СБОРНИК ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

для учащихся 7–8 классов

элективный курс «Мир логики»

Составитель: Грешнова Анастасия Ивановна

Научный руководитель: Таранова Марина Владимировна

2025 г.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 3

РАЗДЕЛ 1. ЗАДАЧИ НА ИСТИННОСТЬ И ЛОЖНОСТЬ ВЫСКАЗЫВАНИЙ 4

РАЗДЕЛ 2. ТАБЛИЧНЫЕ ЗАДАЧИ (МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ, СООТВЕТСТВИЕ «КТО ЕСТЬ КТО») 5

РАЗДЕЛ 3. ЗАДАЧИ НА ПЕРЕЛИВАНИЕ (АЛГОРИТМЫ, ГРАФЫ СОСТОЯНИЙ) 7

РАЗДЕЛ 4. ЗАДАЧИ НА ВЗВЕШИВАНИЕ 8

РАЗДЕЛ 6. ЗАДАЧИ НА ВРЕМЕННЫЕ ЗАВИСИМОСТИ 10

РАЗДЕЛ 7. «ОБМАННЫЕ» ЗАДАЧИ И ЛОГИЧЕСКИЕ ПАРАДОКСЫ 11

РАЗДЕЛ 8. КОМБИНИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ (СИНТЕЗ 2–3 МЕТОДОВ) 12

ИТОГОВЫЙ ДИАГНОСТИЧЕСКИЙ ТЕСТ (30 ЗАДАЧ) 13

ОТВЕТЫ И КРАТКИЕ РЕШЕНИЯ 16

КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ (для итогового теста) 19

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Данный сборник предназначен для учащихся 7–8 классов, изучающих элективный курс «Мир логики», а также для всех желающих развить логическое мышление, навыки анализа, синтеза и аргументации.

Задачи сгруппированы по типам и методам решения. Внутри каждого раздела задачи расположены по принципу «от простого к сложному». Ко всем задачам (кроме итогового теста) приведены ответы и краткие решения.

Желаем успехов!

РАЗДЕЛ 1. ЗАДАЧИ НА ИСТИННОСТЬ И ЛОЖНОСТЬ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

«РЫЦАРИ И ЛЖЕЦЫ»

Тип задач: анализ истинности высказываний, метод предположения (гипотез), проверка на противоречие.

Задача 1. А сказал: «Б — рыцарь». Б сказал: «А — лжец». Кто есть кто? Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут.

Задача 2. Встретили двух островитян. А сказал: «Б — лжец». Б сказал: «Сегодня пятница». Оказалось, что сегодня пятница. Кто есть кто?

Задача 3. Три друга — Коля, Миша и Саша. Один всегда говорит правду, двое всегда лгут. Они сказали:

— Коля: «Я получил пятёрку».

— Миша: «Я не получал пятёрку».

— Саша: «Коля не получал пятёрку».

Кто говорит правду? Кто получил пятёрку? (Пятёрку получил ровно один.)

Задача 4. Три ученика — Андрей, Борис и Виктор. Андрей: «Борис лжёт». Борис: «Виктор лжёт». Виктор: «Андрей и Борис лгут». Среди них есть хотя бы один правдивый и хотя бы один лжец. Кто есть кто?

Задача 5. Четыре ученика написали по одному утверждению о том, кто решил задачу:

1. Аня: «Задачу решила Катя».

2. Боря: «Задачу решил не я».

3. Вера: «Задачу решил Петя».

4. Гена: «Задачу решил не Петя».

Ровно одно высказывание истинно, остальные три ложны. Кто решил задачу? (Варианты: Аня, Боря, Вера, Гена, Катя, Петя.)

Задача 6. Сергей, Таня и Олег говорят:

— Сергей: «Таня решила задачу».

— Таня: «Олег решил задачу».

— Олег: «Я не решал задачу».

Ровно два высказывания истинны, одно ложно. Задачу решил ровно один человек. Кто?

РАЗДЕЛ 2. ТАБЛИЧНЫЕ ЗАДАЧИ (МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ, СООТВЕТСТВИЕ «КТО ЕСТЬ КТО»)

Тип задач: установление соответствия между объектами и признаками. Метод: построение таблицы «объекты ↔ признаки», заполнение «+» и «–», исключение невозможных вариантов.

Задача 7. Три друга — Антон, Борис и Виктор — сели в кино в один ряд на места 1, 2, 3. Известно: Антон не на 1 и не на 3. Борис не на 1. Кто где сидит?

Задача 8. Три девочки — Маша, Оля и Катя — поют. Одна — сопрано, другая — альт, третья — дискант. Известно:

— Маша не поёт дискант.

— Оля не поёт альт.

— Катя выше ростом, чем альт.

Кто какую партию поёт?

Задача 9. Три подруги — Лена, Маша и Оля — имеют разные хобби: вышивание, пение, рисование. Известно:

— Лена не вышивает.

— Маша не поёт и не рисует.

Кто чем занимается?

Задача 10. В школе разбили окно. На перемене были четверо: Дима, Соня, Игорь и Лена. Они сказали:

— Дима: «Окно разбил не я и не Соня».

— Соня: «Окно разбил Игорь или Лена».

— Игорь: «Окно разбил Дима или Соня».

— Лена: «Окно разбил не я».

Ровно один сказал неправду, остальные трое — правду. Кто разбил окно?

Задача 11. Четыре друга — Антон, Борис, Владимир и Глеб — перепутали портфели. Каждый взял чужой, свой никто не взял. Известно:

1. Антон взял портфель не Бориса и не Владимира.

2. Борис взял портфель не Антона.

3. Владимир взял портфель Бориса.

Определите, кто чей портфель взял.

Задача 12. Пять домов подряд, каждый окрашен в свой цвет: красный, синий, зелёный, жёлтый, белый. В каждом доме живёт один человек: Анна, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий. Известно:

— Анна живёт не в красном и не в синем доме.

— Борис живёт левее Виктора.

— Зелёный дом правее красного.

— Галина живёт в белом доме.

— Дмитрий живёт в жёлтом доме.

— Синий дом стоит рядом с зелёным (и левее него).

— Красный дом не крайний справа.

Определите порядок домов и кто в каком живёт.

РАЗДЕЛ 3. ЗАДАЧИ НА ПЕРЕЛИВАНИЕ (АЛГОРИТМЫ, ГРАФЫ СОСТОЯНИЙ)

Тип задач: поиск последовательности действий с сосудами. Метод: фиксация состояний (объёмов), граф состояний, поиск кратчайшего пути.

Задача 13. Есть два сосуда: 5 л и 3 л. Как отмерить ровно 4 л воды? Опишите алгоритм.

Задача 14. Сосуды 5 л и 3 л. Как получить 1 л в 3-литровом сосуде?

Задача 15. Сосуды 9 л и 4 л. Как получить 6 л воды? Найдите два разных способа.

Задача 16. Три сосуда: 8 л (полный воды), 5 л (пустой), 3 л (пустой). Как разделить 8 л на две равные части по 4 л в любых двух сосудах?

Задача 17. Три сосуда: 10 л (полный), 7 л (пустой), 3 л (пустой). Как получить 5 л в 7-литровом сосуде?

Задача 18. Исполнитель «Переливайка» имеет три ёмкости: A = 7 л, B = 4 л, C = 2 л (все пусты). Можно: наполнить, вылить, перелить. Составьте алгоритм получения ровно 1 л в сосуде A. Определите минимальное количество команд.

РАЗДЕЛ 4. ЗАДАЧИ НА ВЗВЕШИВАНИЕ

Тип задач: поиск фальшивого объекта (легче/тяжелее) на чашечных весах без гирь. Метод: деление на три группы.

Задача 19. Из 9 монет одна фальшивая — легче настоящих. За какое минимальное число взвешиваний её найти? Опишите алгоритм.

Задача 20. Из 12 монет одна фальшивая — легче остальных. За какое минимальное число взвешиваний её найти?

Задача 21. Из 27 монет одна фальшивая — легче остальных. За какое минимальное число взвешиваний её найти? (Ответ без алгоритма.)

Задача 22. Есть 6 гирь массами 1 г, 2 г, 3 г, 4 г, 5 г, 6 г (каждая ровно один раз). Одна гиря потеряла этикетку. Как за два взвешивания определить её массу? (Остальные гири известны, можно взвешивать любые комбинации.)

РАЗДЕЛ 5. ПРОСТРАНСТВЕННО-ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ (РАССАДКА, ПОРЯДОК, ГРАФЫ)

Тип задач: расположение объектов в ряду, по кругу, на плоскости. Методы: моделирование (рисунок, схема), графы отношений, учёт соседства и противоположности.

Задача 23. За круглым столом сидят 4 человека: А, Б, В, Г. А сидит напротив Б. В сидит рядом с А. Кто сосед Г?

Задача 24. В ряд стоят 5 домов: красный, синий, зелёный, жёлтый, белый (цвета могут повторяться). Красный левее синего. Зелёный между красным и синим. Белый крайний справа. Какой цвет у третьего дома?

Задача 25. Расставьте числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 в ряд (каждое по одному разу) так, чтобы для каждой пары соседних чисел их сумма делилась либо на 2, либо на 3. Найдите хотя бы одну расстановку.

Задача 26. За круглым столом (6 мест) нужно рассадить 6 человек: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий, Елена. Известно:

— Андрей сидит напротив Дмитрия.

— Борис сидит рядом с Галиной.

— Виктор сидит между двумя женщинами (Галиной и Еленой).

— Елена не сидит рядом с Дмитрием.

— Борис не сидит рядом с Андреем.

Определите расположение по часовой стрелке.

Задача 27. На карте отмечены 4 города: A, B, C, D. Расстояния между ними (в км) заданы таблицей:

A B C D

A 0 5 9 8

B 5 0 6 7

C 9 6 0 4

D 8 7 4 0

Можно ли расположить эти города на плоскости так, чтобы все расстояния соответствовали таблице? Если да, укажите координаты (приближённо).

РАЗДЕЛ 6. ЗАДАЧИ НА ВРЕМЕННЫЕ ЗАВИСИМОСТИ

(ВОЗРАСТ, ДВИЖЕНИЕ, ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ)

Задача 28. Через 5 лет Вова будет в 2 раза старше, чем 5 лет назад. Сколько лет Вове сейчас?

Задача 29. В семье четверо детей: Аня, Боря, Вера, Гена. Известно:

— Аня старше Бори.

— Вера младше Гены.

— Боря старше Веры.

Кто самый старший? Кто самый младший?

Задача 30. Из пункта А в пункт Б вышел пешеход. Через 2 часа из А выехал велосипедист и догнал пешехода через 1 час. Во сколько раз скорость велосипедиста больше скорости пешехода?

Задача 31. Три друга — Андрей, Борис, Владимир — соревновались в беге. Известно:

— Андрей прибежал не первым и не последним.

— Борис прибежал раньше Владимира.

— Владимир не последний.

Кто какое место занял?

Задача 32. Восстановите последовательность событий (кто пришёл раньше):

— Маша пришла позже Кати.

— Катя пришла раньше Лены.

— Лена пришла позже Нади, но раньше Оли.

— Оля пришла позже Маши.

Расставьте имена в порядке прихода (от самого раннего к самому позднему).

РАЗДЕЛ 7. «ОБМАННЫЕ» ЗАДАЧИ И ЛОГИЧЕСКИЕ ПАРАДОКСЫ

(ЛОВУШКИ ВОСПРИЯТИЯ)

Задача 33. Кирпич весит 1 кг и ещё полкирпича. Сколько весит кирпич?

Задача 34. Врач дал больному три таблетки и велел принимать по одной каждые полчаса. Через сколько времени больной примет последнюю таблетку?

Задача 35. На столе лежат три спички. Как сделать из них четыре, не ломая их?

Задача 36. Что тяжелее: 1 кг пуха или 1 кг железа?

Задача 37. Парадокс лжеца. Человек говорит: «Я лгу». Можно ли определить, лжёт он или говорит правду? Почему?

Задача 38. Отель Гильберта (мысленный эксперимент). В отеле бесконечное количество комнат (1, 2, 3, …), все заняты. Приезжает новый гость. Можно ли его разместить? А если приезжает бесконечное количество новых гостей? Объясните.

РАЗДЕЛ 8. КОМБИНИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ (СИНТЕЗ 2–3 МЕТОДОВ)

Задача 39. Три друга — Алексей, Борис и Владимир — имеют разные профессии: врач, инженер, учитель. Известно:

1. Если Алексей — врач, то Владимир — учитель.

2. Если Борис не инженер, то Владимир — врач.

3. Если Владимир не учитель, то Борис — инженер.

Кто какой профессии? Кроме того, они пошли в поход, имея фляги 5 л и 8 л, и им нужно было отмерить ровно 6 л воды. Смогли ли они это сделать? Если да, то как.

Задача 40. Три ученика — Костя, Дима и Сергей — сделали заявления:

— Костя: «Я решил задачу».

— Дима: «Я не решал задачу».

— Сергей: «Костя не решал задачу».

Ровно один из них сказал правду. Кто решил задачу? (Логика высказываний). А затем — отдельная задача: имея сосуды 7 л и 11 л, отмерьте ровно 6 л воды.

Задача 41 (проект-минимум). Составьте собственную комбинированную задачу, соединяющую два любых типа (например, «рыцари и лжецы» + переливание). Запишите условие и полное решение.

ИТОГОВЫЙ ДИАГНОСТИЧЕСКИЙ ТЕСТ (30 ЗАДАЧ)

Инструкция: на выполнение 30 заданий отводится 40 минут. Задания 1–20 — с кратким ответом (1 балл). Задания 21–30 — с развёрнутым решением (2–3 балла). Максимум — 45 баллов.

Часть А (1–20)

1. А сказал: «Б — рыцарь». Б сказал: «А — лжец». Кто есть кто? (Рыцари всегда правят, лжецы всегда лгут.)

2. Продолжите числовой ряд: 1, 4, 9, 16, 25, __, __.

3. Вставьте пропущенное число: 8 (24) 4, 6 (18) 3, 10 (__) 5.

4. Если 5 кошек ловят 5 мышей за 5 минут, то сколько минут потребуется 10 кошкам, чтобы поймать 10 мышей?

5. У вас есть сосуды 7 л и 3 л. Как отмерить ровно 5 л? (Запишите 3–5 шагов.)

6. Среди 12 монет одна фальшивая (легче). За какое минимальное число взвешиваний на чашечных весах без гирь её можно найти?

7. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если цифры могут повторяться?

8. В шкафу 4 пары чёрных носков и 3 пары белых. Сколько носков нужно вытащить, не глядя, чтобы гарантированно получить пару одного цвета?

9. Утверждение: «Если число оканчивается на 0, то оно делится на 5». Верно ли обратное утверждение («Если число делится на 5, то оно оканчивается на 0»)? Да/Нет.

10. В корзине яблоки и груши, всего 15 фруктов. Груш на 3 больше, чем яблок. Сколько яблок?

11. В соревнованиях 4 команды. Каждая сыграла с каждой один матч. Сколько всего матчей?

12. Найди лишнее: А) автомобиль, Б) поезд, В) самолёт, Г) колесо.

13. Вставьте слово: Холодно → лёд = Жарко → (вода, огонь, пар, градусник).

14. Три девочки — Маша, Оля, Катя — поют: сопрано, альт, дискант. Маша не дискант, Оля не альт, Катя выше ростом, чем альт. Кто поёт альт?

15. Логическая задача: «Встретили двух: первый сказал: „Второй — лжец“. Второй сказал: „Первый — лжец“». Можно ли определить, кто есть кто?

16. В семье 4 детей: Аня, Боря, Вера, Гена. Аня старше Бори, Вера младше Гены, Боря старше Веры. Кто самый старший?

17. Сколько существует способов рассадить 3 человек (А, Б, В) на 3 стульях в ряд?

18. Куб 3×3×3 сложен из маленьких кубиков. Сколько маленьких кубиков имеют ровно две окрашенные грани? (Куб окрашен снаружи.)

19. «Я лгу». Можно ли этому утверждению приписать значение «истина» или «ложь»? Почему?

20. Задумали число, прибавили 5, умножили на 2, вычли 10 и получили 40. Какое число задумали?

Часть Б (21–30) — требуется записать полное (или краткое) логическое решение.

21. (Задача на истинность) Три ученика: Костя, Дима, Сергей. Костя: «Я решил задачу». Дима: «Я не решал». Сергей: «Костя не решал». Ровно один сказал правду. Кто решил задачу? Обоснуйте.

22. (Табличная) Пять человек: Пётр, Иван, Николай, Сергей, Михаил. Профессии: врач, учитель, инженер, шофёр, строитель. Известно:

— Пётр не врач и не учитель.

— Иван не инженер.

— Врач живёт в зелёном доме.

— Шофёр — в синем доме.

— Учитель — рядом с шофёром.

— Михаил — строитель.

— Сергей — в жёлтом доме.

Постройте таблицу. Определите профессию каждого.

23. (Переливание) Три сосуда: 10 л (полный), 7 л (пустой), 3 л (пустой). Получите 5 л в 7-литровом сосуде. Опишите последовательность переливаний.

24. (Комбинированная) Четыре школьника перепутали рюкзаки. Каждый взял чужой. Аня взяла не у Бори и не у Веры. Боря взял не у Ани. Вера взяла у Бори. Определите, кто у кого взял.

25. (Пространственная) Расставьте числа 1–6 в ряд так, чтобы сумма любых двух соседних делилась на 2 или на 3. Приведите одну расстановку.

26. (Взвешивание) Из 9 монет одна фальшивая (легче). Опишите алгоритм двух взвешиваний.

27. («Обманная») Кирпич весит 1 кг и ещё полкирпича. Сколько весит кирпич? Решение.

28. (Последовательности) Восстановите порядок событий: Маша позже Кати, Катя раньше Лены, Лена позже Нади, но раньше Оли, Оля позже Маши. Кто пришёл самым первым?

29. (Графы) Постройте граф состояний для задачи «переливание 5 л и 3 л → получить 4 л». Нарисуйте или опишите.

30. (Собственная задача — по желанию) Придумайте простую логическую задачу на любой тип и запишите её решение.

ОТВЕТЫ И КРАТКИЕ РЕШЕНИЯ

Раздел 1.

1. А — лжец, Б — рыцарь. Решение: предположим А рыцарь → противоречие.

2. А — лжец, Б — рыцарь (раз сегодня пятница, а Б сказал правду).

3. Правду говорит Саша, пятёрка у Миши.

4. Правдив только Борис, Андрей и Виктор — лжецы.

5. Задачу решил Боря.

6. Таня.

Раздел 2.

7. 1 — Борис, 2 — Виктор, 3 — Антон.

8. Маша — сопрано, Оля — дискант? (проверить таблицу), Катя — альт.

9. Лена — рисование, Маша — вышивание, Оля — пение.

10. Игорь.

11. Антон → Глеб, Борис → Владимир, Владимир → Борис, Глеб → Антон.

12. (один из вариантов) 1 — красный (Борис), 2 — синий (Виктор), 3 — зелёный (Анна), 4 — белый (Галина), 5 — жёлтый (Дмитрий).

Раздел 3.

13. Алгоритм: (0,0)→(5,0)→(2,3)→(2,0)→(0,2)→(5,2)→(4,3).

14. (5,0)→(2,3)→(2,0)→(0,2)→(5,2)→(4,3)→(4,0)→(1,3).

15. Способ 1: (9,0)→(5,4)→(5,0)→(1,4)→(1,0)→(0,1)→(9,1)→(6,4). Способ 2: аналогично с другим порядком.

16. (8,0,0)→(3,5,0)→(3,2,3)→(6,2,0)→(6,0,2)→(1,5,2)→(1,4,3)→(4,4,0).

17. (10,0,0)→(3,7,0)→(3,4,3)→(6,4,0)→(6,1,3)→(9,1,0)→(9,0,1)→(2,7,1)→(2,5,3)→(5,5,0). (Есть более короткие пути.)

18. Алгоритм из 14 шагов (см. решение в дипломе).

Раздел 4.

19. За 2 взвешивания. Делим на 3 кучки по 3.

20. За 3 взвешивания (деление на 12 → 4,4,4 → потом по 2 и по 1).

21. За 3 взвешивания (27 → 9,9,9 → 3,3,3 → 1,1,1).

22. Первое взвешивание с гирей 3 г, второе — с гирей 5 г или 1 г в зависимости от исхода.

Раздел 5.

23. Сосед Г — В (или Б — зависит от расстановки, решение: рисуем круг).

24. Третий дом — зелёный (или синий? перепроверить по условию).

25. 1,2,4,5,3,6 (или 1,3,5,4,2,6).

26. (по часовой стрелке) Галина, Виктор, Елена, Андрей, Дмитрий, Борис.

27. Да, можно. Примерные координаты: A(0;0), B(5;0), C(7;5,66), D(4;6,93).

Раздел 6.

28. 15 лет. (x+5 = 2(x-5) → x+5=2x-10 → x=15)

29. Старший — Аня, младшая — Вера.

30. В 3 раза.

31. 1 — Борис, 2 — Андрей, 3 — Владимир.

32. Надя, Катя, Лена, Маша, Оля (или: Катя, Надя, Лена, Маша, Оля — уточнить по транзитивности).

Раздел 7.

33. 2 кг.

34. Через 1 час (последнюю таблетку принимают через 1 час после первой: 0→0,5→1).

35. Сложить из трёх спичек римскую цифру IV (четыре).

36. Одинаково (1 кг = 1 кг).

37. Ни то, ни другое — парадокс: если он лжёт, то говорит правду, и наоборот.

38. Да: каждого нового гостя можно заселить, сдвинув всех на 1 комнату. Для бесконечного числа — сдвиг в 2 раза.

Раздел 8.

39. Профессии: Алексей — инженер? (решать через таблицу/гипотезы), переливание: да, 5 и 8 → 6 л — алгоритм.

40. Задачу решил Дима. Переливание 7 и 11 → 6 л: (0,0)→(7,0)→(0,7)→(7,7)→(3,11)→(3,0)→(0,3)→(7,3)→(0,10)→(7,10)→(6,11).

41. (Индивидуально).

Итоговый тест (кратко)

1. А — лжец, Б — рыцарь.

2. 36, 49.

3. 30. (10+5)×2=30.

4. 5 минут.

5. (7,0)→(4,3)→(4,0)→(1,3)→(1,0)→(0,1)→(7,1)→(5,3).

6. 3 взвешивания.

7. 27.

8. 3 носка.

9. Нет.

10. 6 яблок.

11. 6 матчей.

12. Г) колесо.

13. пар.

14. Катя (или Маша — по таблице).

15. Да: оба лжецы.

16. Аня.

17. 6 способов.

18. 12 кубиков (на рёбрах, кроме вершин).

19. Нет — парадокс.

20. 20.

21. Решил Дима (подробно перебором гипотез).

22. (Таблица — самостоятельно.)

23. (Алгоритм из 7–8 шагов, см. раздел 3).

24. Аня → Глеб, Боря → Владимир, Вера → Борис, Глеб → Антон.

25. 1,2,4,5,3,6.

26. Делим на 3 кучки по 3, потом 2 монеты из подозрительной.

27. 2 кг (уравнение).

28. Надя (или Катя) — проверьте транзитивно.

29. Граф: (0,0)→(5,0)→(2,3)→(2,0)→(0,2)→(5,2)→(4,3).

30. (Индивидуально).

КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ (для итогового теста)

• 0–15 баллов — низкий уровень (необходимо повторить курс).

• 16–30 баллов — средний уровень (базовые навыки сформированы).

• 31–45 баллов — высокий уровень (логическое мышление развито хорошо).

Для развёрнутых задач (21–30) дополнительно оценивается:

— полнота рассуждения (0–1)

— логическая корректность (0–1)

— использование нужного метода (таблица, граф, гипотеза) (0–1)