом и записывают:

.

Логарифм при основании   называют натуральным логарифмом и записывают:

.

Примечание.  Основание натурального логарифма, т.е. число  - это иррациональное число,  - бесконечная десятичная непериодическая дробь(как и число  ).

Примеры на применение ОСНОВНОГО ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ТОЖДЕСТВА:

Свойства логарифмов.

1. (логарифм единицы при любом основании  равен нулю, т. к. а0 = 1).

Например, т.к. 130 = 1.

2. (логарифм основания равен единице, т. к.  а1 = а).

  Например, т.к. 51 = 5.

3.  ( логарифм произведения  равен сумме двух логарифмов и наоборот, сумма двух логарифмов с одинаковым основанием равна  логарифму произведения).

       Например,

4. ( логарифм частного, т.е. дроби,  равен разности двух логарифмов и наоборот, разность двух логарифмов с одинаковым основанием равна  логарифму частного или дроби).

         Например,

5. ( логарифм степени т.е. дроби,  равен показателю степени, умноженному на логарифм основания степени. Значит, степень подлогарифмического выражения  может «СПРЫГНУТЬ» и встать перед логарифмом. И наоборот, множитель, стоящий перед логарифмом, может «ЗАПРЫГНУТЬ»  в показатель выражения, стоящего  под логарифмом).

    Например,   

6. (Если степень относится  к основанию логарифма, она выносится в «перевернутом» виде и наоборот).

         Например,  

7. Из свойств 5 и 6   

  Например,  .

 (Как видим, 5-ю степень сбросили в прямом виде, а 2-ю степень – в перевернутом)

        Значит,  

  .

8.  И НАОБОРОТ  .

(а и b  можно поменять местами, опуская логарифм в знаменатель дроби и наоборот, поднимая из знаменателя в числитель).

  Например,  

9. ФОРМУЛА ПЕРЕХОДА К ЛОГАРИФМУ С НОВЫМ ОСНОВАНИЕМ:

()

И наоборот,

Например,