Набор задач по модулю "ГЕОМЕТРИЯ" в ГИА - 2013
методическая разработка по геометрии (9 класс) по теме

ГИА -2013      Набор задач   по типу № 9  

1. Два угла треугольника равны 40∘ и 130∘. Найдите величину внешнего угла при третьей вершине. Ответ дайте в градусах.  Ответ: 170

 Решение:

Из теоремы о сумме углов в треугольнике получаем, что третий угол треугольника равен 180∘−40∘−130∘=10∘.

Тогда внешний угол при третьей вершине равен 180∘−10∘=170∘.

2. Один из углов равнобедренного треугольника равен 100∘. Найдите любой другой его угол. Ответ дайте в градусах.      Ответ: 40

Решение:

Угол 100∘ - тупой и поэтому не может быть углом при основании равнобедренного треугольника. Значит, это угол при вершине.


Тогда на два угла при основании приходится 180∘−100∘=80∘. Поэтому угол при основании равен 80∘:2=40∘.

3. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 40∘. Найдите внешний угол при вершине второго острого угла. Ответ дайте в градусах.    Ответ: 130

 Решение:

Один угол прямоугольного треугольника равен 90∘, поэтому сумма двух других углов равна 180∘−90∘=90∘. Если один острый угол равен 40∘, то второй 90∘−40∘=50∘.


Тогда внешний угол будет равен 180∘−50∘=130∘.

4. В прямоугольном треугольнике внешний угол при вершине острого угла равен 110∘. Найдите другой острый угол треугольника. Ответ дайте в градусах.

 Ответ: 20

5. Два угла треугольника равны 40∘ и 80∘. Найдите наибольший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.     Ответ:   80
6. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B равен 42∘. Найдите величину угла CAK, если AK - биссектриса угла A. Ответ дайте в градусах.
   Ответ: 34,5
7. В треугольнике ABC, углы которого равны ∠B=40∘ и ∠C=80∘, проведена высота CH. Найдите величину угла ACH (в градусах).                Ответ: 50

8. Параллельные прямые AB и CD пересечены секущей AC. CB – биссектриса угла C, ∠CAB=50∘. Найдите угол ACB.
   Ответ:  65

9. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 40∘. Найдите угол при основании этого треугольника. Ответ дайте в градусах.         Ответ: 20

ГИА-2013   Набор задач  по типу № 10

1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 72∘ и 118∘. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.          Ответ: 62

Решение:  Воспользуемся следующим фактом из геометрии: сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180∘.
Нам даны два угла вписанного четырехугольника: 72∘ и 118∘. Их сумма равна 190∘, а не 180∘, значит, эти углы не противоположные, а соседние.



Тогда напротив угла 72∘ лежит угол 180∘−72∘=108∘, а напротив угла 118∘ лежит угол 62∘. Меньший из них 62∘.

2. В трапеции ABCD AB=BC=CD. Точки K,L,M и N - середины сторон трапеции. Найдите наибольший угол четырёхугольника KLMN, если угол BAD равен 40∘. Ответ дайте в градусах.
   

Проведем диагонали AC и BD. KL и NM – это средние линии в треугольниках ABC и ADC соответственно, поэтому они параллельны стороне AC. Аналогично, LM и KN параллельны BD. Значит, стороны четырехугольника KLMN параллельны диагоналям трапеции, и поэтому, во-первых, этот четырехугольник – параллелограмм, во-вторых, его углы равны углам между диагоналями трапеции.
Теперь найдем углы между диагоналями трапеции. Данная нам трапеция особенная, в ней равны три стороны, и поэтому диагональ AC является биссектрисой угла A. Действительно, ∠BAC=∠BCA (это углы при основании равнобедренного треугольника ABC), но и ∠CAD=∠BCA (это накрест лежащие угла при параллельных прямых). Значит, углы BAC, CAD и BCA равны: ∠BAC=∠CAD=∠BCA=40∘:2=20∘.
Аналогично можно найти угол BDA – он тоже равен 20∘.

Пусть O – точка пересечения диагоналей трапеции. В треугольнике AOD два угла равны по 20∘, следовательно, углы между диагоналями трапеции равны 140∘ и 40∘. Значит, и углы четырехугольника KLMN равны тому же самому. Нам нужен наибольший угол – он равен 140∘.  Ответ: 140

3. На рисунке изображена окружность с центром O. Угол BON равен 50∘, а угол MAB равен 20∘. Найдите величину дуги NBM. Ответ дайте в градусах.
   Ответ: 90

Величина дуги NB определяется центральным углом NOB и равна 50∘. Угол BAM вписанный и опирается на дугу BM. Значит, угол BAM равен половине дуги BM. Получается, что величина дуги BM равна 40∘. Теперь можно найти всю дугу NBM, она равна 40∘+50∘=90∘.

4. Треугольник ABC вписан в окружность. Известны два его угла ∠A=80∘,∠B=55∘. Найдите градусную меру меньшей дуги AB.
    Ответ: 90
5. Один из углов параллелограмма в 3 раза больше другого. Найдите меньший из углов параллелограмма. Ответ дайте в градусах.                                 Ответ: 45
6. На рисунке точка O – центр окружности, а треугольник OAB – равносторонний. Найдите величину угла ACB в градусах.
   Ответ: 30

7. На рисунке точка O − центр окружности, а треугольник OAB − прямоугольный. Найдите величину угла ACB в градусах.
   Ответ: 45
8. Правильный шестиугольник вписан в окружность. С – произвольная точка окружности. Найдите угол ACB в градусах.
   Ответ: 30

9. К окружности с центром O проведена касательная KA. Радиус окружности равен √2. Расстояние от точки K до центра окружности равно √11 . Найдите AK.
   Ответ:3

ГИА-2013     Набор задач по типу 11

1. Найдите площадь равнобедренного треугольника, изображенного на рисунке.
   Ответ: 12,25
2. Диагонали ромба равны 24 и 7,5. Найдите его площадь.
   Ответ: 90
3. Диагональ AC ромба ABCD равна √2+√3 , а угол при вершине C равен 30∘. Найдите площадь треугольника ACD.
   Ответ: 0,5

Для вычисления площади воспользуемся формулой SACD=12⋅sin∠ADC⋅DA⋅CD.

Сумма соседних углов параллелограмма (а ромб - это параллелограмм) в сумме составляют 180∘, следовательно, ∠D=180∘−∠C=180∘−30∘=150∘. 

Стороны ромба равны, поэтому треугольник ACD – равнобедренный. Обозначим за x длину боковой стороны △ABD: CD=DA=x.

Запишем для этого треугольника теорему косинусов.
AC2=CD2+AD2−2⋅CD⋅ADcos150∘;
(√2+√3 )2=x2+x2−2⋅x⋅x⋅(−√3/2). 

Решим это уравнение.
√2+√3=2x2+2x2√3/2; 
2+√3=x2(2+√3); 
x2=1; 
x=−1 или x=1. 

Поскольку за x обозначена длина стороны треугольника, то x>0⇒x=1.

SACD=1/2⋅sin150∘⋅1⋅1=0,5⋅0,5=0,25.

4. Основания равнобедренной трапеции равны 23 и 17. Тангенс одного из углов равен   3/8. Найдите площадь трапеции.                                       Ответ 22,5
5. Найдите площадь описанного около окружности радиуса 4,5 четырёхугольника ABCD, если AB=5 и CD=15.
   ответ: 90
6. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.
   Ответ: 126

7. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке. Сторону клетки считать равной 1 см.
   
    Ответ: 12

8. Найдите периметр трапеции ABCD по данным рисунка.
   Ответ: 66

9. Диагонали ромба равны 10 и 14. Найдите площадь ромба.                   Ответ: 70

ГИА-2013    Набор задач по типу № 12

1. Площадь прямоугольного треугольника с катетами 4 и 3 равна площади ромба со стороной 5. Найдите высоту ромба.                            Ответ: 1,2

Решение:      Площадь прямоугольного треугольника равна полу произведению катетов.
Если катеты 3 и 4, то площадь равна S1=3⋅42=6 .
Площадь ромба (как и площадь любого параллелограмма) равна произведению стороны ромба на его высоту. Поэтому в нашем случае площадь ромба равна S2=5⋅h, где h - высота. По условию задачи площади S1 и S2 равны.
Отсюда находим высоту: 5h=6, h=65=1,2.

2. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, равна 4. Длина основания    равна 6.   Найдите длину высоты, проведенной к боковой стороне треугольника. Ответ:4,8                                              

Решение:  Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является также и медианой.

Значит, в прямоугольном треугольнике ABH, катеты равны 4 и 3. Найдем гипотенузу (она же боковая сторона треугольника ABC).
BH=√42+32 =5.
Нам нужно найти длину высоты h треугольника ABC, проведенной к боковой стороне AB. Для этого запишем две формулы для вычисления площади треугольника ABC.
S=1/2AC⋅BH=1/2⋅AB⋅h. Отсюда AC⋅BH=AB⋅h.
Подставим известные нам значения. 6⋅4=5⋅h; h=245=4,8.

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12. Найдите длину высоты, проведенной к гипотенузе треугольника.                     Ответ:   3,6
4. Площадь параллелограмма равна 8, а высоты параллелограмма равны 2 и 1,6. Найдите периметр параллелограмма.                               Ответ: 18
5. Две стороны равнобедренного треугольника равны 8 и 5, а две его высоты равны 4,8 и 3. Найдите площадь треугольника.                         Ответ: 12
6. В треугольнике ABC проведены высоты BD и CE. Известны длины отрезков AC=8, AB=12, AD=6. Найдите AE.
   ответ: 4

7. Отрезок DE параллелен отрезку AB. DC=12, DA=3, DE=4. Найдите AB.
   Ответ: 5
8. Прямые AB, CD и EF параллельны. По данным рисунка найдите длину отрезка CE.
   Ответ: 4,5
9. В прямоугольном треугольнике ABC из произвольной точки E катета AC опущен перпендикуляр ED на гипотенузу AB. DE=2, BC=4. Площадь треугольника ADE равна 5. Найдите площадь треугольника ABC.
   ответ: 20

ГИА-2013  Набор задач типа № 13

Какие из следующих утверждений верны?

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.
2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.
3. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
4. Диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом.            

     Ответ: 23

Какие из следующих утверждений верны?

1. В любой прямоугольный треугольник можно вписать окружность.
2. Каждая сторона треугольника больше суммы двух других сторон.
3. Существует треугольник ABC с меньшей стороной AC и углами ∠A=43∘, ∠C=72∘.
4. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.
5. Любые два равнобедренных треугольника подобны.    

   Ответ:  24

Какие из следующих утверждений верны?

1. В любой квадрат можно вписать окружность.
2. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на катете этого треугольника.
3. Если стороны одного треугольника соответственно в 3 раза больше сторон другого, то треугольники подобны.
4. Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной 1, равен 1/2√3

Ответ: 13

Какие из следующих утверждений верны?

1. Если диагонали четырёхугольника делят его углы пополам, то этот четырёхугольник - ромб.
2. Центром окружности, описанной около правильного треугольника, является точка пересечения его высот.
3. Треугольник, стороны которого равны 7, 12, 13 является прямоугольным.
4. Любые два прямоугольных треугольника подобны.  

Ответ: 12

Какие из следующих утверждений верны?

1. В любой четырёхугольник можно вписать окружность.
2. Центром окружности, вписанной в правильный треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
3. В треугольнике против меньшего угла лежит меньшая сторона.
4. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних, не смежных с ним.  

 Ответ:  234

Укажите номера верных утверждений.

1. Через любую точку прямой на плоскости можно провести единственный перпендикуляр к этой прямой.
2. Существует треугольник с двумя равными тупыми углами.
3. Параллелограмм с равными диагоналями – это прямоугольник.    

Ответ:13

Укажите номера верных утверждений.

1. Медиана треугольника делит треугольник на два равных.
2. Зная только длины двух сторон треугольника, можно найти его площадь.
3. Если в треугольнике равны два угла, то он равнобедренный.        

 Ответ: 3

Укажите номера верных утверждений.

1. Биссектриса угла треугольника делит сторону треугольника пополам.
2. Диагонали равнобедренной трапеции равны.
3. Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, находится в точке пересечения его высот.                                

    Ответ: 2

Укажите номера верных утверждений.

1. В равностороннем треугольнике все углы равны.
2. Четырехугольник с прямыми углами - это квадрат.
3. В равнобедренной трапеции диагонали равны.

   Ответ:13