Пирамида
план-конспект урока по геометрии (10 класс) по теме
Разработка содержит опорный конспект, презентацию и набор задач по теме, содержащихся в В 9 и В 11 ЕГЭ.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Опорный конспект Ч. 1.pdf | 758.01 КБ |
| Опорный конспект Ч.2.pdf | 828.16 КБ |
 Презентация.ppsx | 1.39 МБ |
 Образцы задач.docx | 30.73 КБ |
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Определение пирамиды Элементы пирамиды Правильные пирамиды ( § 28 стр. 65) ( § 28 стр. 66) ( § 29 стр. 66) План урока:
А 2 А 1 А 4 А 3 А n М Многогранник, составленный из n- угольника А 1 А 2 А 3 …А n и n треугольников МА 1 А 2 , МА 2 А 3 ,…, МА n А 1 называется ПИРАМИДОЙ. ПИРАМИДА обозначается МА 1 А 2 А 3 …А n .
Слово «пирамида» в геометрию ввели греки, которые, как полагают, заимствовали его у египтян, создавших самые знаменитые пирамиды на свете.
«Пирос» по-гречески рожь. Считают, что греки выпекали хлебцы, имевшие форму пирамиды.
Двугранный угол при ребре основания (угол наклона боковой грани к основанию): L MKO Углы Высоты Грани Ребра Вершины Угол наклона бокового ребра к плоскости основания (угол при ребре МА 1 ): L MA 1 0 Высота боковой грани: (МК ┴ А 2 А 3 , МК= h ) Боковые грани: ∆ А 1 МА 2, ∆ А 2 МА 3 ,… Ребра основания: А 1 А 2 , А 2 А 3 , А 3 А 4 ,… Вершины основания пирамиды: А 1 , А 2 , А 3 ,… n Плоский угол при вершине пирамиды: L А 1 МА 2 , L А 2 МА 3 ,… 5 n+1 Высота пирамиды МО ┴ (А 1 А 2 А 3 ), МО=Н 4 n+1 Основание: А 1 А 2 А 3 …А n 3 2 n Боковые ребра: МА 1 , МА 2 , МА 3 ,… 2 n+1 Вершина пирамиды: М 1 Элементы пирамиды
А 2 А 1 А 4 А 3 А n М
А 2 А 1 А 4 А 3 А n М
Боковые ребра четырехугольной пирамиды равны. Докажите, что вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания. В ы в о д: Если все боковые ребра пирамиды равны: около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности.
А 2 А 1 А 4 А 3 А n М
А 2 А 1 А 4 А 3 А n М О К
А 2 А 1 А 4 А 3 А n М
А 2 А 1 А 4 А 3 А n М О
Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом. Докажите, что вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды.
В ы в о д: Если все ребра пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то: около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности.
Дано: МАВС D Е – пирамида АМ = 12 Найти: МО, АО, СО, МС.
Решение: Рассмотрим М 12 О А 60 0 М О С 45 0 Ответ:
А 2 А 1 А 4 А 3 А n М О К
В четырехугольной пирамиде углы между плоскостями основания и боковых граней равны. Докажите, что вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание. СВОЙСТВО ПИРАМИДЫ
В ы в о д: Если в пирамиде все двугранные углы при ребрах основания равны, то в основание пирамиды можно вписать окружность и вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности.
Дано: МАВС D N – пирамида Найти: МК, ОК, МЕ, ОЕ
Решение: 1. Рассмотрим 2. Рассмотрим МЕ = 2МО (свойство катета, лежащего против угла в 30 0 ) МЕ = 12 М 6 О К 45 0 М 6 О Е 30 0 Ответ:
S б = S 1 +S 2 +S 3 +…+S n S п =S б + S осн Формулы для нахождения площади боковой поверхности, площади полной поверхности и объема пирамиды.
К α α
Виды пирамид
ПИРАМИДА называется правильной, если ее основание правильный многоугольник, а вершина проектируется в центр многоугольника.
Определение пирамиды Элементы пирамиды Правильные пирамиды Итог урока:
Задача на слайде 7.3. Дано: МАВСДЕ – пирамида АМ = 12 Найти: МО, АО, СО, МС Решение Рассмотрим 300 МС = 2МО (свойство катета, лежащего против угла в 300) Ответ: В боковых ребрах. Вывод: Если в пирамиде все боковые ребра равны, то около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности. К углу наклона бокового ребра к плоскости основания. Вывод: Если все ребра пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то: Около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности. Около такой пирамиды можно описать шар. Центр описанного шара лежит на прямой, содержащей высоту шара.. Задача со слайда 7.4 Дано: МАВСД N – пирамида Найти: МК, ОК, МЕ, ОЕ Решение 1. Рассмотрим М Рассмотрим 6 МЕ = 2МО (свойство катета, лежащего против угла в 300) МЕ = 12 Ответ: Диктант Дано: МАВС – пирамида МА = МВ = МС = 6,25 АС = АВ = 5 ВС =6 Найти: Н; V Решение Так как МА = МВ = МС, то ОА = ОВ = ОС = R По формуле Герона Итак, Рассмотрим По следствию из теоремы Пифагора ; Рассмотрим Ответ: МАВС – пирамида ВС = 13 АС = 14 АВ =15 Найти: Н; S бок; V боковых ребрах. Вывод: Если в пирамиде все боковые ребра равны, то около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности. К углу наклона бокового ребра к плоскости основания. Вывод: Если все ребра пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то: Около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности. Около такой пирамиды можно описать шар. Центр описанного шара лежит на прямой, содержащей высоту шара.. Задача со сл 2003 Домашнее задание Л.С. Атанасян. п. 28, 29 «Учимся решать задачи» стр. 27 задачи № 1, 2, 3. стр. 29 №1 (1-6); №3. геометрия
Дано: МАВС – пирамида МА = МВ = МС = 6,25 АС = АВ = 5 ВС =6 Найти: Н; V .
Решение: 1. Так как МА = МВ = МС, то ОА = ОВ = ОС = R , По формуле Герона Итак,
2. Рассмотрим По следствию из теоремы Пифагора 3. Рассмотрим Ответ:
ВС = 13 АС = 14 АВ =15 Найти : Н; S бок ; V Дано: МАВС – пирамида
Решение: Рассмотрим Так как ОК = r . Итак, МО = ОК = 4 М О К 45 0
Ответ : 4; 112.
Предварительный просмотр:
Образцы задач ЕГЭ В 9 по теме «Пирамида» | |
Правильная треугольная пирамида | |
1. В правильной треугольной пирамиде SABC R середина ребра BC, S - вершина. Известно, что AB = 1, а SR = 2. Найдите площадь боковой поверхности. | 1. В правильной треугольной пирамиде SABC R середина ребра BC, S - вершина. Известно, что AB = 1, а SR = 2. Найдите площадь боковой поверхности. |
2. В правильной треугольной пирамиде SABC N - середина ребра BC, S - вершина. Известно, что AB = 1, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка SN. | 2. В правильной треугольной пирамиде SABC R - середина ребра BC, S - вершина. Известно, что AB = 7, а площадь боковой поверхности равна 168. Найдите длину отрезка SR. |
3. В правильной треугольной пирамиде SABC L - середина ребра BC, S - вершина. Известно, что SL = 2, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка AB. | 3. В правильной треугольной пирамиде SABC R - середина ребра BC, S - вершина. Известно, что SR = 16, а площадь боковой поверхности равна 168. Найдите длину отрезка AB. |
4. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, объем пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка MS. | 4. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке R. Площадь треугольника ABC равна 30, объем пирамиды равен 210. Найдите длину отрезка RS. |
5. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке R. Площадь треугольника ABC равна 30, RS = 21. Найдите объем пирамиды. | 5. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке N. Площадь треугольника ABC равна 13, NS = 18. Найдите объем пирамиды. |
6. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке P. Объем пирамиды равен 1, PS = 1. Найдите площадь треугольника ABC. | 6. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке R Объем пирамиды равен 210, RS = 21. Найдите площадь треугольника ABC. |
Правильная четырёхугольная пирамида | |
1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O - центр основания, S- вершина, SO = 4, AC = 6. Найдите боковое ребро SC. | 1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O - центр основания, S- вершина, SO = 54, AC = 144. Найдите боковое ребро SА. |
2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O - центр основания, S-вершина, SC = 5, AC = 6. Найдите длину отрезка SO. | 2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O - центр основания, S-вершина, SA = 90, AC = 144. Найдите длину отрезка SO. |
3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O - центр основания, S-вершина, SO = 4, SC = 5. Найдите длину отрезка AC. | 3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O - центр основания, S-вершина, SO = 54, SA = 90. Найдите длину отрезка AC. |
Образцы задач ЕГЭ В 11 по теме «Пирамида» | |
Правильная треугольная пирамида | |
1. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза? | 1. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в 36 раз? |
2. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза? | 2. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в три раза? |
3. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 3, а высота равна 6. | 3. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна . |
4. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен . | 4. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 8, а объем равен 4. |
Правильная четырёхугольная пирамида | |
1. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды. | 1. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 42, боковые ребра равны 75. Найдите площадь поверхности этой пирамиды. |
2. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем. | 2. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 3, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем. |
3. Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC. | 3. Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 132. Точка E — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC. |
4. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4. | 4. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 48 и высота равна 7. |
5. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 и высота равна 4. | 5. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 24 и высота равна 16. |
6. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды. | 6. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 5, объем равен 480. Найдите боковое ребро этой пирамиды. |
Правильная шестиугольная пирамида | |
1. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. | 1. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 18, боковые ребра равны 15. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды. |
2. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды. | 2. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 48. Найдите объем шестиугольной пирамиды. |
3. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды. | 3. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 8, боковое ребро равно 16. Найдите объем пирамиды. |
4. Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро. | 4. Объем правильной шестиугольной пирамиды 2592. Сторона основания равна 12. Найдите боковое ребро. |
5. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 450. Найдите объем пирамиды. | 5. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 8, а угол между боковой гранью и основанием равен 450. Найдите объем пирамиды. |
Различные виды пирамид | |
1. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 600. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды. | 1. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 600. Высота пирамиды равна 9. Найдите объем пирамиды. |
2. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды. | 2. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 27. Найдите объем пирамиды. |
3. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды. | 3. От треугольной пирамиды, объем которой равен 70, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды. |
4. Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду. | 4. Объем треугольной пирамиды равен 38. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 9:10, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду. |
5. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в 4 раза? | 5. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в 31 раз? |
6. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза? | 6. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 3 раза? |
7. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер. | 7. Ребра тетраэдра равны 38. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер. |
8. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание — прямоугольник со сторонами 3 и 4. | 8. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 3, а основание — прямоугольник со сторонами 5 и 3. |
9. Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 12. Найдите объем треугольной пирамиды B1ABC. | 9. Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 1,5. Найдите объем треугольной пирамиды B1ABC. |
10. Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба. | 10. Объем куба равен 96. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба. |
11. Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды AD1CB1. | 11. Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 3,6. Найдите объем треугольной пирамиды AD1CB1. |
12. Объем тетраэдра равен 1,9. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины ребер данного тетраэдра. | 12. Объем тетраэдра равен 2,1. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины ребер данного тетраэдра. |
13. Площадь поверхности тетраэдра равна 1,2. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины ребер данного тетраэдра. | 13. Площадь поверхности тетраэдра равна 1,4. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины ребер данного тетраэдра. |
14. Найдите объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если объем треугольной пирамиды ABDA1 равен 3. | 14. Найдите объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если объем треугольной пирамиды ABDA1 равен 5. |
15. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды. | 15. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 5 и 4. Ее объем равен 80. Найдите высоту этой пирамиды. |
16. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3. | 16. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 2. |
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Е.А.Худикова. Электронный портфель. "Моя пирамида успеха"
Система подготовки к ЕГЭ по математике.Цель моей работы повысить уровень математической подготовки выпускников к экзамену и осуществлять педагогическую поддержку индивидуальной траектории ученика. ...
Интерактивная экскурсия "Пирамиды Гизы" (Египетские пирамиды)
Инерактивная экскурсия "Пирамиды Гизы " разработана в целях содействия повышению культурно-исторического уровня обучающихся, увиличению обема знаний об истории Египта как древнейшего государства.Зад...
Урок по теме: «Пирамида. Правильная пирамида», 11 класс.
Использование инновационных технологий, кейс технология....
Презентация "Пирамида.Усеченная пирамида"
Материал содержит примеры применения геометрии в архитектуре....
Конспект урока по геометрии в 11 классе по теме : "Пирамида. Правильная пирамида"
Конспект урока по геометрии в 11 классе по теме : "Пирамида. Правильная пирамида"...
Конспект урока геометрии в 9 классе по теме: "Пирамида. Развёртка пирамиды".
Успех в усвоении геометрического материала учащимися специальной (коррекционной) школы VIII вида во многом зависит от правильного использования средств, методов и приёмов обучения.Обучение геометрии д...
Урок 6 «Пирамида. Правильная пирамида»
Урок 6 «Пирамида. Правильная пирамида»...