Все способы разложения на множители

1. Вынесение общего множителя за скобки

Самый базовый способ. Находим общий множитель у всех членов и выносим его.

Пример: 6x³ + 9x² = 3x²(2x + 3)

2. Способ группировки

Группируем члены так, чтобы в каждой группе появился общий множитель.

Пример: ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y) = (x+y)(a+b)

3. Формулы сокращённого умножения

• Разность квадратов: a² − b² = (a−b)(a+b)
• Квадрат суммы/разности (свёртывание): a² ± 2ab + b² = (a ± b)²
• Сумма/разность кубов:
  • a³ + b³ = (a+b)(a² − ab + b²)
  • a³ − b³ = (a−b)(a² + ab + b²)
• Куб суммы/разности: a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³ = (a ± b)³

4. Разложение квадратного трёхчлена

Через корни: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂), где x₁, x₂ — корни уравнения ax²+bx+c=0.

Пример: x² − 5x + 6 = (x−2)(x−3)

5. Метод неопределённых коэффициентов

Для многочленов с целыми коэффициентами предполагаем вид разложения и находим коэффициенты.

6. Теорема Безу и схема Горнера

Если x = a — корень многочлена P(x), то P(x) делится на (x − a). Помогает понижать степень.

Пример: x³ − 6x² + 11x − 6 = (x−1)(x−2)(x−3)

7. Разложение по теореме о рациональных корнях

Ищем рациональные корни вида p/q (где p делит свободный член, q делит старший коэффициент), затем делим.

8. Выделение полного квадрата

Иногда помогает свести к разности квадратов.

Пример: x² + 4x + 3 = (x+2)² − 1 = (x+2−1)(x+2+1) = (x+1)(x+3)

9. Замена переменной

Вводим новую переменную для упрощения структуры.

Пример (биквадратное): x⁴ − 5x² + 4, замена t = x²: t² − 5t + 4 = (t−1)(t−4), обратно: (x²−1)(x²−4) = (x−1)(x+1)(x−2)(x+2)

10. Разложение многочленов от нескольких переменных

Комбинация группировки, формул и однородности.

Пример: x² − y² + 2x + 1 = (x+1)² − y² = (x+1−y)(x+1+y)

11. Специальные приёмы

• Симметричные и возвратные многочлены — деление на xⁿ и замена t = x + 1/x.
• Добавление и вычитание членов (искусственный приём).
• Разложение через комплексные корни (над ℂ любой многочлен раскладывается на линейные множители).

Общая стратегия

1. Вынести общий множитель.
2. Проверить формулы сокращённого умножения.
3. Попробовать группировку.
4. Для квадратного трёхчлена — через корни.
5. Для высоких степеней — теорема Безу / схема Горнера.