Методическая разработка урока "Объем шара"
методическая разработка по геометрии (11 класс)

Цель деятельности учителя

Создать условия для выведения формулы объема шара с помощью определенного интеграла, применения полученных формул при решении типовых задач

Термины и понятия

Объем, шар, интеграл

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют работать с геометрическим текстом, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи, выводить формулу для вычисления объема шара с помощью интеграла

Познавательные: умеют восстанавливать причинно – следственные связи; строить логическое рассуждение, умозаключение.

Регулятивные : умеют определять сущность алгоритмических предписаний и действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

Коммуникативные : умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность.

Формы работы

Фронтальная; индивидуальная

Образовательные ресурсы

Теоретический материал по теме

Цели: выяснить затруднения обучающихся; проверить уровень сформированности знаний по изученной теме; подготовить к восприятию новой темы

1. Проверка домашнего задания

2. Теоретический опрос:

- Дайте определение шара

- Чему равна площадь поверхности шара?

Цель: вывести формулу объема шара с помощью интеграла

Фронтальная работа

- Мы уже рассматривали формулы для вычисления объемов некоторых многогранников и круглых тел.

(На слайде иллюстрации с изображением многогранников и круглых тел)

- Давайте вспомним и запишем под каждой фигурой уже известные нам формулы объемов.

Задумывались ли вы над таким вопросом: как давно появились эти формулы и кто первым открыл их? Еще до нашей эры формулы объемов многих тел (параллелепипеда, призмы и цилиндра) были известны. Позднее, благодаря трудам древнегреческих ученых Демокрита, Евклида и Архимеда, были открыты формулы для вычисления объемов пирамиды, конуса, шара и других тел. В современных учебниках формулы для вычисления объемов пирамиды, конуса и шара выводятся на основе интегральной формулы. Но этот простой и изящный способ появился благодаря трудам И. Ньютона и Г. Лейбница гораздо позднее того, когда были открыты сами формулы. Изучим и мы доказательство формулы

(Показать портреты перечисленных ученых)

Для доказательства используем метод координат, который ввел Рене Декарт.

Теорема об объеме шара доказана.

В практических приложениях часто указывается диаметр шара, поэтому в процессе решения задач полезно использовать формулу: , где D – диаметр шара.

Цель: выработать навыки решения типовых задач

Фронтальная / индивидуальная форма работы

1. Разобрать на доске и в тетрадях №711, 712

Дополнительная задача.

На надгробном камне могилы Архимеда в Сиракузах изображен цилиндр с вписанным в него шаром. Это символ открытия формул объема шара и площади сферы, а также важного вывода, что «объем шара, вписанного в цилиндр, в … раз меньше объема цилиндра и также относятся поверхности этих тел». Найдите отношение объема шара к объему цилиндра и отношение площади шара к площади цилиндра.

Решение : вспомнив формулы, о которых говорилось в условии задачи, запишем отношение

 ;    

Эти отношения и соотношения следует выделить и запомнить.

- Сумели ли вы получить новые знания?

- Чему равно соотношение объемов шара и цилиндра? Всегда ли это выполняется? При каком условии?

Домашнее задание: п. 82, стр. 174; решить №710, 713