Набор задач для проведения зачёта по стереометрии в 10 классе по теме "Многогранники".
учебно-методический материал по геометрии (10 класс)

Предлагаю набор задач по стереометрии, которые я использую для проведения зачёта в 10 классе после изучения темы «Многогранники». Цель зачёта – проверить знания свойств и признаков взаимного расположения прямых и плоскостей и умения применять эти знания на многогранниках. Решение стереометрической задачи в большинстве своём состоит из двух частей: 1) показать искомую геометрическую фигуру (отрезок, угол, сечение) с обоснованием своего выбора; 2) найти геометрическую величину найденной фигуры (длину, градусную меру, площадь). Наибольшие затруднения у учащихся вызывает именно первая часть решения, это одна из причин низкого  процента выполнения стереометрических задач на ЕГЭ. В предложенных задачах отсутствует вычислительная часть, отрабатывается умение показывать и обосновывать. Условия задач ученикам известны заранее, на подготовку даётся несколько дней с возможностью проконсультироваться с учителем при возникающих затруднениях.  Для подготовки к зачёту необходимо повторить понятия:

Угол между скрещивающимися прямыми;

Расстояние между скрещивающимися прямыми;

Угол между прямой и плоскостью;

Линейный угол двугранного угла;

Признаки:

Параллельности прямой и плоскости;

Перпендикулярности прямой и плоскости;

Перпендикулярности плоскостей;

Теорему о трёх перпендикулярах.

В задачах слово  найти следует понимать: показать и обосновать. В случаях, если искомый угол равен 90° достаточно доказать соответствующую перпендикулярность.

1. В кубе АВСDА1В1С1D1 найти :

Угол между ребром  АА1 и диагональю В1D;

Угол между прямой АС1 и плоскостью грани DD1С;

Расстояние между прямыми  АС и  А1В1.

Угол между плоскостями АВ1С и А1В1С.

2. В кубе АВСDА1В1С1D1 найти:

Угол между прямыми  В1С и ВD;

Расстояние между прямыми ВА1 и В1С1;

Угол между прямой А1В и плоскостью АВС;

Угол между плоскостями ВА1С1 и ВА1D1.

3. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 боковое ребро равно диагонали основания. Найти:

Угол между ВD и А1С1;

Угол между прямой АС1 и плоскостью BВ1С;

Угол между плоскостью основания и плоскостью АА1С.

Сечение плоскостью, проходящей через середину ребра АD перпендикулярно ВD1;

4. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 найдите:

Угол между прямыми АВ и ОС1, где О – точка пересечения диагоналей основания;

Угол между прямой АВ1 и плоскостью АВС1, если ВВ1=ВС;

Угол между плоскостями АВС1 и АА1D;

Сечение, проходящее через точки О, С, параллельно прямой А1В.

5. В правильной призме АВСА1В1С1 найти:

Угол между прямыми АС1 и D1С;

Угол между прямой А1В и плоскостью АА1С;

Угол между плоскостями ВСА1 и ВВ1С1;

Расстояние между прямыми СС1 и А1В.

6. В основании прямой призмы АВСА1В1С1- равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом В. Найдите:

Угол между прямыми ВС1 и АС;

Угол между прямой ВС1 и плоскостью АА1С;

Угол между плоскостями АВ1С и АСВ;

Сечение, проходящее через центр описанной окружности основания, перпендикулярно ребру АВ.

7. В основании прямой призмы АВСDА1В1С1D1 – ромб, АВ=ВД. О – точка пересечения диагоналей нижнего основания. Найдите:

Угол между прямыми АС и ВD1;

Угол между прямой АС1 и плоскостью ВВ1D;

Расстояние между прямыми  А1А и В1D1;

Угол между плоскостями  АВС и А1В1С.

8. В правильной четырёхугольной пирамиде РАВСD О–точка пересечения диагоналей основания. Найдите:

Угол между прямыми РО и АВ;

Угол между прямой РС и плоскостью ВРD;

Угол между плоскостями АРD и ВРС;

Сечение, проходящее через точки  В, О, параллельно прямой АР.

9. В правильной треугольной пирамиде РАВС найти :

Угол между прямыми МК и РС, где М –середина ребра АВ, К – середина высоты пирамиды;

Угол между прямой АР и плоскостью ВРС, если АО=АР;

Угол между плоскостью АВС и плоскостью MВК;

Сечение плоскостью, проходящей через точку К, перпендикулярно АВ.

10. В пирамиде DАВС ребро DА перпендикулярно плоскости основания, АВ = ВС=АС. Найдите :

Угол между прямыми DО и ВС, где О – центр основания;

Угол между прямой АВ и плоскостью АСD;

Угол между плоскостями АВD и ОАD;

Сечение плоскостью, проходящей через точку О  параллельно  грани АВD.

11. В пирамиде РАВСD в основании квадрат, О- середина ребра АВ, РО перпендикулярно плоскости  основания. Найдите:

Угол между прямыми АР и ВС;

 Угол между прямой РС и плоскостью АВС;

Угол между плоскостями АРВ и РВС, если АР=АD;

Сечение плоскостью, проходящей через центр квадрата, перпендикулярно грани РDС.

12. В правильном тетраэдре РАВС найдите:

Угол между прямыми  АP и ВС;

Угол между прямой ВС и плоскостью АPС;

Сечение плоскостью, проходящей через середины рёбер АВ, АС и PС;

Угол между полученной плоскостью и плоскостью АВС.

Эти задачи можно также использовать для работы на уроках (в парах, группах) и для домашнего задания.