Методический материал по подготовке к ЕГЭ по теме "Электродинамика"
материал для подготовки к егэ (гиа) по физике (11 класс)

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА

1.1. Электрический заряд. Закон сохранения электрического заряда

Электрический заряд – это физическая величина, определяющая способность тел к электромагнитным взаимодействиям. Сообщение заряда телу принято называть электризацией. Существует несколько способов электризации: трение, соприкосновение заряженного тела с незаряженным, воздействие электромагнитного излучения на тело и т.д. До электризации суммарный заряд тела равен нулю (суммарный положительный заряд равен суммарному отрицательному заряду по модулю). При электризации происходит либо удаление электронов из тела, либо присоединение электронов к телу. При этом тело заряжается либо положительно, либо отрицательно. Суммарный заряд тела пропорционален величине элементарного заряда  ( заряд электрона). Следовательно, электрический заряд дискретен. Таким образом, заряд тела равен

,                                                                                                      (1.1)

число элементарных зарядов, сообщенных при электризации телу;   элементарный заряд электрона,  1,6∙10-19 Кл.

Экспериментально доказано, что алгебраическая сумма электрических зарядов изолированной системы постоянна.

,                                               (1.2)

Выражение (1.2) представляет собой закон сохранения электрического заряда. Экспериментально доказано, что одноименно заряженные тела отталкиваются, а разноименно заряженные тела притягиваются (рис. 1.1).

1.2. Закон Кулона

Ш. Кулон экспериментально с помощью крутильных весов доказал, что

сила взаимодействия между двумя неподвижными  точечными зарядами, находящимися в вакууме, прямо пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

 ,                                                                                     (1.3)

где в СИ  9∙109 Н∙м2/Кл2 – коэффициент пропорциональности, зависит от выбора системы единиц;  8, 85∙10-12 Кл2/ Н∙м2 – электрическая постоянная. Согласно третьему закону Ньютона силы взаимодействия зарядов равны по величине и противоположны по направлению:    (рис. 1.2).

Если заряды находятся в среде, то закон Кулона примет вид:

,                                                                                      (1.4)

где  диэлектрическая проницаемость среды.

Диэлектрическая проницаемость среды показывает, во сколько раз сила взаимодействия двух точечных неподвижных зарядов в вакууме больше силы взаимодействия этих зарядов в среде.

 .                                                                                                     (1.5)

В вакууме  .

1.3. Напряженность электростатического поля

Электростатическое поле (ЭСП) создается неподвижным в данной инерциальной системе отсчета электрическим зарядом. ЭСП материально, обладает всеми свойствами материи. С точки зрения физики, основное свойство ЭСП состоит в том, что оно действует на заряд, помещенный в это поле с некоторой силой. Силовой характеристикой ЭСП является напряженность.

Напряженность ЭСП в некоторой его точке – ФВВ, определяемая отношением силы, действующей на положительный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда.

.        (1.6)

Единица измерения в СИ: [E]=1Н/Кл=1В/м. Направление вектора   определяется знаком заряда  , создающего поле.

Если ЭСП создается несколькими электрическими зарядами, то напряженность результирующего поля в некоторой его точке будет равна векторной сумме напряженностей полей, созданных в данной точке каждым зарядом в отдельности. 

  или                                                          (1.7)

1.4. Силовые линии

Для графического изображения полей используют силовые линии. Силовые линии (линии напряженности) – это линии, касательные к которым совпадают с направлением вектора напряженности ЭСП в данной точке.

Силовые линии ЭСП начинаются на положительных зарядах, а заканчиваются на отрицательных. ЭСП является однородным, если напряженность во всех его точках одинакова, силовые линии параллельны и густота их одинакова. Густота силовых линий связана с напряженностью: чем гуще силовые линии, тем больше напряженность. Однородное поле создается равномерно заряженной бесконечной плоскостью.

1.5. Напряженность поля точечного заряда

Если ЭСП создается точечным зарядом , то напряженность поля определяется по формуле  

,        (1.8)

где  заряд, создающий поле;    расстояние от заряда  до точки, в которой определяется напряженность.

Напряженность электростатического поля, созданного полым шаром, определяется по формуле  (1.8). Только в этом случае формула (1.8) справедлива при условии, что    ( радиус шара). Внутри шара () напряженность электростатического поля равна нулю (рис. 1.7).

Зависимость напряженности   от расстояния   для точечного заряда (рис. 1.8, а) и шара (рис.1.8, б) можно представить графически.

1.6. Работа по перемещению заряда в ЭСП

Пусть в однородном ЭСП из точки 1 в точку 2 перемещается заряд  (рис. 1.9). На заряд со стороны ЭСП действует сила  . При перемещении заряда совершается работа  . Учитывая, что модуль перемещения , угол между силой и перемещением , а , модуль силы . Тогда работа ЭСП по перемещению заряда будет равна

.        (1.9)

Из формулы (1.9) следует, что работа ЭСП по перемещению заряда зависит от начального   и конечного   положения заряда и не зависит от формы траектории (прямая линия , ломаная линия ), по которой перемещается заряд. Поля, работа в которых не зависит от формы траектории, а при перемещении заряда по замкнутой траектории равна нулю, называют потенциальными. Силы, действующие со стороны поля, называют консервативными или потенциальными. Таким образом, электростатическое поле является потенциальным, а электростатические силы – консервативными или потенциальными. Следовательно, работа ЭСП по перемещению заряда будет равна убыли потенциальной энергии

,        (1.10)

где   изменение потенциальной энергии.

1.7. Потенциал электростатического поля

Работа ЭСП по перемещению заряда, с одной стороны, определяется по формуле   , с другой стороны – по формуле  . Сравнивая формулы работы, получим

 ,        (1.11)

где   потенциальная энергия заряда ;  напряженность поля точки, в которой находится заряд  ;  расстояние от заряда , создающего поле, до точки, в которой находится заряд  .

Потенциальная энергия  , если заряды   и   одноименные, потенциальная энергия  , если заряды   и   разноименные.

Из формулы (1.11) следует, что отношение потенциальной энергии к заряду, помещенному в ЭСП, не зависит от величины этого заряда. Это дает возможность ввести энергетическую характеристику ЭСП, получившую название – потенциал электростатического поля. Таким образом, потенциал электростатического поля будет определяться по формуле

,        (1.12)

где  потенциал электростатического поля.

Потенциал электростатического поля в некоторой его точке – это физическая скалярная величина, определяемая отношением потенциальной энергии заряда, помещенного в данную точку поля, к величине этого заряда.

Единица измерения в СИ: []=1В,   1В = 1Дж/Кл.

Из выражений (1.11) и (1.12) следует, что

,        (1.13)

где   потенциал электростатического поля в некоторой его точке А;   напряженность поля в точке А;   расстояние от заряда , создающего поле, до точки А (рис. 1.10).

Выражение (1.13) представляет собой связь силовой характеристики электростатического поля    и энергетической характеристики электростатического поля    .

1.8. Потенциал электростатического поля точечного заряда

Из выражений (1.8) и (1.13) следует, что потенциал электростатического поля точечного заряда будет равен

,        (1.14)

где   заряд, создающий поле;   расстояние от заряда , создающего поле, до точки А (рис. 1.10);   диэлектрическая проницаемость среды.

Из выражения (1.14) следует, что

• , если ; , если ;
•  ;
•  ;

Потенциал электростатического поля точечного заряда, созданного полым шаром (рис. 1.14), определяется по формуле  (1.14). Только в этом случае формула (1.14) справедлива при условии, что    ( радиус шара). Внутри шара () потенциал всех точек равен потенциалу точек на поверхности шара.

Зависимость потенциала   от расстояния   для точечного заряда (рис. 1.12, а) и шара (рис.1.12, б) можно представить графически.

Если ЭСП создается несколькими электрическими зарядами, то потенциал результирующего поля в некоторой его точке будет равен алгебраической сумме потенциалов полей, созданных в данной точке каждым зарядом в отдельности. 

,                                                           (1.15)

При расчете потенциала результирующего поля в некоторой его точке необходимо учитывать знак потенциалов.

1.9. Разность потенциалов

Известно, что работа электростатического поля по перемещению заряда   из точки 1 в точку 2 определяется выражением   , где  ,. Тогда выражение для работы электростатического поля по перемещению заряда   из точки 1 в точку 2 примет вид

 .                                                                                        (1.16)

Из выражения (1.16) получим

,        (1.17)

где    разность потенциалов;

Разность потенциалов между двумя точками электростатического поля – это физическая скалярная величина, определяемая отношением работы электростатического поля по перемещению положительного заряда   из точки 1 в точку 2 к величине этого заряда.

Используя выражение (1.17), получим выражение для потенциала поля точечного заряда. Пусть положительный точечный заряд   перемещается из некоторой точки электростатического поля в бесконечность. Тогда выражение (1.17) представим в следующем виде  . Известно, что потенциал электростатического поля точечного заряда определяется по формуле . Из формулы следует, что если , то . Таким образом, выражение для потенциала поля точечного заряда примет вид  

.        (1.18)

Потенциал электростатического поля в некоторой его точке – это физическая скалярная величина, определяемая отношением работы по перемещению положительного точечного заряда  из некоторой точки электростатического поля в бесконечность, к величине этого заряда.

1.10. Связь напряженности и разности потенциалов

Пусть заряд    перемещается в однородном электростатическом поле вдоль силовой линии из точки 1 в точку 2, потенциалы которых соответственно равны   и  (рис.1.13). При перемещении заряда в однородном электростатическом поле совершается работа. С одной стороны, работа определяется выражением  , с другой стороны, выражением  .

Используя выражения для работы, получим

.        (1.19)

В выражении (1.19) модуль напряженности , модуль перемещения , следовательно,  и . Таким образом, вектор напряженности   однородного электростатического поля всегда направлен в сторону убывания потенциала.

С точки зрения математики для однородного электростатического поля разность потенциалов   можно приравнять к напряжению :. Обозначим  ,  , получим

.        (1.20)

1.11. Эквипотенциальные поверхности

Для графического изображения электростатических полей наряду с линиями напряженности используют эквипотенциальные поверхности. Эквипотенциальные поверхности – это поверхности, во всех точках которых потенциал имеет одно и то же значение.

Например, для поля, созданного точечным зарядом, потенциал определяется по формуле (1.14). Следовательно, эквипотенциальные поверхности представляют собой концентрические сферы, а линии напряженности, как известно, – радиальные прямые (рис.1.14). Таким образом, линии вектора напряженности ортогональны эквипотенциальным поверхностям.

Докажем, что эквипотенциальные поверхности и линии напряженности всегда располагаются взаимно перпендикулярно. Пусть электростатическое поле создается равномерно заряженной бесконечной плоскостью. Линии напряженности перпендикулярны данной плоскости и направлены от нее в обе стороны. Предположим, что эквипотенциальные поверхности представляют собой плоскости, расположенные перпендикулярно линиям напряженности (рис.1.15).

Если по эквипотенциальной поверхности перемещать точечный положительный заряд q  из точки 1 в точку 2, то согласно выражению

работа будет равна нулю, так как во всех точках эквипотенциальной поверхности потенциал φ одинаков. С другой стороны, работу можно определить по формуле:

Из данного выражения следует, что , а  α = 90°. Таким образом, вектор  перпендикулярен эквипотенциальной поверхности, следовательно, и линии вектора напряженности ортогональны этим поверхностям.

Эквипотенциальные поверхности принято изображать так, чтобы разность потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковыми. По густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине вектора : чем гуще расположены эквипотенциальные поверхности, тем больше напряженность поля.

1.12. Проводники в электростатическом поле

В металлических проводниках валентные электроны свободно перемещаются по всему объему проводника. Поэтому электроны называют свободными зарядами. Если проводник поместить в электростатическое поле, то в проводнике будет происходить перераспределение зарядов, т.е. электростатическая индукция. Свободные электроны под действием внешнего электростатического поля перемещаются к левой грани проводника, в результате чего на правой грани образуется избыток положительного заряда (рис. 1.16, а). Внутри проводника возникает свое собственное поле, направленное против внешнего поля (рис. 1.16,б). В результате наложения полей в соответствии с принципом суперпозиции напряженность результирующего поля внутри проводника будет равна нулю  () . Заряды располагаются на поверхности проводника. Суммарный заряд внутри проводника также будет равен нулю () (рис.1.16,в).

Таким образом, если внутрь полого металлического проводника поместить какое – либо устройство, то оно будет защищено от внешних электростатических полей. На этом основана электростатическая защита или электростатическое экранирование устройств.

1.13. Диэлектрики в электростатическом поле

В диэлектриках разноименные заряды, входящие в состав атомов или молекул, не могут перемещаться под действием электростатического поля независимо друг от друга. Поэтому заряды в диэлектриках называют связанными зарядами. Диэлектрики подразделяют на неполярные и полярные.

В неполярных диэлектриках центры распределения положительных и отрицательных зарядов совпадают. Если неполярный  диэлектрик поместить во внешнее электростатическое поле, то центры распределения положительных и отрицательных зарядов смещаются  относительно друг друга (рис. 1.17). Молекулы под действием пары сил ориентируются так, что поле связанных зарядов направлено против внешнего поля и ослабляет его.

В полярных диэлектриках центры распределения положительных и отрицательных зарядов смещены относительно друг друга. Вследствие этого молекулы в полярных диэлектриках подобны диполям (рис. 1.18). Система обладает дипольным моментом, который определяется по формуле

 ,         (1.21)

где   дипольный момент;   модуль одного из зарядов;   плечо диполя.

 Единица измерения в СИ: .

В отсутствии внешнего электростатического поля диполи ориентированы произвольно (рис.1.19). Если диэлектрик поместить во внешнее электростатическое поле, то диполи под действием пары сил (рис.1.20) ориентируются так, что электростатическое поле связанных зарядов направлено против внешнего поля и ослабляет его.

Процесс образования связанных зарядов под действием внешнего электростатического поля на противоположных гранях диэлектрика называют поляризацией. Таким образом, в процессе поляризации как в полярных, так и в неполярных диэлектриках создается электростатическое поле напряженностью . Электростатическое поле в диэлектриках направлено против внешнего электростатического поля , созданного в вакууме (рис.1.20).

Напряженность результирующего поля   в соответствии с принципом суперпозиции будет равна

.        (1.21)

Тогда модуль напряженности результирующего электростатического поля найдем по формуле  

.        (1.22)

Доказано, что электростатическое поле, созданное в вакууме, при внесении в него диэлектрика ослабляется в    раз:     , отсюда получим

,        (1.23)

где   напряженность внешнего электростатического поля, созданного в вакууме;    напряженность электростатического поля, созданного в диэлектрике;    относительная диэлектрическая проницаемость.

1.14. Электроемкость. Конденсаторы

Электроемкость – это характеристика проводника или системы проводников. Электроемкость уединенного проводника – это физическая скалярная величина, определяемая отношением заряда проводника к его потенциалу.

,        (1.24)

где   электроемкость;    заряд проводника;    потенциал проводника.

Единица измерения электроемкости [] = 1Ф (Фарад) = 1Кл/В.

Электроемкость зависит от геометрических размеров проводника или системы проводников, от свойств среды, окружающей проводник. Это видно из формулы, по которой определяется электроемкость шара:

,        (1.25)

где   электроемкость шара;    относительная диэлектрическая проницаемость среды;    радиус шара.

Электроемкость характеризует также систему проводников, в частности, конденсаторы.  Конденсаторы – это система двух проводников, разделенных слоем диэлектрика, размеры которого много меньше размеров проводников. По форме проводников – обкладок конденсатора различают плоские, сферические и цилиндрические конденсаторы.

Электроемкость конденсатора – это физическая скалярная величина, определяемая отношением абсолютного значения заряда одной из обкладок к разности  потенциалов между обкладками.

,        (1.26)

где   электроемкость конденсатора;    заряд одной из обкладок конденсатора;    разность потенциалов между обкладками конденсатора.

 Электроемкость плоского конденсатора определяется по формуле

,        (1.27)

где   электроемкость конденсатора;  относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика;   площадь одной из обкладок конденсатора;        расстояние между обкладками конденсатора.

Конденсаторы соединяют в батарею последовательно или параллельно. При последовательном  соединении конденсаторов  (рис.1.21) заряд на всех обкладках по модулю будет одинаков. Напряжение на батарее будет равно сумме напряжений на каждом конденсаторе:

.        (1.28)

Электроемкость батареи можно найти из формулы:

.        (1.29)

При параллельном соединении конденсаторов  (рис.1.22) заряд батареи будет равен сумме зарядов  на обкладках всех конденсаторов:

.        (1.30)

Напряжение на обкладках всех конденсаторов будет одинаково. Электроемкость батареи равна сумме электроемкостей всех конденсаторов:

.                (1.31)

Выше проведенные рассуждения справедливы для го количества конденсаторов.

1.15. Энергия электростатического поля

Энергия электростатического поля, сосредоточенная между обкладками  конденсатора равна

.        (1.32)

Объемная плотность энергии представляет собой энергию электростатического поля, сосредоточенную в единице объема:

.        (1.33)

Единица измерения объемной  плотности энергии в СИ: []=1Дж/м3 .

Объемная плотность энергии электростатического поля зависит от напряженности поля и от свойств среды, в которой сосредоточено это поле:

,        (1.34)

где   относительная диэлектрическая проницаемость среды;    напряженность электростатического поля.