7 класс Медианы, биссектрисы, высоты треугольника.
план-конспект урока геометрии (7 класс) по теме

Медианы, биссектрисы, высоты треугольника.

2 урока.

Цель урока: Ввести понятие медианы, биссектрисы и высоты треугольника; рассмотреть свойства равнобедренного треугольника. Уметь выполнять практические задания.

План урока:

1. Организационный момент.
2. Рассказ – сказка о медианах, высотах и биссектрисах.
3. Свойства равнобедренного треугольника.
4. Практические задания.
5. Решение задач.
6. Итог урока
7. Задание на дом.

Ход урока.

1. Сообщение ученикам о теме и цели урока. Повторение о биссектрисе угла, о треугольнике, как геометрической фигуре.
2. Ведущий (учитель): Жил-был ученик Степа. Начав изучать геометрию, он многое не понимал, много делал ошибок. Пытался изучать самостоятельно, думая как же понять эту науку.  Часто, засыпая, он вспоминал то, что изучал днем. И стали в его снах действующими лицами геометрические фигуры. Они разговаривали с ним, рассказывали о себе, о том, зачем и для чего они нужны. Вот один из таких снов. Слушайте, и попытайтесь вместе со Степой узнать что-то новое для себя.

Жила была Медиана треугольника. Разговорилась как-то  она с Биссектрисой угла.

М. – Слушай Биссектриса угла, давай познакомимся поближе. Расскажи мне о себе. Кто ты такая, как ты живешь?  А я тебе поведаю про себя. Будет на сердце легче. А то люди иногда такое про нас наговаривают, что и сказать стыдно. Их невежество иногда меня в тупик. Как им разъяснить их заблуждения?

Б. – Хорошо добрая Медиана, расскажу. Я тоже этого хотела. Словно прочитала мои мысли. Ну, слушай. Я – Биссектриса угла. И этим многое сказано. Без угла меня нет. Ну, как грома без молнии, как прямой без точки, угла без лучей. Только назовешь, а тебе в ответ: «А где же твой угол?». Это во-первых. Во-вторых – я луч.

         1                   1 = 2

           2

М. – Прости, моя геометрическая фигура, но ведь и стороны угла тоже лучи. Чем же ты от них отличаешься?  – спросила Медиана.

Б. – У меня есть сходство с ними уже потому, что я тоже луч. И исхожу я из той же точки что и они. Эту точку называют вершиной угла. Но я отличаюсь от них. Хотя бы тем, что прохожу между сторонами угла. Понимаешь, между! Иногда люди забывают про это и путают меня со всякими другими лучами, тоже исходящими из вершины угла. Даже если они не проходят между его сторонами.

М. – Да, извини, что перебиваю, но между сторонами не ты одна проходишь?

Б. – Да что ты, конечно нет. А вот угол пополам делю я одна. Больше из лучей никто не делит угол пополам.

М. – Теперь я вижу, что фигура ты значительная. Ты и луч, ты и исходишь из вершины угла, да еще и проходишь между его сторонами и делишь свой угол пополам. Ты обладаешь важными свойствами, тебя нельзя не уважать,

Б. –  Спасибо за добрые слова.

М. –  Это все понятно. Но, скажи, уважаемая Биссектриса угла, как ты связана с треугольником?

Б. –  Конечно расскажу. Имеется не только биссектриса угла, но и биссектриса треугольника. Ты ведь знаешь, что  треугольник не то, что угол, он является фигурой ограниченной. Ну и биссектриса у него тоже фигура ограниченная. Она является отрезком и составляет мою часть. А потому Медиана, когда ты совпадаешь с биссектрисой треугольника , то тоже оказываешься моей частью. Вот и выходит, что мы с тобой связаны.

М. –  Слыхала, Биссектриса угла, что если вас трое и вы становитесь биссектрисами углов треугольника, то у вас есть единственная общая точка. Правда ли это?

Б. –  Правда, правда. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке. Почему? Об этом мы узнаем немного попозже.

             В                Чертеж выполнить в тетради. AK, DC, BM – биссектрисы.               1 2                             1 = 2;  3 = 4; 5 = 6.

      D        О                 K                        

        3                              6

           4                           5

А                    М                            С

М. – Спасибо тебе, биссектриса угла, за такой терпеливый и содержательный рассказ о себе. Право, обо мне ты услышишь мало занимательного. Жизнь моя обычна. Но все-таки слушай.

Послушаем и мы о новой для нас фигуре – Медиане.

М. – Прежде всего, я – отрезок! Только не любой. А такой, один конец которого совпадает с вершиной треугольника, а другой является серединой противоположной стороны.

      В                                   Чертежи в тетрадях.

                                             BD – медиана, AD = DC

А                                                С

                         D

                                                                                         Я долго думала, почему это люди обратили на меня внимание, что я за важная птица, чтобы имя мне дать, да еще такое симпатичное: МЕДИАНА! Мало ли отрезков с концами в вершине треугольника да на противоположной стороне? А вот выделили меня вместе с биссектрисой и высотой треугольника! Ну, их, конечно, удостоили специальных названий – по заслугам: одну – за равенство углов, другую – за прямой угол. А меня, что же, выходит  за середину стороны? Может и так. Но, думаю, не только за это.Б. – А за что же еще? Расскажи!

М. – Ой, да даже не знаю. Рассказывать ли об этом. Дело в том, что сейчас я на время из геометрии выйду в физику. Ты ведь кое-что знаешь о физике?

Б. – Да, конечно кое-что знаю. Мною иногда в физике пользуются. В другой раз я готова даже рассказать об этом.

М. – Ну, тогда слушай. Сидим мы как-то вечерком. Мы – это три медианы одного треугольника. Вдруг слышим чей-то бас: «Уважаемые мои медианы, позвольте с вами познакомиться. Я тесно связан с вами тремя». «Кто ты такой? – спрашиваем. – Как тебя зовут?» А он: «Я являюсь точкой вашего пересечения, но этого мало. – Я ЦЕНТР масс вашего треугольника». Отвечаем ему: «Мы из геометрии, а ты из физики. Что общего между вами? Объясни». И вот что он нам поведал.

Рассказ ведущего (учителя) о центре массы данного треугольника.

                                                              B    

                             D                                      K      

   А                                     М                                С                  

АК, СD, ВМ – медиана;   О – центр массы.

                  О

             O

                                  Модель.

Как бы ни поворачивали треугольник вокруг оси – иголки, он будет поворачиваться и каждый раз занимать одно и то же положение. Мне трудно объяснить это положение. Но сколько бы точек в треугольнике ни выбирали, результат получим тот же самый. Но только до тех пор, пока ось не попадет в точку пересечения медиан треугольника.

Б. – И что же тогда произойдет? Что-то будет не так?

М. – Вот именно не так. Теперь – то, как треугольник вокруг оси не поворачивай, в какое положение его ни приведешь, в таком он и останется Просто чудо! Конечно, если человек проведет медианы неаккуратно, т.е. проведет лишь «якобы медианы», то тут мы, медианы, за результат не отвечаем.

Б. – Да, точка пересечения медиан треугольника обладает поистине удивительным свойством. Для физиков, механиков, инженеров это просто находка. За одно это можно дать тебе имя, дорогая Медиана! Я читала о тебе в учебнике, но что точка вашего пересечения центр масс треугольника –   об этом я не знала.

Вед: – Медиана треугольника и Биссектриса угла заканчивали беседу, как вдруг раздался голос.

                                                           В

       А                                                D           C                                                       ВD  AC   BD – высота

Высота – Вы знаете, я невольно слышала ваши интересные рассказы. Прошу вас, выслушайте и меня тоже. Я расскажу совсем немного. Я высота треугольника. Что такое высота?        Высота – это , опущенный из вершины треугольник                                                     треугольника на прямую содержащую проти-

                                                                             воположную сторону.  Поскольку  - это  отрезок,                                                                                                                                           противоположную сторону.                       значит и высота треугольника – это отрезок. В этом

                                                                             я похожа на тебя. Медиана, и на тебя, Биссектриса

                                                                             треугольника и этим отличаюсь от биссектрисы угла.                                      

М. – А высот тоже три в треугольнике?

Б. – А они тоже пересекаются в одной точке?

В. – Дело обстоит так:  

           В                                                                           О                                       В  

                                  M                                                                                                                     M

   N                                                                                                                                                                                            

                                   О J                

А           К                                           С                                                                      А                                                   С

  Остроугольный                                                                          Прямоугольный

            треугольник                                         В                                                        треугольник

                                            А                                                                                                  С                                                                                                                                                                                                                                                      

                                            Тупоугольный       треугольник                                

треугольник      О

треугольник

а) точка пересечения высот лежит внутри треугольника только тогда, когда он остроугольный;  

б) в прямоугольном треугольнике стороны, образующие прямой угол и есть две высоты треугольника, значит точка пересечения высот это вершина прямого угла;  

в) высоты тупоугольного треугольника общих точек не имеют, а вот прямые, содержащие эти высоты,  пересекаются вне треугольника

М. – А вы забыли нашу дружбу в равнобедренном треугольнике?

Б. – А это что за треугольник?

   . –  Треугольник,  у которого две стороны равны – называется равнобедренным.  Если все стороны равны – равносторонним.

М. – А чем он отличается от других треугольников. Каковы его свойства? Расскажи нам уважаемый треугольник, а мы послушаем.

3. Свойства равнобедренного треугольника.

1   свойство равнобедренного треугольника.

               В                              АВ = ВС, АВС – равнобедренный.

                                           АС – основание; АВ и ВС боковые стороны.

                                             А =  С

А                              С      

А                             С

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

М. – И все?

     . –   Нет, есть еще важное свойство связанное с вами тремя подругами. Слушайте!

2  свойство равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Это верно и для медианы и для высоты.

                     В                                        АМ = МС, значит ВМ - медиана

                       1  2                                 1 = 2,  значит ВМ - биссектриса

                    3        4

  А                    М                   С  

                                                         3 = 4 = 90о, значит ВМ – высота

Вед: – Попрощались три подружки с треугольником, пожелав новых открытий, совершенствования в умении рассуждать и доказывать.

Проснулся Степа и не поймет, правда или все это только во сне так. Но мы с вами знаем, что это и на самом деле так. И наши подруги еще многое могли бы рассказать нам о себе.

4.     Познакомимся и мы поближе с ними в практических заданиях.

№1.  Дан  равнобедренный  треугольник CDE с основанием DE. Назвать боковые стороны, углы при основании, угол, противолежащий основанию этого треугольника.

№2. В равнобедренном треугольнике MPK KM = KP. Назвать боковые стороны, основание, угол, противолежащий основанию, и углы при основании этого треугольника.

Самостоятельная работа обучающего характера.

I Вариант  [II Вариант]

В равнобедренном треугольнике сумма всех углов равна 180о. Найти углы этого треугольника, если известно, что:  

а) один из них равен 105о[62о];

б) один из них равен 38о [98о].

Обратить внимание, что задача может иметь два решения.

5.     Решение задач.

Решаем задачи из учебника: 108,  109 – на доске и в тетради.

Самостоятельно с последующей проверкой 110. На доске 113, 118.

6.     Итог урока. Повторение ключевых моментов урока.

7.     Объявление отметок. Задание домашнего задания. П. 16 – 18. Вопросы 1 – 13. Стр. 25, задачи: 104; 106; 117.

Литература:                                                                                                                                                       И. Никольская, Е. Семенов «Учимся рассуждать и доказывать».                                                    Л.С. Атанасян.  Учебник геометрии 7 – 9.