Разработка урока по теме "Объём шара"
план-конспект урока (геометрия, 11 класс) по теме

Методическая разработка урока по геометрии в

11 классе (учитель Лифанова В.А.)

Тема урока: Объём шара.

Цель:

Вывести формулу объёма шара

- задачи:

 - показать её применение при решении задач.

- повторить формулы для вычисления объёмов тел вращения;

-  развитие навыков работы с  геометрическими чертежами;

- развитие познавательных интересов,  самоконтроля;

- воспитание внимательности, аккуратности при построении чертежей;

- воспитание эстетических качеств и умения общаться (слайд 2)

Оборудование:

доска, интерактивная доска,  компьютерная презентация.

План урока: (слайд 3)

1. Организационный момент( сообщение темы урока и целей урока)

2. Актуализация опорных знаний

3. Изучение нового материала

4. Формирование умений и навыков учащихся

5.  Домашнее задание

6. Подведение итогов

Ход урока:

1. Организационный момент( сообщение темы урока и целей урока)
2. Актуализация опорных знаний ( слайд 4)

1. Дать определение шара, его радиуса, диаметра
2. Дать определение площади поверхности шара.
3. Записать формулу площади поверхности шара

3. Изучение нового материала (слайд 5-15)

Мы уже рассмотрели формулы для вычисления объёмов некоторых  многогранников и круглых тел. Вспомним и запишем под каждой фигурой уже известные формулы объёмов.

Задумывались ли вы над таким вопросом: как давно появились эти формулы, и кто первый открыл их?

Ещё до нашей эры формулы объёмов многих тел (параллелепипеда, призмы и цилиндра) были известны.

Позднее, благодаря трудам древнегреческих ученых Демокрита, Евклида и Архимеда были открыты формулы для вычисления объёмов пирамиды, конуса, шара и других тел

В современных учебниках формулы для вычисления объёмов тел пирамиды, конуса и шара выводятся на основе интегральной формулы. Но этот простой и изящный способ появился благодаря трудам И.Ньютона и Г. Лейбница гораздо позже того как  были открыты сами формулы. Докажем  формулу для вычисления объёма шара, используя интегральную формулу и тот алгоритм, по которому мы доказывали предыдущие формулы.

Объём шара вычисляется по формуле

 Учащийся выводит формулу для вычисления объёма шара на интерактивной доске.

ВЫВОД:  1. Проведем в шаре с центром в т.О и радиусом   R ось Ох произвольным образом.

2. Через точку х оси Ох проведем сечение , перпендикулярное оси . В сечении будет круг.

3. Обозначим площадь сечения S(x) и выразим его через радиус шара:

Из треугольника ОМС найдем радиус: r = ,

тогда S(x) = πr² =π(R²-х²), где –R ≤ x ≤ R.

4.  

4. Формирование умений и навыков учащихся (слайд 16)

1. № 710 (в) учащиеся выполняют самостоятельно с последующей устной проверкой

Решение: т.к. S = 4πR² , имеем  4πR² = 64π, R² = 16, R = 4. Тогда

V = R³ = 64 = π см³

2.) № 712 учащийся выполняет на доске.

Решение: R³=πR²H   и Н =  R

3. )Историческая задача.(слайд 17)

 На надгробном камне могилы Архимеда в Сиракузах изображен цилиндр с вписанным в него шаром. Это символ открытия формул объёма шара и площади сферы, а также важного вывода, что объём шара, вписанного в цилиндр, в… раз меньше объёма цилиндра и что также относятся поверхности этих тел»        Найдите это отношение.

            Учащиеся решают самостоятельно.

                      Решение:  

 Вопрос к классу: Чему равно отношение объёма шара к объёму цилиндра, если  их радиусы равны?      Делают вывод.

4.Устные упражнения.(слайд 19-21)

Упр.1  Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить: а) в 3 раза;

 б) в 4 раза?

Ответ: а) В 27 раз; б) в 64 раза.

 Упр.2 .Сколько нужно взять шаров радиуса 2 см, чтобы сумма их объемов равнялась объему шара радиуса 6 см?

Ответ. 27         

 Упр.3.   Радиусы трех шаров 3 см, 4 см и 5 см. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

Ответ:6см³

5. Задача. Из деревянного равностороннего цилиндра выточили наибольший возможный шар. Сколько процентов материала сточено?(слайд 22)

                    Учащийся выполняет у доски.

РЕШЕНИЕ: Из условия задачи вытекает, что высота цилиндра равна 2R, подставим значение высоты в формулу объёма цилиндра, получим:

Vц = .     Vш =  R³

Найдем, сколько сточено материала: Vц - Vш = 2πR³-  R³ =   R³

Найдем, сколько % составляет сточенный материал:

5. Домашнее задание.(слайд 23)

1. П.71
2. № 710 аб ,  №711,  №712

6. Итог урока(слайд 24)