Билеты для проведения зачётов по геометрии (8 класс)
методическая разработка по геометрии (8 класс)

8 класс

Зачет по геометрии по теме: «Четырехугольники»

Билет 1

1. Сумма углов четырехугольника. Определение параллелограмма. Определение высоты параллелограмма. Свойства параллелограмма.
2. Трапеция. Доказать свойства равнобедренной трапеции (об углах, диагоналях). (задача стр.45)
3. Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Меньшая диагональ ромба равна 4 см. Найдите углы и периметр ромба.
4. В прямоугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника АОВ, если САD = 30о, АС = 12 см.

Билет 2

1. Сумма углов четырехугольника. Определение параллелограмма. Определение высоты параллелограмма. Признаки параллелограмма.
2. Прямоугольник. Доказать особое свойство прямоугольника. (теорема )
3. Боковая сторона равнобокой трапеции равна 6 см, большее основание 10 см. Найдите среднюю линию трапеции, если один из её углов равен 60о.
4. Докажите, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке. (задача 1, стр.15)

Билет 3

1. Определение трапеции. Равнобедренная трапеция. Прямоугольная трапеция. Определение высоты трапеции. Свойства равнобедренной трапеции.
2. Прямоугольник. Доказать признак прямоугольника. (теорема )
3. Доказать, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. (Теорема Вариньона, задача стр.40)
4. Биссектрисы углов А и D параллелограмма АВСD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найти стороны параллелограмма, если его периметр равен 36 см.

Билет 4

1. Определение трапеции. Равнобедренная трапеция. Прямоугольная трапеция. Определение высоты трапеции. Признаки равнобедренной трапеции.
2. Параллелограмм. Доказать свойство параллелограмма (о сторонах). (теорема )
3. Угол между диагоналями прямоугольника равен 80о. Найдите угол между диагональю прямоугольника и его сторонами.
4. Найдите углы треугольника, две средние линии которого равны и перпендикулярны.

Билет 5

1. Определение прямоугольника. Свойства прямоугольника. Особое свойство прямоугольника. Признак прямоугольника.
2. Параллелограмм. Доказать свойство параллелограмма (об углах). (теорема )
3. Один из углов равнобедренной трапеции равен 60о, а диагональ трапеции делит этот угол пополам. Найдите периметр трапеции, если её большее основание равно 14 см.
4. Найти угол между биссектрисами соседних углов параллелограмма.

Билет 6

1. Определение ромба. Свойства ромба. Особое свойство ромба. Признаки ромба.
2. Параллелограмм. Доказать свойство параллелограмма (о диагоналях). (теорема )
3. Средняя линия равностороннего треугольника со стороной 6 см разбивает его на треугольник и четырёхугольник. Определить вид четырёхугольника и найдите его периметр.
4. Стороны параллелограмма равны 10 см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят прилежащую сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.

Билет 7

1. Определение квадрата. Определение средней линии треугольника. Теорема о средней линии треугольника. Определение средней линии трапеции. Теорема о средней линии треугольника.
2. Параллелограмм. Доказать признак параллелограмма (по сторонам). (теорема )
3. Точки Е и М являются соответственно серединами сторон АВ и ВС треугольника АВС. Найдите сторону АС, если она на 7 см больше отрезка ЕМ.
4. Докажите, что угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма.

Билет 8

1. Сумма углов четырехугольника. Определение параллелограмма. Определение высоты параллелограмма. Свойства параллелограмма.
2. Средняя линия трапеции. Доказать теорему о средней линии трапеции. (теорема )
3. Отрезок АМ – биссектриса треугольника АВС. Через точку М проведены прямая, параллельная стороне АС и пересекающая сторону АВ в точке К, и прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая сторону АС в точке D. Докажите, что АМ DК.
4. Точка М – середина стороны ВС прямоугольника АВСD, МА перпендикулярна МD, периметр прямоугольника равен 36 см. Найдите стороны прямоугольника.

Билет 9

1. Сумма углов четырехугольника. Определение параллелограмма. Определение высоты параллелограмма. Признаки параллелограмма.
2. Средняя линия треугольника. Доказать теорему у средней линии треугольника. (теорема.)
3. В прямоугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке О. Е – середина стороны АВ, ВАС = 50о. Найдите ЕОD.
4. Биссектриса острого угла параллелограмма делит его сторону в отношении 3 : 5, считая от вершины тупого угла. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 66 см.

Билет 10

1. Определение трапеции. Равнобедренная трапеция. Прямоугольная трапеция. Определение высоты трапеции. Свойства равнобедренной трапеции.
2. Параллелограмм. Доказать признак параллелограмма (по диагоналям). (теорема )
3. Угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен 30о. Найдите периметр параллелограмма, если его высоты равны 4 см и 6 см.
4. Диагональ трапеции делит её на два треугольника, один из которых равносторонний, а другой прямоугольный. Найдите углы трапеции. Сколько решений имеет задача.

Билет 11

1. Определение трапеции. Равнобедренная трапеция. Прямоугольная трапеция. Определение высоты трапеции. Признаки равнобедренной трапеции.
2. Параллелограмм. Доказать признак параллелограмма (по углам). (задача стр.24)
3. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине.
4. Из вершины В ромба АВСD проведены перпендикуляры ВК и ВМ к прямым АD и DС. Докажите, что луч ВD является биссектрисой КВМ.

Билет 12

1. Определение прямоугольника. Свойства прямоугольника. Особое свойство прямоугольника. Признак прямоугольника.
2. Параллелограмм. Доказать признак параллелограмма (по паре сторон). (теорема )
3. Диагональ равнобокой трапеции равна 14 си и образует с основанием угол 60о. Найдите среднюю линию трапеции.
4. Периметр параллелограмма АВСD равен 24 см, АВС = 160о, диагональ АС образует со стороной АD угол 10о. Найдите стороны параллелограмма.

Билет 13

1. Определение ромба. Свойства ромба. Особое свойство ромба. Признаки ромба.
2. Параллелограмм. Доказать признак параллелограмма (по диагоналям). (теорема )
3. Докажите, что биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
4. В ромбе АВСD биссектриса ВАС пересекает сторону ВС и диагональ ВD соответственно в точках М и N. Найдите АNВ, если АМС = 120о.

Билет 14

1. Определение квадрата. Определение средней линии треугольника. Теорема о средней линии треугольника. Определение средней линии трапеции. Теорема о средней линии треугольника.
2. Ромб. Доказать особое свойство ромба. (теорема )
3. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 55 см. Прямоугольник АВСD построен так, что две его вершины А и D принадлежат гипотенузе, а две другие – катетам данного треугольника. Найдите стороны прямоугольника, если АВ : ВС = 3 : 5.
4. В четырехугольнике АВСD известно, что АВ ǁ СВ, А = С. Докажите, что четырехугольник АВСD – параллелограмм.

Билет 15

1. Сумма углов четырехугольника. Определение параллелограмма. Определение высоты параллелограмма. Свойства параллелограмма.
2. Ромб. Доказать признак ромба (по перпендикулярности диагоналей) (теорема )
3. Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30о меньше другого.
4. Высота прямоугольной трапеции, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки длиной 7 см и 5 см, считая от вершины прямого угла. Найдите среднюю линию трапеции.

Билет 16

1. Сумма углов четырехугольника. Определение параллелограмма. Определение высоты параллелограмма. Признаки параллелограмма.
2. Ромб. Доказать признак ромба (по диагонали, являющейся биссектрисой) (теорема )
3. Угол между диагоналями прямоугольника равен 80о. Найдите углы между его диагональю и его сторонами.
4. Сумма диагоналей четырехугольника равна 28 см. Найдите периметр четырёхугольника, вершины которого являются серединами сторон данного четырёхугольника.

8 класс

Билеты к зачету по геометрии по теме:

«Площади»

Билет 1

1. Доказать теорему о площади прямоугольника.
2. Доказать теорему о площади ромба.
3. Меньшая сторона параллелограмма равна 29 см. Перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей к большей стороне, делит её на отрезки, равные 33 см и 12 см. Найдите площадь параллелограмма.
4. В треугольнике МРК РК = 2. На стороне МК отмечена точка А так, что МА = АР =, АК = 1. Найдите .

Билет 2

1. Доказать теорему о площади параллелограмма.
2. Доказать теорему, обратную теореме Пифагора.
3. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а сумма её оснований равна 2а. Найдите площадь трапеции.
4. В треугольнике АВС . На сторонах АС, АВ, ВС соответственно взяты точки М, Р, К так, что четырехугольник СМРК является квадратом, АС = 6 см, ВС = 14 см. Найдите сторону МС.

Билет 3

1. Доказать теорему о площади треугольника.

2. Формула Герона (вывод).

3. В параллелограмме АВСD угол В тупой. На продолжении стороны АD за вершину D отмечена точка Е так, что , , АВ = 4 см, АD = 10 см. Найдите площадь параллелограмма.

4. Боковые стороны трапеции равны 9 см и 12 см, а основания 30 см и 15 см. Найдите угол, который образуют продолжения боковых сторон трапеции.

Билет 4

1. Доказать теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.
2. Доказать теорему о площади параллелограмма.
3. Докажите, что если диагонали четырехугольника АВСD взаимно перпендикулярны, то .
4. В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 4 см и составляет с меньшей диагональю угол в 45о. Найдите площадь трапеции, если её тупой угол равен 135о.

Билет 5

1. Доказать теорему о площади трапеции.
2. Доказать теорему о площади ромба.
3. Высоты, проведенные из вершины тупого угла параллелограмма, составляют угол в 45о. Одна из высот делит сторону, на которую она опущена, на отрезки 2 см и 8 см, считая от острого угла. Найдите площадь параллелограмма.
4. В равнобедренной трапеции диагональ равна 25 см, а высота 15 см. Найдите площадь трапеции.

Билет 6

1. Доказать теорему Пифагора.
2. Выведите формулу площади равностороннего треугольника.
3. В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона равна 3 дм и составляет с меньшей диагональю угол в 45о. Острый угол трапеции также равен 45о. Найдите площадь трапеции.
4. Площадь ромба равна 540 см2, а одна из его диагоналей равна 45 см. Найти расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба.

Билет 7

1. Доказать теорему о площади трапеции.
2. Доказать теорему о площади прямоугольника.
3. Найти площадь равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к боковой стороне, равна 6 см и образует с основанием угол в 45о.
4. Внутри параллелограмма отмечена точка М. Докажите, что сумма площадей треугольников АМD и ВМС равна половине площади параллелограмма.

Билет 8

1. Доказать теорему, обратную теореме Пифагора.
2. Доказать теорему о площади треугольника.
3. В некоторой трапеции диагональ и боковая сторона, выходящие из вершины тупого угла, равны 26 см и см соответственно, высота трапеции 24 см, меньшее основание 7 см. Найдите площадь трапеции.

4. В параллелограмме меньшая высота и меньшая сторона равна 9 см и см соответственно. Большая диагональ 15 см. Найдите площадь параллелограмма.

Билет 9

1. Формула Герона (вывод).

2. Доказать следствия из теоремы о площади треугольника:

об отношении площадей треугольников, имеющих равные высоты;

о площади прямоугольного треугольника.

3. Докажите, что если в четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то его площадь равна половине произведения диагоналей.

4. В ромбе АВСD диагонали АС и ВD равны соответственно 12 см и 5 см. На диагонали АС взята точка М так, что АМ : МС = 4 : 1. Найдите площадь треугольника АМD.

8 класс

Зачет по геометрии по теме: «Подобие треугольников»

Билет 1

1. Сформулировать определение подобных треугольников, признаки подобия треугольников.
2. Докажите свойство отрезка, соединяющего основания высот остроугольного треугольника. (задача стр.102)
3. В треугольник ABC вписан ромб BDEF так, что угол B у них общий, а вершина E принадлежит стороне AC. Найдите сторону ромба, если , .
4. В треугольнике ABC известно, что , , AM и CK - биссектрисы треугольника. Найдите отрезок МК.

Билет 2

1. Сформулировать теоремы о пересекающихся хордах, об отрезках секущих, о квадрате касательной.
2. Докажите свойство биссектрисы треугольника.
3. Докажите, что средняя линия трапеции делит её диагонали пополам.
4. Через точку F проведены к окружности касательная FA (A - точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках B и C (точка B лежит между точками F и C). Найдите отрезок FB, если и

Билет 3

1. Сформулировать теорему о пропорциональных отрезках, лемму о подобных треугольниках.
2. Докажите свойство медиан треугольника.
3. Разделите данный отрезок на 5 равных частей (задача на построение).
4. Хорды MK и NP окружности пересекаются в точке F, , , а отрезок NF в 3 раза длиннее отрезка PF. Найдите хорду NP.

Билет 4

1. Сформулировать теорему Фалеса, утверждение об отрезке, соединяющем основания высот остроугольного треугольника.
2. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен их полуразности.
3. Диагонали трапеции равны 32 см и 40 см, а основания – 21 и 35 см. найдите отрезки диагоналей, на которые каждая из них делится точкой пересечения.
4. В треугольнике ABC на стороне AB отмечена точка К. Известно, что , Найдите отрезок CК.

Билет 5

1. Сформулировать теоремы о пересекающихся хордах, об отрезках секущих, о квадрате касательной.
2. Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия треугольников.
3. Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке М. Большее основание AD трапеции равно 26 см, , . Найдите меньшее основание трапеции.
4. Точка E делит хорду CD окружности на отрезки длиной 15 см и 16 см. Найдите радиус окружности, если расстояние от точки E до центра окружности равно 4 см.

Билет 6

1. Сформулировать определение подобных треугольников, признаки подобия треугольников.
2. Докажите теорему о пересекающихся хордах.
3. Подобны ли два треугольника, если стороны одного относятся как , а стороны другого равны 24 см, 9 см, 27 см?
4. В треугольнике ABC проведена высота CH. Известно, что

. Докажите, что

Билет 7

1. Сформулировать теорему о медианах треугольника, теорему о биссектрисе треугольника.
2. Докажите теорему об отрезках секущих.
3. На сторонах AB и AC треугольника ABC отметили соответственно точки D и E так, что . Найдите отрезок DE, если .
4. Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из них на отрезки длиной 5 см и 9 см. найдите основания трапеции, если их сумма равна 70 см.

Билет 8

1. Сформулировать теорему о пропорциональных отрезках, лемму о подобных треугольниках.
2. Докажите теорему о квадрате касательной.
3. Сторона треугольника равна 10 см, а высота, проведённая к ней, - 7 см. В треугольник вписан прямоугольник, меньшая сторона которого принадлежит данной стороне треугольника. Найдите стороны прямоугольника, если они относятся как 4 : 7.
4. В треугольнике ABC известно, что . На продолжении отрезков AB и BC за точку B отложены соответственно отрезки BM и BK, . Найдите отрезок KM.

Билеты к зачёту по геометрии по теме «Окружности»

Билет 1

1. Теорема о площади многоугольника, в который можно вписать окружность.
2. Теорема об окружности, вписанной в треугольник.
3. Центральный угол АОВ на 30о больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите каждый из этих углов.
4. Найдите радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если радиус описанной окружности равен 10 см.

Билет 2

1. Свойство касательной.
2. Теорема об окружности, описанной около треугольника.
3. Докажите, что перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.
4. Хорды АВ и СD пересекаются в точке К, причем хорда АВ делится точкой К на отрезки, равные 10 см и 6 см. На какие отрезки точка К делит хорду СD, если СD больше АВ на 3 см?

Билет 3

1. Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки.
2. Теорема об окружности, описанной около треугольника.
3. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32о. Большая дуга окружности, заключенная между сторонами этого угла, равна 100о. Найдите меньшую дугу.
4. Найдите площадь прямоугольной трапеции, боковые стороны которой равны 12 см и 18 см, если известно, что в эту трапецию можно вписать окружность.

Билет 4

1. Признак касательной.
2. Свойство биссектрисы неразвернутого угла.

3. В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

4. Центр окружности радиуса R, описанной около трапеции, лежит на одном из оснований. Найдите периметр трапеции, если одни из её углов равен 60о.

Билет 5

1. Теорема о вписанном угле.
2. Свойство четырехугольника, около которого можно описать окружность.
3. Прямая АВ касается окружности с центром О в точке В. Найдите АВ, если радиус окружности 12 см, а .
4. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120о, боковая сторона треугольника равна 8 см. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Билет 6

1. Теорема о пересекающихся хордах.
2. Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность.
3. Катеты прямоугольного треугольника равны 24 и 7. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.
4. В треугольник с углами 720 и 96о вписана окружность. Найдите углы треугольника, вершинами которого являются точки касания окружности со сторонами треугольника.
   

Билет 7

1. Угол между секущими, пересекающимися внутри окружности.
2. Теорема о высотах треугольника.
3. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Найдите периметр треугольника, если точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см.
4. Хорда АВ перпендикулярна диаметру КН и делит радиус ОК на равные отрезки. Найдите углы четырехугольника АКВН.

Билет 8

1. Угол между секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности.
2. Доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

3. Точки А и В разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна 140о, а большая точкой М делится в отношении 6:5, считая от точки А. Найдите угол ВАМ.

4. Радиус вписанной в тупоугольный треугольник окружности равен 8 см, а высота, проведенная к основанию, - 18 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Билет 9

1. Угол между касательной и хордой.
2. Доказать, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
3. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 10 см.
4. В трапецию с основаниями а и b можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность. Найдите радиус вписанной окружности.

Билет 10

1. Докажите, что если через точку А проведены касательная АВ (В – точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках Р и Q, то AB2=АР .АQ (теорема о квадрате касательной).

2. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку.

3. Докажите, что градусные меры дуг, заключенных межу параллельными хордами, равны.

4. Найти площадь равнобедренного треугольника, в котором боковая сторона равна 4 √5 см, а радиус описанной окружности 5 см.

Билет 11

1. Следствия из теоремы о вписанном угле.
2. Теорема об окружности, вписанной в треугольник.
3. Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30о. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке D. Докажите, что треугольник АСD равнобедренный.
4. Меньший из отрезков, на которые центр описанной около равнобедренного треугольника окружности делит его высоту, равен 8 см, а основание треугольника равно 12 см. Найдите площадь этого треугольника.

Билет 12

1. Докажите, что если через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках В и С, а другая в Р и М, то .
2. Выведите формулу для радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности, через длины катетов и гипотенузы.
3. Сумма противоположных сторон описанного четырехугольника равна 10 см, а его площадь – 12 см2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот четырехугольник.
4. К двум окружностям, касающимся друг друга внешним образом, проведены две общие внешние касательные NF и TL (N, F,T, L – точки касания, причем N и T- точки меньшей окружности), образующие угол 60о. Радиус большей окружности равен 6. Найдите радиус меньшей окружности, длину хорды NT.