Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника
методическая разработка по геометрии (8 класс) на тему

Конспект урока

Цели урока

1. образовательная – – ввести понятие синус, косинус, тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике, исследовать зависимости и соотношения между этими величинами;
2. развивающая –развитие правильной математической речи; развитие мелкой моторики;
3. воспитательная –формирование рефлексивных умений
4. Формы: фронтальная, парная, индивидуальная.

Методы: объяснительно-иллюстративный, частично-поисковый.

План урока:

1. Орг.момент. Приём «улыбка»
2. Актуализация и мотивация.
3. Изучение нового материала.
4. Приём «Зарядка»
5. Закрепление.
6. Подведение итогов.
7. Постановка д/з.
8. Рефлексия – «одним словом»

Ход урока

        Здравствуйте! (Приветсвие «Улыбка»)

        Вспомните слова из песни Владимира Шаинского «Улыбка»: «...Поделись улыбкою своей, и она к тебе не раз ещё вернётся...». Поприветствуйте своего соседа по парте открытой, доброй улыбкой. Обращаясь к нему с улыбкой, скажите несколько приятных слов. Улыбнулись? Значит, вы готовы к занятию.

        Анализ упражнения:  ответьте про себя на вопросы

1. Что вы чувствовали, когда улыбались другому человеку?
2. Трудно ли улыбаться всем?
3. Что вы испытываете, когда улыбаются вам?

 Присаживайтесь! Меня зовут Екатерина Андреевна. Сегодня вы будете работать вместе со мной. На уроке вы познакомитесь с основными соотношениями между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. Я очень рада, что помогать я вам буду в изучении именно этой темы, так как она для вас абсолютно новая и необычная. А всё новое и необычное всегда привлекает к себе людей потому, что кажется загадочным и таинственным.

        В древности люди следили за светилами и по этим наблюдениям вели календарь, рассчитывали сроки сева, время разлива рек; корабли на море, караваны на суше ориентировались в пути по звездам. Все это привело к потребности научиться вычислять стороны в треугольнике, две вершины которого находятся на земле, а третья представляется точкой на звездном небе. Исходя из этой потребности и возникла наука – тригонометрия – наука, изучающая связи между сторонами в треугольнике. Тригонометрия - слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников.
          В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач и в наше время приводятся к задаче решения треугольников.

        Так как наука тригонометрия зародилась в Древней Греции, то я вам предлагаю сейчас туда и отправиться. … Представьте себе, что мы все вместе чудесным образом оказались в Древней Греции во 2 веке до нашей эры, в стране где мифы и  наука неразрывно связаны. Мы очутились на ступеньках  великолепного храма, где нас встречает сама богиня Афина!! Одна из наиболее почитаемых греческих богинь, богиня справедливой войны и мудрости, покровительница знаний. Но не все смертные имеют право входить в храм науки, а только те кто обладает определёнными знаниями. Поэтому чтобы войти в храм мы должны показать прекрасной богине свои знания.

1. Какая фигура изображена на доске?
2. Как называются стороны такого треугольника?
3. Какие свойства этой фигуры вам известны?

Молодцы! Богиня Афина удовлетворена вашими знаниями, но вот грозный бог Аид, который сегодня стоит на страже храма всё же сомневается.

(Слайды

Назовите катеты и гипотенузы данных прямоугольных треугольников.

Наконец-то  грозный бог Аид и прекрасная богиня Афина пропускают нас в храм науки, где могут находиться только избранные.

         Возникновение тригонометрии связано с землеизмерением, астрономией и строительным делом. Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2в. до н.э.) и Клавдием Птолемеем (2в. н.э.) - древнегреческим астрономом, географом и картографом. Но перед тем, как приоткрыть двери в загадочный мир тригонометрии Афина предлагает вам ещё кое-что узнать.

(Слайд )

1. Одинаково ли расположены катеты АС и ВС по отношению к острому углу А?
2. Как расположен катет ВС по отношению к острому углу А?
3. Как можно его назвать?... Он лежит напротив угла А, значит он противолежащий.
4. Как расположен катет АС по отношению к острому углу А?
5. Как можно его назвать?... Он лежит при угле А, значит он прилежащий. (На слайде появляется запись)

Итак, катет ВС по отношению к углу А называют противолежащим, а катет АС прилежащим. Для другого острого угла прямоугольного треугольника всё будет наоборот. Попытайтесь сами дать названия катетам АС и ВС по отношению к углу В..... Верно, катет АС по отношению к углу В называют противолежащим, а катет ВС прилежащим. (На слайде появляется запись)

Теперь давайте решим другую задачу: для катета АС какой угол будет противолежащим, а какой прилежащим?.... Для катета ВС какой угол будет противолежащим, а какой прилежащим?  Верно. (На слайде появляется запись)

Богиня Афина очень добра и она вам дарит точно такие же шпаргалки которые вы видите на доске. А пока я вам их раздаю, откройте тетради, запишите число (сегодня 25 февраля) и тему урока «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника».

На доске вы видите задание. Работа в парах 1 вариант говорит 2 и наоборот.

Теперь давайте проверим....

Сядьте, пожалуйста, по группам. Каждой команде будет дано своё задание. Решение должно быть оформлено в тетради каждого члена команды.

На самом деле задание для всех команд было одно.

Ответы проверим все вместе. В треугольнике ОВР какой катет для угла В является прилежащим? Противолежащим? В треугольнике АВС какой катет для угла В является прилежащим? Противолежащим?

И вот новая загадка от богов. Как найти угол наклона Пизанской башни? Её длина 60 м, а а расстояние от земли до верхнего края башни 50м. В случае затруднения осуществи рефлексию над своими действиями.

Молодцы! Теперь всё внимание на меня! Богиня Афина не даром так долго заставила нас работать с катетами и углами. Мы подошли очень близко к важному открытию.

Начертите в своих тетрадках (а я на доске) прямоугольный треугольник АВС. Угол С прямой, катет ВС=4, АС=3, гипотенуза АВ=5.

В

С

А

Вычислим, какую часть составляет противолежащий катет для острого угла А к его гипотенузе, для этого составим отношение прилежащего катета к гипотенузе:

ВС/АС=4/5.

Это отношение носит особое название — такое, что каждый человек в каждой точке планеты понимает, что речь идёт о числе, представляющем отношение противолежащего катета острого угла к гипотенузе. Это слово синус. Так как слово синус без названия угла теряет всякий смысл, то его математическая запись такова:

sin А= ВС/АС; Запишите это.

Теперь составим отношение прилежащего катета к гипотенузе для острого угла А:

АС/АВ=3/5.

Это отношение имеет название косинус. Его математическая запись:

cos А= АС/АВ.

Рассмотрим ещё одно отношение для острого угла А: отношение противолежащего катета к прилежащему катету

ВС/АС=4/3

Это отношение носит название тангенс. Его математическая запись:

tg А=ВС/АС

Давайте закрепим наши промежуточные открытия.

(определения на интерактивной доске)

Синус – это …

Косинус – это …

Тангенс – это ..

 Теперь давайте закрепим наши знания. (Треугольник начерчен на доске)

Найдите

        Длительную историю имеет понятие синус угла. Фактически различные отношения отрезков треугольника встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального названия. В IV-V веках появился уже специальный термин джива- «тетива»в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты. При переводе арабских математических текстов  оно было заменено латинским синус( изгиб, кривизна).

        Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения ,которое в переводе означает. “дополнительный синус” .

        Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс  введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном. Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г.  Tangens переводится как «касающийся» .

        Вы ещё не забыли, что мы находимся в гостях у богов в Древней Греции? Они предлагают вам выяснить от чего зависит величина синуса, косинуса и тангенса острого угла самим. Сейчас я на каждую парту выдам треугольники, первый ряд вычисляет синус острого угла А во всех трёх треугольниках, сравнивает получившиеся значения и пытается сделать предположение, от чего зависит величина синуса острого угла, второй ряд делает всё это для косинуса, а третий для тангенса. Измерять длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно линейкой.

Вывод первого ряда....    (не зависит от длин сторон)

Вывод второго ряда...

Вывод третьего ряда...

Если значение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника не зависит от длин сторон треугольника, то логично предположить, что их значение зависит от величины угла.

Ребята! Действительно, значение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника не зависит от длин сторон треугольника, а зависит от величены угла.

        «Зарядка»

Сейчас на слайде вы видите критерии оценки, то есть действия, которые нужно выполнить при ответе на мои вопросы.

1. Какое у тебя настроение?

2. На сколько тебе нравится сегодняшняя погода?

3. Насколько понятна новая тема?

4. Насколько интересна новая тема?

5. Насколько хорошо ты запомнил новый материал?

6. Как бы ты оценил свою работу на занятии?

7. Насколько нужна полученная тобой информация?

8. Как ты себя сейчас чувствуешь?

        Людям в древности эти открытия давались очень не легко и не так быстро. Нам уже, конечно, пора возвращаться в свой век и год. Но бог Аид не может отпустить нас просто так, за возвращение он требует от нас решение ряда задач.

1. В прямоугольном треугольнике АВС (угол С=90) гипотенуза АВ=5 см, sinA=0,6. Найдите катет ВС.

Я даю вам время подумать самим.... (задачи решаются на доске учениками)

2. В прямоугольном треугольнике АВС (угол С=90) ВС=10 см, cosB=5/13. Найдите гипотенузу АВ.
3. В прямоугольном треугольнике АВС (угол С=90) ВС=10 см, tgA=2,5. Найдите второй катет и гипотенузу треугольника.

Решение прикладных задач

1.Найти высоту дерева, если расстояние от наблюдателя до ствола дерева равно 9м, а угол, под которым он видит макушку дерева, равен 300.

2.Найдите угол наклона Пизанской башни, если высота башни равна 60м, а камень, брошенный с верхней площадки башни, пролетает 50м.

3.Тень от вертикально стоящего шеста, высота которого 3 м, составляет 3 м.
Выразите в градусах высоту Солнца над горизонтом.

…

Мы с вами через 40 минут путешествия благополучно вернулись домой, но уже не такими какие были прежде, а с целым багажом новых понятий.

А что же в этом багаже? Ведь у каждого он свой! С каким багажом вы сегодня уйдёте с урока? Что в нём?

Запишите задание на дом: выучить определения (п.66), №591.

Ребята, честно говоря, мне с вами сегодня было очень легко и приятно работать!  Спасибо вам за помощь! Я вам желаю, чтобы богиня мудрости Афина всегда оставалась вашей покровительницей!

И последнее, перед тем как совсем уйти с урока. Подумайте минутку и одним словом выразите содержание урока.

Резерв:

1. У прямоугольного треугольника гипотенуза равна 10 см, а синус одного из острых углов равен 0,7. Найдите катеты треугольника.
2. В прямоугольном треугольнике катет равен 3 см, а тангенс противолежащего ему угла равен 0,75. Найдите второй катет и гипотенузу.