История возникновения обыкновенных дробей
план-конспект

Самостоятельная работа «Задачи на дроби»

Вариант 1

Уровень А

1. Туристы прошли 90 км пути, что составляет  всего пути, который они должны пройти. Сколько километров должны пройти туристы?
2. У Саната было 182 тенге. На покупку книги он истратил этой суммы. Найдите стоимость книги.

Уровень В и С

1. Длина прямоугольника 21 см, ширина его составляет  длины. Какова площадь прямоугольника?
2. В одной сетке 48 яблок, что составляет  яблок, находящихся в другой сетке. Сколько яблок в двух сетках?
3. Заводом было выпущено 150 холодильников. В больницы было отправлено  этих холодильников, а в детские сады  остальных. Сколько холодильников было отправлено в детские сады?

Вариант II

Уровень А

1. Количество учеников 5-го класса 189. Из них  учатся на «4» и «5». Сколько учеников 5-го класса учится на «4» и «5»?
2. Марат истратил 130 тенге на покупку тетрадей, что составляет  его денег. Сколько всего тенге было у Марата?

Уровень В и С

1. Длина прямоугольной формы  м, ширина составляет  длины. Найдите площадь комнаты.
2. В первый день туристы прошли 72 км, что составляет  пути, пройденного за второй день. Сколько километров пути прошли туристы за два дня?
3. На электричке, автобусе и катере туристы проехали 150 км. Расстояние, которое туристы проехали на электричке, составляет  всего пути, а на автобусе -  остатка пути. Сколько километров туристы проехали на автобусе?

Тема. Задача Эйлера

Цель урока: знакомство с математическим понятием граф.

Леонард Эйлер жил в 18 веке, родился в Швейцарии, но большую часть своей жизни он прожил в России, в Санкт – Петербурге. Это один из немногих математиков, который при жизни был признан первым математиком мира. Именно Леонард Эйлер ввёл понятие скобки и впервые записал их.

Однажды Леонард Эйлер гулял в городе Кёнигсберг по берегам реки Прегель. Жители города задали ему вопрос: «Можно ли совершить прогулку по семи мостам, так чтобы не проходить по каждому мосту дважды?»

Что сделал Эйлер? Он изобразил острова в виде точек, мосты в виде линий и построил схему. Впоследствии такие схемы он назовёт ГРАФ.

Граф – это набор точек некоторые из которых соединены линиями. Точки называются вершинами, а соединяющие их линии – рёбрами.

Число рёбер выходящих и любой вершины называется степень вершины. Если из вершины нечётное число рёбер, то она называется нечётной. Если чётное число рёбер, то чётной.

Итак, чтобы найти количество рёбер графа нужно суммировать степени вершин и поделить на 2.

Когда, например, мы рисуем домик, не отрывая карандаша от бумаги, то мы строим уникурсальный граф. Построение графа не отрывая карандаша от бумаги.

Возвращаемся к нашей задаче. «Можно ли совершить прогулку по семи мостам, так чтобы не проходить по каждому мосту дважды?» Т. е. можно ли нарисовать граф не отрывая карандаша от бумаги? (НЕТ) все его вершины его нечётные.

Решение задач с помощью кругов Эйлера.

Задача 1. Все мои друзья занимаются каким-нибудь видом спорта. 16 из них увлекаются футболом, а 12 — баскетболом. И только двое увлекаются и тем и другим видом спорта. Угадайте, сколько у меня друзей?

Решение: Обратимся к кругам Эйлера:

Изобразим два множества (можно вводить обозначения их не только кругами), так как два вида спорта. В одном я буду фиксировать друзей, которые увлекаются футболом, а в другом — баскетболом. Поскольку некоторые из моих друзей увлекаются и тем и другим видом спорта, то квадраты нарисую так, чтобы у них была общая часть (пересечение). В этой общей части ставим цифру 2. В оставшейся части «футболистов» круга ставим цифру 14 (16 − 2= 14). В свободной части «баскетболистов» круга ставим цифру10 (12 − 2 = 10). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 14 + 2 + 10 = 26 друзей.

Ответ: 26 друзей.

Задача 2. Любимые мультфильмы

Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?

Решение

В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж: 

Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок» пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем: 

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов». 
13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок». 
Получаем: 

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны». 
Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек. 
Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».

Задача 3. Гарри Поттер, Рон и Гермиона

На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?

Решение

Учитывая условия задачи, чертеж будет таков: 
Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри. Следовательно, 
26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал только Рон. 
Ответ. 8 книг прочитал только Рон.

4) Работа в группах. Самостоятельное решение задач, с последующей проверкой. 1 группа: Пионерский лагерь

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение

Изобразим множества следующим образом: 

70 – (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 – ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке. Только спортом заняты 5 человек. 
Ответ. 5 человек заняты только спортом.

2 группа: Экстрим

Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

Решение

Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общей части кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Внесем эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеют кататься только на одном спортивном снаряде. Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят. 20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде. 
Ответ. 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

3 группа: «троечники»

В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют «тройки» 19 человек, по математике – 17 человек и по истории – 22 человека. Только по одному предмету имеют «тройки»: по русскому языку – 4 человека, по математике – 4 человека, по истории – 11 человек. Семь учеников имеют «тройки» и по математике и по истории, а 5 учеников – «тройки» по всем предметам. Сколько человек учится без «троек»? Сколько человек имеют «тройки» по двум из трех предметов?

Решение. Нарисуем круги Эйлера. Внутри большего круга, изображающего всех учеников класса, поместим три меньших круга М, Р, И, означающих соответственно математика, русский язык и история.

Дальнейшие расчеты не представляют большого труда. Так как число ребят, имеющих «тройки» по математике и истории, равно 7, то число учеников, имеющих только две «тройки» - по математике и по истории, равно 7-5=2. Тогда 17-4-5-2=6 учеников имеют две «тройки» - по математике и по русскому языку, а 22-5-2-11=4 ученика только две «тройки» - по истории и по русскому языку. В этом случае без «тройки» учится 40-22-4-6-4=4 ученика. А имеют «тройки» по двум предметам из трех 6+2+4=12 человек.

4 группа: Любители физики

Из 100 семиклассников, выполнивших практическое задание по физике, 75 сделали модели, а 65 эскиз фонтана, а 10 человек ни чего не сделали. Сколько учеников сделали модель и эскиз?

Решение: В большом круге, изображающем 100 семиклассников, поместим 2 меньших круга, изображающих учеников, выполнивших модель и эскиз фонтана. Мы видим, что 90 учеников (100-10)выполнили хотя бы одну часть задания; 15 учеников (90-75) сделали только эскиз фонтана, 75-15=50 – учеников сделали эскиз и фонтан.

Ответ: 50 учеников.

Домашнее задание: 

1. В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник, и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?
2. В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?
3. Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?
4. В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют «тройки» 19 человек, по математике – 17 человек и по истории – 22 человека. Только по одному предмету имеют «тройки»: по русскому языку – 4 человека, по математике – 4 человека, по истории – 11 человек. Семь учеников имеют «тройки» и по математике и по истории, а 5 учеников – «тройки» по всем предметам. Сколько человек учится без «троек»? Сколько человек имеют «тройки» по двум из трех предметов?
5. Из 100 семиклассников, выполнивших практическое задание по физике, 75 сделали модели, а 65 эскиз фонтана, а 10 человек ни чего не сделали. Сколько учеников сделали модель и эскиз?

Тема. Квадратура круга

  Вероятно, задача была известна уже за две тысячи лет до н. э. в Древнем Египте и Вавилоне. В то время у египетских математиков находятся первые решения задачи, как построить квадрат, равновеликий данному кругу, или определить соотношение между окружностью и её диаметром.
 В папирусе Ринда, написанным Ахмесом, говорится, что сторона квадрата, равновеликого площади круга, равна восьми девятым диаметра (так что π = 3,16). У древних вавилонян и евреев принималось, что длина окружности ровно втрое больше диаметра и, следовательно, π = 3,14….
     Древнегреческие математики также достигли чрезвычайно большого искусства в геометрических построениях. Они еще издавна преобразовывали любую прямолинейную фигуру с помощью циркуля и линейки в произвольную прямолинейную, равновеликую ей. Так появилась мысль обобщить эту задачу: построить с помощью циркуля и линейки такой квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга. Задача получила название квадратуры круга, и многие ученые пытались выполнить такое построение. Однако решение не поддавалось их усилиям. Но первая прямая ссылка на неё относится к V в. до н. э. По свидетельству древнегреческого историка Плутарха, философ Антифонт, коротая время в тюрьме, пытался квадрировать круг, т. е. превратить его в равновеликий квадрат.
       Полного решения, предложенного Антифонтом, не сохранилось, но считается, что оно состояло в следующем: производя последовательно удвоение сторон вписанного многоугольника, он получал  в конце-концов многоугольник с очень большим числом сторон, которые, по мысли Антифонта, должны совпадать с соответствующими им дугами окружности. Но, так как для любого многоугольника можно с помощью циркуля и линейки построить равновеликий квадрат, то такой квадрат можно построить и для данного круга.

Известный математик древности Гиппократ Хиосский (ок. 400 г. до н.э.) первый указал на то, что площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра. Но провести строгое доказательство ученый в то время еще не мог: не было подходящего метода. Попытки Гиппократа решить задачу о квадратуре круга привели его к открытию квадрируемых фигур (то есть таких, площади которых выражаются в рациональных числах), ограниченных пересекающимися окружностями. Найденное Гиппократом Хиосским соотношение позволило свести задачу о квадратуре круга к построению с помощью циркуля и линейки, если это возможно, полученного коэффициента пропорциональности, одного и того же для всех кругов. Они впоследствии получили название гиппократовых луночек. Казалось бы, что с появлением таких луночек найден ключ к решению задачи о квадратуре круга. Она была бы решена, если бы удалось разбить круг на квадрируемые части.
              Отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная, не зависящая от радиуса круга, она обозначается буквой П. Теперь известно,  π - число иррациональное, оно выражается бесконечной непериодической десятичной дробью 3,1415926…, которое было вычислено с 707 десятичными знаками математиком В. Шенксом. Этот результат вместе с формулой вычислений он обнародовал в 1837 году. Ни одна ещё задача подобного рода не решалась с таким огромным приближением и с точностью, далеко превышающее отношение микроскопических расстояний к телескопическим.
        Лишь в 80-х годах 19в. было строго доказано, что решить задачу о квадратуре круга с помощью циркуля и линейки невозможно. Эта задача становится разрешимой, если применять, кроме циркуля и линейки, еще другие средства построения.
        Термин «квадратура круга» стал синонимом неразрешимых задач. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре. Анализируя материал по данной теме, мы пришли к выводу, что неразрешимость некоторых задач служит отправной точкой новых математических исследований, интригует, стимулирует и способствует развитию творчества

Самостоятельная работа на построение