скрещивающиеся прямые
план-конспект

1)

прямой В1D1 и принадлежащую плоскости АВС

6)

прямой АС

2)

прямой ВС

7)

прямой СD1 и принадлежащую плоскости АВВ1

3)

прямой CD

8)

прямой А1D и принадлежащую плоскости ВСС1

4)

прямой ВВ1

9)

прямой AB

5)

прямой СВ и принадлежащую плоскости АDD1

10)

прямой АВ

1)

куба ABCDA1B1C1D1 скрещиваются с прямой АВ?

4

2)

правильной треугольной призмы АВСА1В1С1, скрещиваются с прямой АВ?

3

3)

треугольной пирамиды ТАВС (Т – вершина пирамиды), скрещиваются с прямой АС?

1

4)

куба ABCDA1B1C1D1 скрещиваются с прямой ВD1?

6

5)

правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 скрещиваются с прямой ВВ1?

2

6)

четырехугольной пирамиды ТАВСD (Т – вершина пирамиды), скрещиваются с прямой ВС?

2

7)

правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 скрещиваются с прямой АВ1?

3

8)

четырехугольной пирамиды ТАВСD (Т – вершина пирамиды), скрещиваются с прямой АС?

2

9)

прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 скрещиваются с прямой ВС?

4

10)

четырехугольной пирамиды ТАВСD (Т – вершина пирамиды), скрещиваются с прямой ТС?

2

Дано: DABC – пирамида.

Доказать: AD║PO

Решение:

Предположим, что прямые AD и РО параллельны между собой, тогда они лежат в одной плоскости, т.е. точки А, Р, D и О лежат в одной плоскости.

Прямая DO пересекает плоскость АВС в точке F, не лежащей на прямой АР.

Следовательно, прямые DO и АР являются скрещивающимися, т.е. не существует плоскости, в которой лежат точки А, Р, D и О.

Это противоречит предположению параллельности прямых AD и РО, следовательно, прямые AD и РО не являются параллельными.

Ответ: AD╫РО

1)

А1А и ВС

2)

АВ и А1D

3)

АА1 и DВ1

4)

АВ1 и DC

5)

АС и ВD1

1)

Через точку, не принадлежащую данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную этой прямой.

2)

Через точку, не принадлежащую данной прямой, можно провести только одну прямую, перпендикулярную этой прямой.

3)

Прямые, перпендикулярные одной и той же прямой параллельны.

4)

Прямая, пересекающая одну из двух данных параллельных прямых, пересекает и другую.

5)

Дано: АВСА1В1С1 – призма.

Найти: ∠(АВ;А1С1)

Решение:

Прямые АВ и А1С1 скрещиваются.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися параллельными им прямыми.

Прямая А1С1||АС, АС пересекается с прямой АВ.

Поскольку призма АВСА1В1С1 правильная, то в ее основании лежит равносторонний треугольник с углами в 60О. Следовательно, прямыми АВ и А1С1 равен 60О.

Ответ: 60О

1)

АВ и В1С1 в кубе ABCDA1B1C1D1?

90

2)

СС1 и АА1 в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1?

0

3)

АВ и В1С1 в правильной треугольной призме ABCA1B1C1?

60

4)

АС и В1С1 в кубе ABCDA1B1C1D1?

45

5)

АС и B1D1 в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, если диагонали основания пересекаются под углом в 60о?

60

6)

АВ и CС1 в правильной треугольной призме ABCA1B1C1?

90

7)

АС и В1D1 в кубе ABCDA1B1C1D1?

45

8)

АС и B1D1 в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, если диагонали основания пересекаются под углом в 60о?

30

9)

ВС и АА1 в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1?

90

10)

АА1 и CС1 в правильной треугольной призме ABCA1B1C1?

0

1)

Прямые ОВ и CD параллельные, а ОА и CD – скрещивающиеся. Найдите угол между прямыми ОА и СD, если ∠АОВ=40О.

40О

2)

Прямые ОВ и CD параллельные, а ОА и CD – скрещивающиеся. Найдите угол между прямыми ОА и СD, если ∠АОВ=135О.

45О

3)

Найдите угол между скрещивающимися прямыми АВ и PQ, если точки Р и Q равноудалены от концов отрезка АВ.

90О

Дано: ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед, АВ=1 см, AD=2 см, АА1=1 см.

Найти: ∠(А1F, D1К)

Решение:

Рассмотрим плоскость, проходящую через прямую A1F и точку К.

Плоскость проходит через прямую А1К, параллельную плоскости грани ВВ1С1С (так как А1К║В1О, где точка О – середина ребра ВС), а следовательно, пересекает эту грань по отрезку, параллельному прямой В1О, т.е. по отрезку FC.

Сечение параллелепипеда плоскостью есть четырехугольник КА1FC, который является параллелограммом (так как А1К=FC, А1К║FC). Следовательно, КС║A1F. Отсюда следует, что угол D1KC – искомый.

Градусную меру угла D1KC найдем из треугольника D1КС.

ΔKDD1=ΔCDD1, (DK=DC, ∠KDD1=∠CDD1=90o, DD1 – общая сторона).

ΔKDC=ΔCDD1 (DK=DD1, DC – общая сторона, ∠KDC=∠CDD1=90o).

Отсюда следует, что треугольник D1KC – равносторонний. Значит, ∠D1KC=60о.

Ответ: 60о

Дано: SABC – тетраэдр, AF=FB, AK=KC.

Найти: cos(SF, BK)

Решение:

В плоскости SCF через точку О=ВК∩FC проведем прямую OD, параллельную прямой SF. Тогда угол DOK – искомый. Соединим точку D с точкой К и найдем косинус угла DOK треугольника DOK.

Для нахождения косинуса угла вычислим длины сторон треугольника DOK и воспользуемся теоремой косинусов.

Пусть длина ребра тетраэдра равна а, ∠DOK=х.

В треугольнике DKC (CD=CS=a, CK=, ∠KDC=60o) DK2=CK2+CD2-2CK⋅CDcos60o, DK2=a2.

В треугольнике SFC OD║SF, OC=FC, следовательно, OD=SF==. В треугольнике DOK (OD=, OK=BK=) DK2=OD2+OK2-2OD⋅OKcosx, a2=a2+a2-2cosx. Отсюда cosх=

Ответ: 

1)

На ребрах AA1 и CD куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р и Q - середины этих ребер. Найдите угол между прямой PQ и A1D.

30

2)

На ребрах В1С1, АС и А1В1 прямой призмы АВСА1В1С1, у которой АС=ВС=АА1 и ∠АСВ=90о, взяты соответственно точки D и E – середины ребер В1С1 и АС. Найти угол между прямой DE и АС1.

30

3)

На ребрах B1C1, АС и А1В1 прямой призмы АВСА1В1С1, у которой АС=ВС=АА1 и ∠АСВ=90°, взяты точки Р и Q - середины ребер АС и ВС. Найдите угол, который образует прямая АС1 с прямой PQ.

30

4)

В правильной призме ABCDA1B1C1D1 угол между диагоналями BD1 и B1D равен 90о. Найти угол, который образует прямая B1D с прямой АА1.

45

5)

Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2 cм. Найдите косинус угла между прямыми, на которых лежат непересекающиеся диагонали двух смежных боковых граней призмы, если расстояния между этими прямыми равно 2 см.

0

6)

В основании пирамиды SABCD лежит квадрат, а ее боковое ребро SA равно стороне основания и перпендикулярно плоскости основания. На ребре SD взяты точки М1, М2 и М3 – такие, что DM1=M1M2=M2M3=M3S. Найти угол, который образует прямая SD с прямой СМ2.

30

7)

Основанием призмы АВСА1В1С1 является прямоугольный треугольник АВС, у которого АС=ВС. Грань ВСС1В1 перпендикулярна плоскости основания и угол С1СВ=45о, а ВС1=ВС. Найти угол между прямой АС и А1В.

90

8)

На ребрах В1С1, АС и А1В1 прямой призмы АВСА1В1С1, у которой АС=ВС=АА1 и угол АСВ=90о, взяты соответственно точки D, E и F – середины ребер В1С1, АС и А1В. Найти угол между прямой DE и AF.

0

9)

Основанием призмы АВСА1В1С1 является прямоугольный треугольник, у которого АС=ВС. Грань ВСС1В1 перпендикулярна плоскости основания, и ∠С1CB=45°, а ВС1=ВС. Найдите угол, которые образует прямая АС1 с прямой А1В.

90

10)

На диагонали АС квадрата ABCD взяты точки К1, К2 и К3 – такие, что АК1=К1К2=К2К3=К3С. Квадрат ABCD согнут по диагонали АС так, что треугольник BK2D равносторонний. Найдите угол, который образует прямая CD с прямой ВК1.

90

11)

Основанием призмы АВСА1В1С1 является прямоугольный треугольник, у которого АС=ВС. Грань ВСС1В1 перпендикулярна плоскости основания, и ∠C1CB=45°, а ВС1=ВС. Найдите угол, который образует прямая АС1 с прямой А1В.

90

12)

В основании пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD. Ребро SB перпендикулярно плоскости основания и SB:AB=1:1. На ребре SC взята точка Р – середина этого ребра. Найти угол, который образует прямая DP с прямой SA.

30

13)

В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник АВС (∠С=90о). Ребро SС перпендикулярно плоскости основания и SC=АС=ВС. На ребрах SB и SС взяты соответственно точки E и F – середины этих ребер. Найти угол между прямыми СЕ и AF.

90

14)

На ребрах А1В1 и АС прямой призмы АВСА1В1С1, у которой АС=ВС=АА1 и угол АСВ=90о, взяты соответственно точки D и Е – середины ребер АВ и ВС. Найти угол между прямыми А1С и BD.

30

15)

В правильной призме ABCDA1B1C1D1 угол между диагоналями BD1 и B1D равен 90о. Найти угол, который образует прямая B1D с прямой А1С1.

90

Дано: SАBCD – четырехугольная пирамида, SO=OC.

Построить: ∠(DО, ВC)

Построение:

Рассмотрим плоскость α, которая проходит через точку О∈DC и прямую DF.

Эта плоскость пересекает ребро SB в точке К (FK║AB).

В этой плоскости через точку О проведем прямую, параллельную прямой DF (прямая ОК).

Таким образом, угол между скрещивающимися прямыми SO и DF есть угол между пересекающимися прямыми SO и ОК.

Дано: ABCDA1B1C1D1 – куб

Построить: ∠(B1D, D1C)

Построение:

В плоскости α, проходящей через точку D∈B1D и прямую D1C (плоскость грани DD1C1C), проведем прямую DK, параллельную прямой D1С. Тогда угол между скрещивающимися прямыми В1D и D1С есть угол между пересекающимися прямыми В1D и DК.

Дано: ABCDA1B1C1D1 – куб,

АВ=4 см

Найти: (АВ1; CD1)

Решение:

Расстояние между прямыми CD1 и АВ1 есть расстояние от любой точки прямой CD1 до плоскости АВВ1.

Отрезок D1A1 – перпендикуляр, проведенный из точки D1 к плоскости АВВ1: D1A1⊥A1B1, D1A1⊥AA1, значит, D1A1⊥(АВВ1).

Следовательно, его длина равна расстоянию между прямыми АВ1 и CD1, т.е. 4 см.

Ответ: 4 см

Дано: МАВС – пирамида, ∠АМВ=90°, МР=РА.

Найти: ОН

Решение:

В плоскости МАВ через точку Р проведем прямую РК||АВ.

Построим плоскость β, определяемую прямыми PQ и РК. Так как точка Q - точка пересечения медиан треугольника МВС, то прямая KQ пройдет через вершину С.

Таким образом, в сечении пирамиды плоскостью β мы получаем треугольник СКР. Так как прямая АВ||РК, то прямая АВ параллельна плоскости СКР.

Найдем расстояние от точки О до плоскости СКР. Для этого через точку О проведем плоскость γ, перпендикулярную прямой РК, лежащей в плоскости СКР.

Так как прямая РК||АВ, то плоскость γ перпендикулярна и прямой АВ.

Итак, в плоскости МАВ прямая ОМ перпендикулярна прямой АВ и в плоскости ABC прямая ОС перпендикулярна прямой АВ. Тогда плоскость, определяемая пересекающимися прямыми ОМ и ОС - это и есть плоскость γ перпендикулярная прямой АВ, т.е. и прямой РК.

Находим линию пересечения плоскостей СКР и γ - прямую CL. Расстояние от точки О до прямой CL равно расстоянию между скрещивающимися прямыми АВ и PQ. Найдем его как высоту прямоугольного треугольника LCO.

Если ОН - высота этого треугольника, то OH⋅CL=OC⋅OL, где из прямоугольного треугольника ABC находим ОС=АВ/2=а/2, из прямоугольного треугольника МАВ OL=ОМ/2=а/4, и из прямоугольного треугольника LCO CL==a/4.

Таким образом, ОН=ОС⋅OL/CL=a/10.

Ответ: a/10

Дано: АВ=3; АА1=4

Найти: АК

Решение:

BD1 и AD скрещиваются. Спроецируем эти прямые на плоскость грани АА1В1В. Получим точку А – проекцию прямой AD и прямую А1В – проекцию прямой BD1.

Расстояние между BD1 и AD равно расстоянию от точки А до А1В, т.е. высоте АК прямоугольного треугольника АА1В:

=2,4.

Ответ: 2,4

1)

Ребро куба ABCDAlBlClDl равно 5 см. Найдите расстояния между прямой BlD и прямой D1C.

5

2)

На ребре СС1 правильной призмы ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р1 и Р2, такие, что СР1=Р1Р2=Р2С1. Считая АВ= см, а АА1=3АВ, найдите расстояние между прямыми В1С и DP1.

1

3)

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB=АА1=10 см, AD=20 см. На ребре СС1 взята точка Р такая, что CP:CC1=1:3, а на ребре А1В1 взята точка V - середина этого ребра. Найдите расстояния между прямой В1С1 и прямой PV.

4

4)

На ребрах AB и ВlСl куба ABCDAlBlClDl взяты соответственно точки R и Q — середины этих ребер. Считая ребро куба равным 6 см, найдите расстояния между прямой BlD и прямой QR.

3

5)

Все ребра прямой призмы АВСА1В1С1 равны 2 см. На ребре АА1 взята точка Р — середина этого ребра. Найдите расстояния между прямой АВ1 и прямой СР.

3

6)

На ребре СС1 правильной призмы ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р1 и Р2, такие, что СР1=Р1Р2=Р2С1. Считая АВ= см, а АА1=3АВ. Найдите расстояние между прямыми DC1 и В1Р1.

2

7)

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB=АА1= см, AD=2 см. На ребрах СС1 и AD взяты соответственно точки Р и Q, такие, что CP:CC1=AQ:AD=1:3. Найдите расстояния между прямой В1С1 и прямой PQ.

2

8)

Высота МО правильной пирамиды MABCD равна стороне ее основания и равна 3 см. На ребре МС взяты точки Р1, Р2 и Р3, такие, что СР1=Р1Р2=Р2Р3=Р3М. Найдите расстояние между прямой АС и прямой DP2.

3

9)

На ребре C1D1 куба ABCDA1B1C1D1 взята точка R - середина этого ребра. Ребро куба равно 6 см. Найдите расстояние между прямой B1D1 и прямой DR.

2

10)

На ребрах CD и ВlСl куба ABCDAlBlClDl взяты соответственно точки Р и Q — середины этих ребер. Считая ребро куба равным 2 см, найдите расстояния между прямой BlD и прямой PQ.

1

11)

Сторона основания правильной треугольной призмы равна 3 cм, а косинус угла между прямыми, на которых лежат непересекающиеся диагонали двух смежных боковых граней призмы, равен 1/2. Найдите расстояния между этими прямыми.

2

12)

На ребре DD1 куба ABCDA1B1C1D1 взята точка Q, такая, что DQ:DD1=2:3, а на диагонали А1В грани АВВ1А1 взята точка P —середина А1В. Считая ребро куба равным 2 см, найдите расстояния между прямой DP и прямой C1Q.

4

13)

На ребре СС1 правильной призмы ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р1 и Р2, такие, что СР1=Р1Р2=Р2С1. Считая АВ= см, а АА1=3АВ, найдите расстояние между прямыми В1С и DP2.

2

14)

На ребре DD1 куба ABCDA1B1C1D1 взята точка Q, такая, что DQ:DD1=2:3, а на диагонали А1В грани АВВ1А1 взята точка P —середина А1В. Считая ребро куба равным 3 см, найдите расстояния между прямой DP и прямой С1A1.

6

15)

Высота МО правильной пирамиды MABCD равна стороне ее основания и равна 6 см. На ребре МС взяты точки Р1, Р2 и Р3, такие, что СР1=Р1Р2=Р2Р3=Р3М. Найдите расстояние между прямой АС и прямой DP1.

2

16)

Все ребра прямой призмы АВСА1В1С1 равны 2 см. На ребре СС1 взята точка Q — середина этого ребра. Найдите расстояния между прямой АВ1 и прямой BQ.

6

17)

На ребре АВ куба ABCDA1B1C1D1 взята точка Р - середина этого ребра. Ребро куба равно 4 см. Найдите расстояние между прямой B1D1 и прямой DP.

4

18)

Все ребра прямой призмы АВСА1В1С1 равны  см. Найдите расстояния между прямой АВ1 и прямой ВС.

3

19)

В основании пирамиды SABC лежит треугольник с прямым углом при вершине С и АС= см, ВС=2 см, а боковое ребро SC перпендикулярно плоскости и SC=BC. На ребрах АВ, SB и SC взяты соответственно точки Р, М и D –середины этих ребер. Найдите расстояние между прямыми АМ и РD.

1

20)

На ребре DD1 куба ABCDA1B1C1D1 взята точка Q, такая, что DQ:DD1=2:3, а на диагонали А1В грани АВВ1А1 взята точка P —середина А1В. Считая ребро куба равным  см, найдите расстояния между прямой DP и прямой C1D1.

2

21)

Сторона основания правильной треугольной призмы равна 18 cм, а косинус угла между прямыми, на которых лежат непересекающиеся диагонали двух смежных боковых граней призмы, равен -5/13. Найдите расстояния между этими прямыми.

9