Квадратичная функция
методическая разработка по алгебре (8 класс)

1. Определение и общий вид

Квадратичная функция — это функция, которую можно задать формулой:

y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c

где:

• xx — независимая переменная (аргумент);
• yy — зависимая переменная (значение функции);
• a,b,ca,b,c — некоторые числа (коэффициенты), причем a≠0a=0.

Коэффициент aa называют старшим коэффициентом, а cc — свободным членом.

2. График квадратичной функции

Графиком квадратичной функции является парабола.

Ветви параболы:

• Если a>0a>0, ветви параболы направлены вверх.
• Если a<0a<0, ветви параболы направлены вниз.

Вершина параболы:Точка с координатами (x0;y0)(x0​;y0​) является вершиной параболы.Координата x0x0​ вычисляется по формуле:

x0=−b2ax0​=−2ab​

Чтобы найти координату y0y0​, нужно подставить найденное значение x0x0​ в уравнение функции:

y0=f(x0)=a(x0)2+b(x0)+cy0​=f(x0​)=a(x0​)2+b(x0​)+c

Ось симметрии:Прямая, проходящая через вершину параллельно оси ординат (OyOy), называется осью симметрии параболы. Её уравнение: x=x0x=x0​.

3. Корни квадратичной функции и дискриминант

Корни квадратичной функции — это значения xx, при которых y=0y=0. То есть это решения уравнения:

ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0

Для их нахождения используется дискриминант (DD):

D=b2−4acD=b2−4ac

В зависимости от значения дискриминанта возможны три случая:

1. Если D>0D>0Уравнение имеет два различных действительных корня (x1x1​ и x2x2​). Парабола пересекает ось OxOx в двух точках.

x1,2=−b±D2ax1,2​=2a−b±D​​

x1=−b−D2a,x2=−b+D2ax1​=2a−b−D​​,x2​=2a−b+D​​

2. Если D=0D=0Уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих). Вершина параболы лежит на оси OxOx. Парабола касается оси абсцисс в одной точке.

x=x1=x2=−b2ax=x1​=x2​=−2ab​

3. Если D<0D<0Действительных корней нет. Парабола не пересекает ось OxOx.

4. Построение графика (алгоритм)

Для построения графика функции y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c рекомендуется выполнить следующие шаги:

1. Определить направление ветвей по знаку коэффициента aa.
2. Найти координаты вершины (x0;y0)(x0​;y0​).
3. Найти корни уравнения (если они есть), решив его через дискриминант. Отметить точки пересечения с осью OxOx.
4. Построить ось симметрии x=x0x=x0​.
5. Найти точку пересечения с осью ординат. Для этого подставить в уравнение x=0x=0. Получим точку (0;c)(0;c).
6. Найти дополнительные точки. Составить таблицу значений, выбрав пару значений xx слева и справа от вершины (например, на расстоянии 1 или 2 единиц) и вычислив соответствующие значения yy.
7. Отметить все точки на координатной плоскости и провести через них плавную кривую — параболу.

5. Пример решения задачи

Задача: Построить график функции y=−x2+4x−3y=−x2+4x−3. Найти её наибольшее значение.

Решение:

1. Направление ветвей:Коэффициент a=−1a=−1. Так как −1<0−1<0, ветви параболы направлены вниз.
2. Координаты вершины:Находим x0x0​:

x0=−b2a=−42⋅(−1)=−4−2=2x0​=−2ab​=−2⋅(−1)4​=−−24​=2

Находим y0y0​, подставив x=2x=2 в уравнение функции:

y0=−(2)2+4⋅(2)−3=−4+8−3=1y0​=−(2)2+4⋅(2)−3=−4+8−3=1

Вершина параболы — точка (2;1)(2;1).

3. Корни уравнения:Решаем уравнение −x2+4x−3=0−x2+4x−3=0.Находим дискриминант:

D=b2−4ac=42−4⋅(−1)⋅(−3)=16−12=4D=b2−4ac=42−4⋅(−1)⋅(−3)=16−12=4

Так как D>0D>0, уравнение имеет два корня:

x1,2=−4±42⋅(−1)=−4±2−2x1,2​=2⋅(−1)−4±4​​=−2−4±2​

x1=−4−2−2=−6−2=3x1​=−2−4−2​=−2−6​=3

x2=−4+2−2=−2−2=1x2​=−2−4+2​=−2−2​=1

Корни: x=1x=1 и x=3x=3. Точки пересечения с осью OxOx: (1;0)(1;0) и (3;0)(3;0).

4. Точка пересечения с осью Oy:Подставим x=0x=0:

y(0)=−(0)2+4⋅(0)−3=−3y(0)=−(0)2+4⋅(0)−3=−3

Точка пересечения с осью OyOy: (0;−3)(0;−3).

5. Построение: Наносим на координатную плоскость точки: вершину (2;1)(2;1), точки пересечения с осями (1;0)(1;0), (3;0)(3;0), (0;−3)(0;−3). Проводим через них параболу с ветвями, направленными вниз.
6. Наибольшее значение функции: Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в вершине. Наибольшее значение функции равно ординате вершины, то есть 1.

Задания для самостоятельной работы

Задание: Постройте график функции y=x2−6x+8y=x2−6x+8.Для этого выполните следующие действия:

1. Определите направление ветвей параболы.
2. Найдите координаты вершины параболы.
3. Вычислите дискриминант и найдите корни уравнения (если они есть).
4. Найдите точку пересечения графика с осью ординат.
5. Составьте таблицу значений для построения (например, для x=1, x=3, x=5).
6. Постройте график по полученным точкам.