Соотношения между сторонами и углами треугольника
методическая разработка по геометрии (8 класс) на тему

Открытый урок

Тема сегодняшнего урока: «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника» (слайд 1)

1) АКТУАЛИЗАЦИЯ

- что мы знаем по этой теме? (синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника, основное тригонометрическое тождество и др.)

- а где мы можем применить эти знания (при решении задач)

- итак, сегодня на уроке мы, используя определения, формулы площади будем находить неизвестные элементы прямоугольного треугольника, вычислять площади фигур, а также некоторые задачи будут вынесены на самостоятельную работу за выполнение которой вы получите оценки.

- на сколько хорошо вы подготовились к уроку нам поможет определить проверка домашней работы.

2) ПРОВЕРКА ДОМАШНЕЙ РАБОТЫ

- что в задаче дано и что требуется найти (дано: равнобедренный треугольник с углом при основании α, боковая сторона и  основание а; найти: площадь равнобедренного треугольника) (слайд 2)

- как вычислить площадь треугольника (площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту)

- все ли по данной формуле нам известно (нет)

- что неизвестно (основание и высота)

- как найти высоту (воспользоваться определением синуса острого угла прямоугольного треугольника)

- что называется синусом острого угла прямоугольного треугольника (синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе) (на боковой части доски появляется запись)

- как найти основание треугольника (так как треугольник равнобедренный, то основание есть два отрезка АН)

- как найти отрезок АН (через определение косинуса угла прямоугольного треугольника)

- что называется косинусом острого угла прямоугольного треугольника (косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе)

 -  таким образом, чему равна площадь равнобедренного треугольника, если известна боковая сторона и угол при основании (произведению квадрата стороны на косинус и синус острого угла)

- как изменится площадь треугольника, если известно основание и угол при основания (проводя аналогичные рассуждения, была получена следующая формула для вычисления площади треугольника – это есть четверть произведения квадрата основания на тангенс угла при основании)

- хорошо, что же такое тангенс острого угла прямоугольного треугольника (тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету, с другой стороны, тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла).

- какой вывод можно сделать из полученного решения (площадь равнобедренного треугольника может бы вычислена не только как половина произведения основания на высоту, но и через одну из сторон треугольника и угол при основании)

- полученная формула нами может быть использована в дальнейшем решении задач и поэтому мы ее запишем, где у нас записаны основные определения

- как вы думаете, изменится ли площадь равнобедренного треугольника если взять угол не при основании α, а при вершине В угол β. На этот вопрос попытаются ответить некоторые ученики (дать карточки троим учащимся на время выполнения работы по готовым чертежам)

- так образом проверив домашнюю работу, мы вспомнили основные определения и формулы для вычисления площади треугольника.

3) РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ГОТОВЫХ ЧЕРТЕЖАХ

- приступим к решению задач на готовых чертежах (слайд 3).

 - перед вами задача 1. Что дано и что требуется найти (дан прямоугольный треугольник известны его катеты, нужно найти синус, косинус и тангенс острого угла)

- для того, чтобы найти синус и косинус углов, что нужно знать (катеты и гипотенузу)

- как найти гипотенузу (по теореме пифагора)

- сформулируйте ее (в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов)

- тогда чему равна гипотенуза (5)

- хорошо, а может кто-то знает как иначе можно было найти гипотенузу (данный треугольник называется египетским треугольником со сторонами 3,4 и 5, так как он был известен еще в древним египтянам. Для построения прямых углов египтяне поступали так: на веревке делали метки, делящие ее на 12 равных частей, связывали концы веревки и растягивали на земле с помощью кольев в виде треугольника со сторонами 3,4 и 5. Тогда угол между сторонами, равными 3 и 4 оказывался прямым)

- таким образом чему равен синус, косинус и тангенс угла В? (ответы на доске)

- рассмотрим задачу 2

 - что в задаче дано и что требуется найти (дан равнобедренный треугольник, известно основание и требуется вычислить его площадь)

- каковы идеи решения (рассмотреть прямоугольный равнобедренный треугольник АВН, тогда высота будет равна половине основания и тогда площадь треугольника будет 0,5*8*4=16)

- кто может предложить другое решение (воспользоваться формулой полученной в № 598)

- чему равен тангенс 45°, кто забыл можете воспользоваться учебником или таблицей Брадиса (тангенс 45°=1)

- тогда чему будет равна площадь треугольника (16)

- переходим к задаче 3 (слайд 4)

- по чертежу составьте свою задачу (дан прямоугольник, известна одна сторона и угол между стороной и диагональю нужно найти вторую сторону и саму диагональ)

- вторую сторону найдем через какое отношение (через тангенс)

- а диагональ (через косинус)

- рассмотрим  задачу 4

- какая фигура дана (прямоугольная трапеция)

- что требуется найти (ее площадь)

- как вычислить площадь трапеции (площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту)

- как найти ВН (рассмотреть треугольник), какой (АВН – прямоугольный, тогда через синус 30°, получим BH=2, найдем сторону АН через косинус, получим …)

4) РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ №600

- мы с вами повторили основные формулы, решили задачи. Знание данной теории может иметь и практический характер, а именно перед строителями была поставлена задача простроить дорогу, поможем этим строителям, рассмотрев задачу № 600. (слайд  5)

- прочитайте условие, составьте краткую запись что дано и что требуется найти.

1. Какую форму имеет насыпь шоссейной дороги в разрезе? (форму трапеции)
2. выполним построение
3. Чему равна ширина насыпи в нижней ее части? (стороне AD)
4. Рассмотрим треугольник АВН, какой он (прямоугольный)
5. Как взаимосвязаны между собой катеты АН и ВН прямоугольного треугольника АВН и угол А? Выразите  катет АН
6. Как найти  катет ED (рассмотрев треугольники)
7. Что вы можете сказать про треугольники  АВН и DCE  (равны по гипотенузе и углу) следовательно АН= ED
8. Что вы можете сказать о четырехугольнике НВСЕ? Чему равна сторона НЕ?
9. Проверьте пожалуйста свой ответ.

- какой вопрос можно поставить еще к этой задаче (вычислить площадь, так как все величины нам известны)

- какой вывод можно сделать из этой задачи (знание теории может быть использовано и в

повседневной жизни)

5) САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 

- мне бы хотелось узнать на сколько хорошо вами усвоена тема и для этого проведем самостоятельную работу. Перед вами текст с заданиями, работаем прямо в тексте. (слайд 6 + раздаточный материал)

- проверьте свои ответы с ответами на доске (выделение ответов) (слайд 7)

- поднимите руки кто сделал 1 задание (это оценка 3), 2 (это оценка 4), 3 (это оценка 5).

- что большинство учащихся справились с работой и значит данная тема нами  была усвоена.

- на следующем уроке я вам скажу оценки по данной работе и разберем задания которые вызвали у вас затруднения.

6) ИТОГ УРОКА

- чем мы сегодня с вами занимались на уроке (решали задачи), а почему так хорошо справились с решением (так как в начале урока мы повторили основные определения синуса, косинуса, тангенса углов, вспомнили как вычислять площади фигур, вывели еще одну формулу для вычисления площади равнобедренного треугольника если известна сторона и угол при основании, выяснили что соотношения в прямоугольном треугольнике имеют практический характер)

7) ДОМАШНЯЯ РАБОТА

- кто же сомневается в том, что он хорошо усвоил данную тему предлагаю повторить вопросы 15-18 к пункту 67, и решить номера 559, 601, 602. Для выполнения домашней работы вам понадобится таблица Брадиса (слайд 8)

-спасибо за урок, можете быть свободны