Парадокс дней рождений
проект по алгебре (7, 8, 9 класс)

        Всем добрый день! Поднимите руку, кто любит загадки? А кто верит своей интуиции – тому самому шестому чувству? Отлично! Сегодня мы проверим: можно ли доверять интуиции, или математика умеет предсказывать то, что кажется невозможным!

        Впервые парадокс дней рождений был описан в 1939 году Рихаром Мизесом и показал неожиданные вероятностные результаты.

Как вы думаете, сколько человек должно быть в классе, чтобы вероятность совпадения дней рождений у двоих, не учитывая год рождения, составила 50 %? Давайте подумаем. Нас здесь примерно 30 человек, у двоих должен совпасть день и месяц рождения, например, 15 марта. Казалось бы вероятность не большая, ведь в году 365 или 366 дней, т.е. вариантов для рождения в 10 раз больше, чем самих учащихся.

        Давайте проголосуем:

1. Кто считает, что нужно больше 100 человек?
2. Кто считает, что от 50 до 100?
3. Кто считает, что меньше 50?

Логика против математики. Интуиция кричит: «Много!». Математика шепчет: «Очень мало!». Давайте проверим на деле. Отсканируйте QR  код и перейдите, пожалуйста, по ссылке на яндекс-форму и ответьте на 2 вопроса: ваше имя и фамилия, и отметьте дату вашего рождения.

Спасибо! Сейчас я выгружу ваши данные в эксель. Выделим из даты вашего рождения отдельно месяц и день для более удобной группировки. Далее выделим ячейки с повторяющимися значениями.

1. = месяц
2. = день
3. Главная – условное форматирование – правила выделения ячеек – повторяющиеся значения

Вариант А.  Не может быть! У нас есть совпадение! У (имя) и (имя) – у вас обоих (число) (месяц). Видите? Нас здесь 30 человек, а совпадение уже есть. Интуиция говорила: «Нужно 100 человек», а математика «достаточно 23». Кто хочет узнать, как это работает?

Вариант Б.  К сожалению, совпадений не получилось. Но знаете, в чем хитрость вероятности? 50 % - это не гарантия. Это как подбросить монетку: может выпасть орел, а может – решка. Если бы мы повторили этот эксперимент 100 раз с группами по 23 человека – в 50 случаях из 100 совпадение БЫЛО бы.

Хотите понять, почему математика видит то, что мы не замечаем? Тогда смотрим на доску.

Секрет не в людях. Секрет – в СВЯЗЯХ между ними. Представьте: каждый из вас – это точка. Если нас двое – между нами одна линия. Одна пара – один шанс на совпадение. Если нас трое – линий уже три. Приглашаются трое самых смелых. Давайте покажем наглядно, как образуются эти 3 пары.

А если нас 23? Сколько будет пар? Первый человек может составить пару с 22 другими, второй – с 21 (с первым уже посчитали) и т.д. Складываем: 22 +21 + 20 +…+1 =253 пары. В этом фокус. Интуиция считала людей (23), а математика считает связи (253). Это число больше, чем половина дней в году. 253 шанса – это уже немало, правда?

А как бы мы эту задачу решали с точки зрения теории вероятности. У одного человека мы знаем день рождения. Какова вероятность совпадения его дня рождения с днем рождения другого человека? 1/365, для трех человек 2/365 и для 23 человек 22/365. Чтобы посчитать вероятность совпадения для группы мы должны эти вероятности перемножить.

        Для группы из 10 человек вероятность совпадений дней рождения составляет 11,7 %, из 23 человек -  чуть больше половины, а для группы из 50 человек шанс совпадения – уже 97 %.

        Отлично, с днями рождения разобрались.  Где пригодиться это знание в реальной жизни? Кто догадался? Подсказка: это про безопасность. Верно! Криптография – наука о шифрах. Хакеры используют парадокс дней рождения, чтобы подбирать пароли быстрее. Если среди вас те, кто использует в качестве пароля день своего рождения? Как вы поняли, так делать не нужно.

        А ещё? При статистических подсчетах, для анализа социальных групп и коллективов. А также в генетике и медицинской диагностике. Ученые ищут совпадения в генах, чтобы лечить болезни.

        Итак, друзья, сколько человек должно быть в классе, чтобы вероятность совпадения дней рождений у двоих, не учитывая год рождения, составила 50 %? Всего лишь 23 человека. Парадокс дней рождений показывает, что математика может удивлять. Интуиция – это хорошо. Но проверять ее расчетом – еще лучше!