Разбор задачи "3800 задач по физике..." 1-268 перелёт над домом с покатой крышей
план-конспект занятия по физике (10, 11 класс) на тему

Задача 1-268. При какой минимальной начальной скорости можно перебросить камень через дом с покатой крышей? Ближайшая стена имеет высоту H, задняя стена – высоту h, ширина дома равна L (Рис.1).

Краткий разбор решения.

Очевидно, что траектория полёта должна касаться дома в точках А и В. Поскольку точка броска нам неизвестна, рассмотрим нашу траекторию в известных точках – А и В (будем искать под фонарём, потому что там светло).

Нарисуем более подробный чертёж, введя дополнительные обозначения на интересующем нас участке полёта (Рис.2):

Пусть V – скорость камня в точке А, направленная под углом  к горизонту, t – время полёта от точки А к точке B.

Наша цель – таким образом "привязать" нашу траекторию, чтобы она коснулась точек А и В. Для этого запишем уравнения движения по обоим осям на этом участке.

Движение по оси Y – начальная скорость направлена по оси и равна , ускорение равно -g (направлено против оси Y):

перепишем в виде                                                                                   (1)

Движение по оси X – равномерное со скоростью :

выразим отсюда                                                                                                      (2)

Подставим (2) в (1):

В итоге получаем:

                                    (3)

Мы получили функцию скорости, которая должна быть в точке А, в зависимости от угла вылета в этой точке. Так, чтобы траектория коснулась точки В.

Как нам из всего множества траекторий, проходящих через точки А и В, выбрать такую, которая удовлетворяет условию задачи? Ведь мы не знаем ничего про точку броска – ни её положения, ни угла, ни самой скорости. Можно ли придумать что-то, что будет однозначно характеризовать каждую траекторию и напрямую связаное с начальными условиями броска?

В данном случае интуиция должна подсказать, что нужно попытаться найти инвариант траектории. Очевидным инвариантом каждой траектории является полная энергия камня – она неизменна на протяжении всего полёта и однозначно связана с начальной скоростью броска:

    (4)          

Очевидно, что условиям задачи отвечает траектория с минимальной полной энергией, которая в начальный момент равна кинетической энергии камня, т.е., зная полную энергию, мы легко потом найдём и соответствующую её начальную скорость броска, что и требуется по условию задачи.

Формула (4) определяет полную энергию траектории как некоторую функцию от угла :

Нас интересует минимум этой функции, т.е. нужно найти такое значение , при котором значение полной энергии минимально.Это – классическая задача на нахождение экстремума функции, причём очевидно, что искать имеет смысл в первом квадранте, т.е. при .

Для её решения нужно найти производную функции и приравнять её нулю:

=

=

Деля обе части на константу, получаем уравнение

Вспомним формулы дифференцирования частного двух функций:

В нашем случае ,

Применим эту формулу, помня, что производная от константы всегда равна нулю:

Это выражение может обращаться в нуль тогда и только тогда, когда числитель обращается в нуль, т.е. мы имеем уравнение:

Вспомним правила дифференцирования суммы и произведения двух функций:

Применим эти правила к нашему уравнению:

или

Вспомним, что  и , получим:

                             (5)

Уравнение (5) определяет экстремум функции , т.е. такое значение , при котором величина имеет минимум или максимум. Из общих соображений ясно, что максимумов в разумном диапазоне углов быть не может, хотя этот вопрос требует некоторого исследования этой функции, хотя бы методом постоения её графика в интересующем нас диапазоне.

Чтобы найти решение этого уравнения, обозначим и вспомним, что  , тогда в первом квадранте углов . Перепишем наше уровнение в этих обозначениях:

или

или

                                                 (6)

Возведём обе части уравнения (6) в квадрат. Внимание! При этом мы получим лишние корни, котороые надо будет потом отбросить.

Обозначим, тогда уравнение перепишется в виде

Обозначим , тогда уравнение примет вид

Это – квадратное уравнение относительно z, перепишем его в стандартном виде:

Внезапно мы получили два значения угла , при которых наша функция полной энергии должна иметь минимум. Это было бы крайне странно, если не вспомнить, что мы возводили исходное уравнение в квадрат, и поэтому один из этих корней наверняка "лишний", т.е. соответствует равным левой и правой частям уравнения (6), но имеющим противоположные знаки. По этой причине мы обязаны теперь проверить оба этих корня, подставив их в уравнение (6). Левая часть уравнения при примет вид:

Это выражение для любого К будет отрицательно, т.к. L всегда положительно. Теперь рассмотрим правую часть уравнения (6). Вспомнив, что  и в первом квадранте , мы увидим, что она принимает всегда положительные значения. Следовательно, корень заведомо не удовлетворяет уравнению (6), а появился как "зекральное отражение" при возведении уравнения в квадрат.

Для проверки можно подставить в левую часть значение :

Это значение заведомо положительно, т.е. вполне может быть корнем уравнения (6).

Таким образом, мы нашли значение угла ,  при которых полная энергия траектории минимальна:

Обозначим

Тогда , а

Подставим найденное значение оптимального угла  в формулу (3):

=

==

= =

=

Подставим сюда наше обозначение для :

                                       (7)

Мы получили выражение для минимальной скорости в точке А. Для того, чтобы найти, с какой скоростью надо бросить камень с земли, вспомним наши рассуждения о полной энергии траектории:

                                        (8)

В принципе, это ответ, но его можно несколько упростить. Рассмотрим знаменатель дроби:

=

= =

= =

=  

 Подставим этот знаменатель в (8):

                                                           (9)

В принципе, это также ответ, но его можно ещё немного упростить:

=

(Обозначили )

=

Итак,