Пособие по решению заданий В3 и В6 в ЕГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс) по теме

B6  геометрия с элементами тригонометрии

Определение. Треугольник — фигура на плоскости, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой  и отрезков, которые их соединяют. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами.

Два треугольника называются равными, если один можно получить из другого путем одного или нескольких движений плоскости: сдвига, поворота или симметрии. Кроме того, существует понятие подобных треугольников: их углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Это треугольник ABC. Более того, это прямоугольный треугольник: в нем ∠C = 90°. Именно такие,  чаще всего и встречаются в задаче B4.

Все, что надо знать для решения задачи B4 — это несколько простых фактов из геометрии и тригонометрии, а также общая схема решения, в которой эти факты используются. Затем останется просто «набить руку».

Начнем с фактов. Они разбиты на три группы:

1.Определения и следствия из них

2.Основные тождества

3.Симметрии в треугольнике

Группа 1: определения и следствия из них

Рассмотрим треугольник ABC, где ∠C — прямой.

1.Определение. Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2.Определение. Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3.Определение. Тангенс угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Один угол или отрезок может входить в разные прямоугольные треугольники. Более того, очень часто один и тот же отрезок является катетом в одном треугольнике и гипотенузой — в другом.. Тогда:

1. sin∠ A = BC/AB;

2. cos∠ A = AC/AB;

3 .tg∠ A = BC/AC.

Группа 1. Основные следствия из определения:

1.)   sin∠ A = cos ∠B; cos∠A = sin ∠B — самые часто используемые следствия

2.)  tg∠ A = sin∠ A/co∠ A — связывает тангенс, синус и косинус одного угла

3.) Если ∠A + ∠B = 180°, т.е. углы смежные, то: sin ∠A = sin B; cos ∠A = − cos∠ B.

Группа 2                  Основные тождества. Первое и самое главное тождество — теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Применительно к треугольнику ABC, рассмотренному выше, эту теорему можно записать так:

AC2+ BC2= AB2.

Второе тождество — из тригонометрии. Выглядит следующим образом:

Sin 2A + cos 2A = 1

  Симметрии в треугольнике. То, что написано ниже, относится только к равнобедренным треугольникам. Если в задаче таковой не фигурирует, то для решения достаточно фактов из первых двух групп.

Итак, рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AC = BC. Проведем к основанию высоту CH. Получим следующие факты:

1  ∠A = ∠B  . Как следствие, sin A = sin B; cos A = cos B; tg A = tg B.

2.   CH — не только высота, но и биссектриса, т.е. ∠ACH = ∠BCH. Аналогично, равны и тригонометрические функции этих углов.

3.Также CH — это медиана, поэтому AH = BH = 0,5 · AB.

Теперь, перейдем непосредственно к методам решения.

Для начала, следует обозначить неизвестную сторону (если таковая имеется) за X. Затем применяем схему решения, которая состоит из трех пунктов:

1.Если в задаче есть равнобедренный треугольник, применить к нему все возможные факты из третьей группы. Найдите равные углы и выразите их тригонометрические функции. Кроме того, равнобедренный треугольник редко бывает прямоугольным. Поэтому ищите в задаче прямоугольные треугольники — они там обязательно есть.

2.Применить к прямоугольному треугольнику факты из первой группы. Конечная цель — получить уравнение относительно переменной X. Найдем X — решим задачу.

3.Если фактов из первой группы оказалось недостаточно, применяем факты из второй группы. И снова ищем X.

Задача. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 5, BC = 3. Найдите cos A.

Решение. По определению (группа 1), cos A = AC/AB. Гипотенуза AB нам известна, а вот катет AC придется искать. Обозначим его AC = x.

Переходим к группе 2. Треугольник ABC — прямоугольный. По теореме Пифагора                             AC2+ BC2= AB2.

⇒ x2 + 32 = 52 ⇒ x2 = 25 − 9 = 16 ⇒ x = 4.

Теперь можно найти косинус:

cos A = AC/AB = 4/5 = 0,8.

Ответ: 0,8

Задача. В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos A = 4/5, BC = 3. CH — высота. Найдите AH.

Решение. Обозначим искомую сторону AH = x и рассмотрим треугольник ABH. Он прямоугольный, причем ∠AHB = 90° по условию. Поэтому cos A = AH/AB = x/AB = 4/5. Это пропорция, ее можно переписать так: 5 · x = 4 · AB. Очевидно, мы найдем x, если будем знать AB.

Рассмотрим треугольник ABC. Он также прямоугольный, причем cos A = AB/AC. Ни AB, ни AC нам не известны, поэтому переходим ко второй группе фактов. Запишем основное тригонометрическое тождество:  Sin 2A + cos 2A = 1

⇒ sin2 A = 1 – cos2 A = 1 − (4/5)2 = 1 − 16/25 = 9/25.

Поскольку тригонометрические функции острого угла положительны, получаем sin A = 3/5. С другой стороны, sin A = BC/AC = 3/AC. Получаем пропорцию:

3/AC = 3/5 ⇒ 3 · AC = 3 · 5 ⇒ AC = 5.

Итак, AC = 5. Тогда AB = AC · cos A = 5 · 4/5 = 4. Наконец, находим AH = x:

5 · x = 4 · 4 ⇒ x = 16/5 = 3,2.

Ответ: 3,2

Задача. В треугольнике ABC AB = BC, AC = 5, cos C = 0,8. Найдите высоту CH.

Решение. Обозначим искомую высоту CH = x. Равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC. Следовательно, из третьей группы фактов имеем: ∠A = ∠C и cos∠ A = cos ∠C = 0,8.

Рассмотрим треугольник ACH. Он прямоугольный (∠H = 90°), причем AC = 5 и cos A = 0,8. По определению, cos A = AH/AC = AH/5. Получаем пропорцию:

AH/5 = 8/10 ⇒ 10 · AH = 5 · 8 ⇒ AH = 40/10 = 4.

Осталось воспользоваться второй группой фактов, а именно теоремой Пифагора для треугольника ACH:

AH2+ CH2 = AC2 ⇒ 42 + x2 = 52 ⇒ x2 = 25 − 16 = 9 ⇒ x = 3.

Ответ: 3

Задача. В прямоугольном треугольнике ABC ∠B = 90°, AB = 32, AC = 40. Найти синус угла CAD.

Решение. AC = 40 и AB = 32, cos ∠A = AB/AC = 32/40 = 0,8. Это был факт из первой группы.

Зная косинус, можно найти синус через основное тригонометрическое тождество (факт из второй группы):

Sin 2A + cos 2A = 1

⇒ sin2 A = 1 – cos2 A = 1 − 0,82 = 0,36 ⇒ sin∠ A = 0,6.

При нахождении синуса вновь был использован тот факт, что тригонометрические функции острого угла положительны. Осталось заметить, что углы BAC и CAD смежные. Из первой группы фактов имеем:

∠BAC + ∠CAD = 180° ⇒ sin ∠CAD = sin ∠BAC = sin A = 0,6.

Ответ: 0,6

Задача. В треугольнике ABC AC = BC = 5, AB = 8, CH — высота. Найдите tg ∠A.

Решение. Треугольник ABC — равнобедренный, CH — высота, поэтому заметим, что AH = BH = 0,5 · AB = 0,5 · 8 = 4. Это факт из третьей группы.

Теперь рассмотрим треугольник ACH: в нем ∠AHC = 90°. Можно выразить тангенс: tg∠ A = CH/AH. Но AH = 4, поэтому остается найти сторону CH, которую обозначим CH = x. По теореме Пифагора (факт из группы 2) имеем:

AH2 + CH2 = AC2 ⇒ 42 + x2= 52 ⇒ x2= 25 − 16 = 9 ⇒ x = 3.

tg∠ A = CH/AH = 3/4 = 0,75.

Ответ: 0,75

Задача. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 6, cos A = 3/5. Найти высоту AH.

Решение.  Обозначим искомую высоту AH = x   треугольник ABC — равнобедренный, поэтому заметим, что ∠A = ∠B, следовательно, cos ∠B = cos∠A = 3/5. Это факт из третьей группы.

Рассмотрим треугольник ABH. По условию, он прямоугольный (∠AHB = 90°), причем AB = 6 и cos B = 3/5. Но cos ∠B = BH/AB = BH/6 = 3/5. Получили пропорцию:

BH/6 = 3/5 ⇒ 5 · BH = 6 · 3 ⇒ BH = 18/5 = 3,6.

Теперь найдем AH = x по теореме Пифагора для треугольника ABH:

AH2 + BH = AB2 ⇒ x2 + 3,62 = 62 ⇒ x2= 36 − 12,96 = 23,04 ⇒ x = 4,8.

Ответ: 4,8

Задача. В прямоугольном треугольнике ABC из угла C = 90° провели медиану и высоту. Известно, что ∠A = 23°. Найти ∠MCH.

Решение. Заметим, что медиана CM проведена к гипотенузе AB, поэтому M — центр описанной окружности, т.е. AM = BM = CM = R, где R — радиус описанной окружности. Следовательно, треугольник ACM — равнобедренный, и ∠ACM = ∠CAM = 23°.

Теперь рассмотрим треугольники ABC и CBH. По условию, оба треугольника прямоугольные. Кроме того, ∠B — общий. Следовательно, треугольники ABC и CBH подобны по двум углам.

В подобных треугольника соответствующие элементы пропорциональны. В частности, ∠BCH = ∠BAC = 23°.

Наконец, рассмотрим ∠C. Он прямой, и, кроме того, ∠C = ∠ACM + ∠MCH + ∠BCH. В этом равенстве ∠MCH — искомый, а ∠ACM и ∠BCH известны и равны 23°. Имеем:

90° = 23° + ∠MCH + 23° ⇒ ∠MCH = 90° − 23° − 23° = 44°.

Ответ: 44

Задача. Периметр прямоугольника равен 34, а площадь равна 60. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Решение. Обозначим стороны прямоугольника: AB = x, BC = y. Выразим периметр: PABCD = 2 · (AB + BC) = 2 · (x + y) = 34 ⇒ x + y = 17.

Аналогично выразим площадь: SABCD = AB · BC = x · y = 60.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Он прямоугольный, поэтому запишем теорему Пифагора:

AC2+ BC2= AB2.

⇒ AC2= x2 + y2.

Заметим, что из формулы квадрата разности следует равенство:

· y = 172 − 2 · 60 = 289 − 120 = 169.

Итак, AC2= 169, откуда AC = 13.

Ответ: 13