Сборник задач для учащихся 5-6 классов на развитие мышления, логики и пространственного мышления.
материал (геометрия, 5 класс) по теме

Сборник  задач для учащихся 5-6 классов на развитие мышления, логики и пространственного мышления.

  § 1. Задачи на разрезание и складывание фигур

Задача 1. На рисунке 1, показан способ разрезания квадрата со стороной в четыре клетки по сторонам клеток на две равные части. Найдите пять других способовсколько существует способов разрезания квадрата на две равные части линиями, идущими по сторонам маленьких квадратиков?

Рис. 1

Задача 2. Эта задача посложнее, так как фигура на рисунке, которую также нужно разрезать на две равные части, не такая простая.

Рис. 2

Задача 3. Над разрезанием этих фигурок (рис. 3) на две равные части подумайте на досуге. Это очень хороший и полезный отдых, гораздо лучше сидения перед телевизором.

Замечание. Разрезать можно не только по сторонам, но и по диагоналям клеточек.

                                                Рис. 3

Задача 4. 

  М.Артемьев .Разрезалка.  Разрежьте фигуру с вырезанным квадратиком на две одинаковые части, из которых можно составить вторую фигуру. Части разрешается и поворачивать, и переворачивать.

             Рис. 5

Задача 5. Д.Калинин. Цветной куб. Найдите наибольшее число цветов, в которые можно покрасить ребра куба (каждое ребро одним цветом) так, чтобы для каждой пары цветов нашлись два соседних ребра, покрашенные в эти цвета. Соседними считаются ребра , имеющие общую вершину.

Задача 6.  Д Шноль, А. Хачатурян. Квадрат. Квадрат разрезали на двенадцать прямоугольных треугольников. Могут ли десять из них оказаться равными друг другу, а два оставшихся- отличаться от них, и друг от друга?

Задача 7.  Д. Шноль. Жесть. Иван Иванович построил сруб, квадратный в основании, и собирается покрывать его крышей. Он выбирает между двумя крышами одинаковой высоты: двускатной и четырехскатной. На какую из этих крыш понадобиться больше жести?

Задача 8.  А.В. Шевкин.  Фигура изображена на клетчатой бумаге ( рис. 1).

Рис. 6

а) Покажите, как можно разрезать ее на 4 равные части, если резать разрешается только по линейкам клетчатой бумаги.

б)  Найдите все возможные фигуры, которые можно получить при таком разрезании.

в) Можно ли ту же фигуру разрезать на 5 равных частей по тем же правилам?

Задача 9. А.В. Шевкин.

а) Покажите, как можно разрезать прямоугольник 9 х 4 (рис. 7) на 2 равные части, если резать разрешается только по линейкам клетчатой бумаги.

б)  В каком из найденных случаев из полученных частей можно сложить квадрат?

   Рис. 7

Задача  10.  А.В. Шевкин.

Фигура изображена на клетчатой бумаге  (рис.8)

а) Покажите, как можно разрезать ее на 2 равные части. Если резать разрешается только по линейкам клетчатой бумаги.

б) Найдите все возможные способы разрезания.

Рис. 8

Задача 11. А.В. Шевкин.

а) Покажите, как можно разрезать на 2 равные части фигуру, изображенную на клетчатой бумаге рис. 9, если резать разрешается только по линиям клетчатой бумаги.

б) В каком из найденных случаев из двух полученных равных частей можно сложить квадрат?

Рис. 9

Задача 12. А.В. Фарков.

Квадрат разрезали по ломаной линии, состоящей из трех равных отрезков. Начало разреза в точке А . Получили две равные фигуры. Как это сделали?

Рис. 10

Задача 13. А.В. Фарков.

Как разрезать квадрат 5 х 5 прямыми линиям 

Задача 14. 

А теперь мы предлагаем вам не задачу, а игру. И она называется ПЕНТАМИНО.

Эта игра была придумана в 50-х годах ХХ в. американским математиком С. Голомбом и очень быстро увлекла не только школьников и студентов, но и профессоров математики. Она заключается в складывании различных фигур из заданного набора ПЕНТАМИНО. Набор ПЕНТАМИНО содержит 12 фигурок, каждая из которых составлена из пяти («пента» в переводе  с греческого означает «пять») одинаковых квадратов, причём квадраты «соседствуют» друг с другом только сторонами.

Составьте из пяти квадратов все 12 фигур ПЕНТАМИНО. Сравните свои результаты с рисунком 4.

Изготовьте из картона набор ПЕНТАМИНО со стороной квадратика, равной 2 см.

Уложите все 12 фигур ПЕНТАМИНО в прямоугольник 6 х 10. Сколько разных вариантов вы можете предложить? Фигурки ПЕНТАМИНО можно переворачивать.^[1]

 Перемешайте фигуры ПЕНТАМИНО на столе, чтобы они лежали произвольно, а затем сложите прямоугольник 6 х 10, не переварачивая ни одной фигурки.^[2]

Постройте два прямоугольника 5 х 6.

                              Рис.4

Задача 15. Головоломка «Танграм»

Задача I. Можно ли составить  треугольник, используя только две фигуры танграма? Три? Пять? Шесть? Все семь фигур?

Задача II.   Сложите такой же треугольник , используя:

а) один большой треугольник, два маленьких треугольника и параллелограмм.

в) один большой треугольник, один треугольник средний и два маленьких.

Задача III.   Очевидно, что из всех семи фигур составляется квадрат. Можно ли составить квадрат из двух фигур? Из трех?

Задача IV.     Из каких различных фигур танграма можно составить прямоугольники? Какие еще многоугольники можно составить? ^[3]

Задача V. Соберите предложенные фигуры из элементов танграма  

(приложение  4).

§ 2 Занимательные и старинные задачи.

Задача 1. Основание Карфагена.

Об основании древнего города Карфагена существует следующее предание. Дидона, дочь тирского царя, потеряв мужа, убитого рукой ее брата, бежала в Африку и высадилась со многими жителями Тира на ее северном берегу. Здесь она купила у нумидийского царя столько земли, «сколько занимает воловья шкура». Когда сделка состоялась, Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие ремешки и благодаря такой уловке охватила участок земли, достаточный для сооружения крепости. Так будто бы возникла крепость Карфаген, к которой впоследствии был пристроен город.

Попробуйте вычислить, какую площадь могла, согласно этому преданию, занять крепость, если считать, что воловья шкура имеет поверхность 4 кв. м, а ширину ремешков, на которые Дидона ее разрезала, принять равной 1 мм

Задача 2. Четыре куба.

Из одного и того же материала изготовлено четыре сплошных куба различной высоты (рис. 1), а именно в 6 см, 8 см, 10 см и 12 см. надо разместить их на весах так, что бы чашки были в равновесии.

Рис. 1

Какие кубы или какой куб положите вы на одну чашку и какие (или какой) на другую?

Задача 3. Кирпичик.

Строительный кирпич весит 4 кг.

Сколько весит игрушечный кирпичик из того же материала, все размеры которого в четыре раза меньше?

Задача 4. Путь мухи

На внутренней стенке стеклянной цилиндрической банки виднеется капля меда в 3 см от верхнего края сосуда. А на наружной стенке, в точке, диаметрально противоположной, уселась муха (рис. 2).

Укажите мухе кратчайший путь, по которому она может добежать до медовой капли.

Высота банки 20 см; диаметр 10 см.

                                                                                                                Рис. 2

 Задача 5. Путь жука. 

У дороги лежит тесаный гранитный камень в 30 см длины, 20 см высоты и такой же толщины (рис. 3). В точке А — жук, намеревающийся кратчайшим путем направиться к углу В. Как пролегает этот кратчайший путь и какой он длины?

                                                                    Рис. 3

 Задача 6. Число граней

Вот вопрос, который, без сомнения, покажется многим слишком наивным или, напротив, чересчур хитроумным: сколько граней у шестигранного карандаша?

Задача 7.Сколько прямоугольников?

Сколько прямоугольников можете вы насчитать в этой фигуре (рис.4)?

Не спешите с ответом. Обратите внимание на то, что спрашивается не о числе квадратов, а о числе прямоугольников вообще — больших и малых, — какие

Рис.4

можно насчитать в этой фигуре.

Задача 8.  Путешествие шмеля

Шмель отправляется в дальнее путешествие. Из родного гнезда он летит прямо на юг, пересекает речку и наконец после целого часа пути спускается на косогор, покрытый душистым клевером. Здесь, перелетая с цветка на цветок, шмель остается полчаса.

Теперь надо посетить сад, где шмель вчера заметил цветущие кусты крыжовника. Сад лежит на запад от косогора, и шмель спешит прямо туда. Спустя 3/4 часа он был уже в саду. Крыжовник в полном цвету, и, чтобы посетить все кусты, понадобилось шмелю 1 1/2 часа.

А затем, не отвлекаясь в стороны, шмель кратчайшей дорогой полетел домой, в родное гнездо.

Сколько времени шмель пробыл в отсутствие родного гнезда?                                                                                                                                  

 Рис. 5

Задача 9. ЛЕНТА МЕБИУСА

Рис. 6

Но известно, что лист Мёбиуса — поверхность односторонняя. Пройдя вдоль всей его <средней линии> с поднятым вверх флажком, мы вернёмся в исходную точку — но флажок будет теперь "поднят" в другую сторону (рис. 8)! Это значит, что флажок, не пересекая проективную плоскость, попал из "внешности" во "внутренность" дополнения к ней.^[4] 

         Задача 1. Вырежьте из бумаги три одинаковые полоски в форме прямоугольника  со сторонами  200 мм  и  20 мм и

а) склейте кольцо, повернув один из концов полоски на 180 ;

б) склейте кольцо,  дважды повернув один из концов полоски на 180 ;

в)склейте кольцо , трижды повернув один из концов полоски на 180 .

        Маршрут движения мухи начинается и заканчивается на месте склейки кольца, причем она всегда ползет на ровном расстоянии от краев кольца.Для каждого из пунктов а - в определите расстояние, которое проползла муха.^[5]

Задача 10. Индийского математика XII века Бхаскары.

"На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в этом месте река

В четыре лишь фута была широка

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?"

Задача 11.  Из китайской "Математики в девяти книгах"

    "Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его.

    Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?"

Задача 12. Из учебника "Арифметика" Леонтия Магницкого

    "Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп.

    И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти иметь."

Задача № 13.  Парадокс с разрезанием ковра.

Один фокусник (имя его за давностью забылось) нашел способ, как разрезать квадратный ковер на 4 части, а затем сложить из этих частей прямоугольный ковер большей площади.

Способ этот такой: разобьем каждую сторону квадрата (квадратного ковра) на 8 равных частей, проведем прямые линии, как указано на рис. 7 и разрежем по ним квадрат на 4 части. Затем сложим эти части так, как показано на рис. 8, получим прямоугольный ковер. Площадь прямоугольного ковра больше площади квадратного ковра, т. к. 13 х 5 = 65, а 8 х 8 = 64. В чем же дело? Почему увеличилась площадь?

Вы сможете ответить на этот вопрос самостоятельно, если нарисуете большой квадрат (чем больше, тем лучше), разрежете его по «выкройке» рис.7 и сложите по «выкройке» рис. 8.

Задача 14. Пифагорова головоломка.

    Из семи частей квадрата составить снова квадрат, прямоугольник, равнобедренный треугольник, трапецию. Квадрат разрезается так: E, F, K, L – середины сторон квадрата, О – центр квадрата, ОМ ⊥ EF, NF ⊥ EF.^[6]

§ 3.Задачи на   неравенство треугольника и геометрические преобразования

Задача 1: Грибник выходит из леса в заданной точке. Ему надо дойти до шоссе, которое представляет собой прямую линию, и зайти обратно в лес в другой заданной точке. Как ему сделать это, пройдя по самому короткому пути?
       Задача 2. Полуостров представляет собой острый угол, внутри которого находится дом лесника. Как леснику, выйдя из дома, добраться до одного берега полуострова, затем до другого и вернуться домой, пройдя при этом   по самому короткому пути?

Задача 3. Точку A, лежащую внутри острого угла, отразили симметрично относительно сторон угла. Полученные точки B и C соединили и точки пересечения отрезка BC со сторонами угла обозначили через D и E. Докажите, что BC/2 > DE.

 Задача 4. Точка C лежит внутри данного прямого угла, а точки A и B лежат на его сторонах. Докажите, что периметр треугольника ABC не меньше удвоенного расстояния OC, где O – вершина данного прямого угла.
        Задача 5. Муха сидит в вершину X деревянного куба. Как ей переползти в противоположную вершину куба Y, двигаясь по самому короткому пути?
       Задача 6. На середине ребра молочного пакета сидит паук, которому необходимо добраться до середины противоположного ребра. Как ему это сделать за наименьшее время?^[7]

Список используемой литературы

1. Ресурсы интернет, ru.wikipedia.org

2. Гершинзон М.А. Головоломки профессора Головоломки. М. дет.лит., 1994, с-10.

3. Шевкин А.В. Школьная математическая олимпиада. илекса 2008, с 28-

4. Перельман Я.И. Живая математика, Пилигрим, 1999 г., с-76-150.

5. Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Потапов М.К. Старинные занимательные задачи. Дрофа, 2002 г.  

6. Фарков А.В. готовимся к олимпиаде оп математике. Экзамен, Москва, 2007.

7. А.Д.Блинков, А.В.Семенов, Т.А.Баранова, М.М.Горшкова, К.П.Кочетков, М.Г.Потапова Математика: Интеллектуальные марафоны, турниры, бои. Изд.»Первое сентября» 2003,с.69.