Обобщенный метод интервалов
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс)

Слайд 1

Слайд 2

Цель работы : Н аучиться использовать метод интервалов для решения многих неравенств: дробно-рациональных, квадратных, с модулем.

Слайд 3

Метод интервалов — это один из методов, применяющихся для решения рациональных неравенств, приведенных к стандартному виду. Он позволяет организованно исследовать знак произведения, стоящего в левой части неравенства, опираясь на следующее рассуждение: Точки х 1 , х 2 , …, х n разбивают числовую ось на промежутки – интервалы, на каждом из которых произведение имеет фиксированный знак; На самом правом их получившихся промежутков произведение заведомо положительно, так как на нем положителен каждый из его сомножителей; Далее, если двигаться по числовой оси справа налево, то при переходе через очередной корень х i меняет знак множитель x - x I только он, поэтому знак произведения либо меняется – когда соответствующая степень k i нечетна, либо не меняется – когда она четна Наконец, для завершения исследования достаточно выяснить, в каких точках x i произведение равно нулю, а в каких – не имеет смысла, что определяется знаком степени k i

Слайд 4

Пример №1 Решение. X - 3 0 1 3 Ответ: X < -3, 0≤ X< 1, X=3

Слайд 5

Пример №2 Решение: Найдем нули числителя и знаменателя X = 1 X≠-1 X = 2 X≠-2 X = 3 X≠-3 + + + + - - - -3 -2 -1 1 2 3 Ответ: ( ; - 3) (-2; -1) (1; 2) (3; ) X

Слайд 6

Пример №3 Решение: x = x ≠ -1 x= x ≠ -1 x=3 x ≠ 4 -1 3 4 - + + - - + X Ответ: X [ ; -1) (-1; ] (4 ; ) Найдем нули числителя и знаменателя 1) 2)

Слайд 7

Уравнения и неравенства с модулем Стандартное правило раскрытия модуля основывается на его определении: X X ≥0 │ X │= - X X <0 Раскрывая сразу несколько модулей, приходится разбирать случаи, которые задаются знаками выражений, стоящих под модулем. Однако, если количество модулей велико, то велико и число разбираемых случаев. Его можно заметно сократить за счет применения метода интервалов: так, все корни выражений f i ( x ), от каждого из которых в уравнении или неравенстве взят модуль, разбивают числовую прямую на промежутки (число которых сравнимо с числом модулей) – и на любом из них каждый модуль │ f i ( x )│ раскрывается уже вполне однозначно.

Слайд 8

Пример №4 │х - 1│+ 2│х - 3 │ = 5 - х Решение . 1 3 + - - х < 1, (1 – х ) + 2(3 – х ) = 5 – х 1≤x<3 (x-1)+2(3-x)=5-x 1≤x<3 x ≥3 (x-1)+2(x-3)=5-x x=3 Ответ: 1≤х≤3

Слайд 9

│х 2 │ = х 2 │х│ = √х 2 │х у│= │х│ * │у│- модуль произведения │ │ = ( y ≠0) – модуль дроби │ x │≥ x │ x + y │≤ │ x │+ │ y │- неравенство треугольника │ x - y │≥ ││ x │- │ y ││. Свойства модулей:

Слайд 10

Пример №5 Решение . x (│x 2 -1│-2│x-1│)<0 . x (│ x 2 -1│-2│ x -1│)<0; x (( x 2 -1) 2 -(2 x -2) 2 )<0 (так как │ f │-│ g │ и f 2 - g 2 —одного знака); x (( x 2 -1)+(2 x -2))(( x 2 -1)-(2 x -2))<0; x ( x 2 +2 x -3)( x 2 -2 x +1)<0; x ( x +3)( x -1) 3 <0; -3 0 1 x + + - - Ответ: x< -3, 0< x< 1