Методы геометрических преобразований.
учебно-методический материал (геометрия, 9 класс) по теме

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №1» г. Калтан

Методы геометрических преобразований.

Выполнила: Терентьева Татьяна Николаевна,

учитель математики МБОУ «СОШ №1»

2013

Введение.

С включением в школьную программу геометрических преобразований, векторов и понятия о координатном методе изменились способы решения геометрических задач. Ранее основным средством решения задач являлись признаки конгруэнтности и признаки подобия треугольников. Например; для доказательства конгруэнтности отрезков АВ и СD отыскивали (или строили) два треугольника, сторонами которых являлись соответственно отрезки АВ и CD. Используя признаки конгруэнтности треугольников, доказывали конгруэнтность рассматриваемых треугольников, из чего следовала конгруэнтность их элементов, в частности отрезков АВ и СD.

Cовременная методика доказательства конгруэнтности фигур использует свойства геометрических преобразований. Например, для доказательства конгруэнтности отрезков AB и СD находят перемещение, при котором отрезок АВ переходит в отрезок CD. Для доказательства параллельности прямых (или отрезков) ранее использовались признаки параллельности прямых. Теперь же для этого используются векторы.

        Некоторые геометрические задачи можно решать несколькими способами. Но в разных случаях решения будут разные по понятности и сложности. Геометрические преобразования значительно упрощают целый ряд геометрических задач на доказательство, вычисление и построение.

В своей работе я привожу решения задач на построение с использованием метода симметрии, метода параллельного переноса, метода поворота и метода подобия.

Метод симметрии.

        Может случиться, что фигура, которую требуется построить, имеет точки, симметричные относительно некоторой прямой или точки. В таком случае целесообразно выполнить преобразование симметрии относительно этой прямой или точки.

Проиллюстрируем метод симметрии на следующих примерах.

        Пример 1. Дан угол АВС и точка О внутри него. Провести через точку О прямую, отрезок которой заключенный между сторонами угла,  делился в точке О пополам.

Решение.

        Анализ. Предположим, что задача решена и MN-искомая  прямая (рис.).

Примем точку О за центр симметрии. Тогда точки М и N симметричны относительно  точки О. Пусть прямая АВ симметрична АВ относительно точки О. Так как точка М симметрична точке N, лежащей на прямой АВ, то прямая АВ должна пройти через точку М. Таким

образом, точка М должна быть точкой пересечения прямых ВС и АВ.

        Построение. 

1. Строим прямую АВ, симметричную прямой АВ относительно центра О (для этого находим точку А, симметричную точке А, и В, симметричную В относительно точки О).

2. Находим точку пересечения М прямых ВС и АВ и соединяем её с точкой О. Получим искомую прямую MN.

        Доказательство вытекает из анализа и построения , поэтому его опустим.

        Исследование. 

Из анализа и построения можно сделать вывод о том, что задача всегда имеет только одно решение.

        Пример 2. Даны три прямые a, b и c. Построить отрезок АВ, перпендикулярный прямой c, с серединой на этой прямой и концами на прямых а и b.

Решение.

Анализ. Допустим, что задача решена. Тогда концы искомого отрезка АВ симметричны относительно прямой с (рис.). Поэтому, если подвергнуть преобразованию симметрии прямую а относительно прямой с, то она перейдет в прямую а, проходящую через точку В. Таким образом, точка В получается в пересечении  прямой b и прямой а.

Построение.

1. Возьмем любые три прямые а, b, c. 

2. Построим образ а прямой а относительно прямой с.

3. Прямые а и b пересекаются в точке В.

4. Проводим через точку В прямую, перпендикулярную прямой с. Она пересечет прямую а в точке А. Отрезок АВ - искомый.

        Доказательство следует из  анализа и построения.

        Исследование. Задача всегда имеет единственное решение.

Метод параллельного переноса.

        Метод параллельного переноса состоит в том, что отдельные части искомой фигуры переносятся параллельно с целью получения новой фигуры, допускающей известное построение. Уяснить этот метод поможет следующий пример.

        Пример 3. Построить трапецию по основаниям и диагоналям.

Решение.

        Анализ. Допустим задача решена и трапеция ABCD построена(рис.).

Перенесем диагональ BD параллельно так, чтобы её вершина В совпадала с вершиной С. Теперь у треугольника АСD1 известны все стороны: две из них равны диагоналям трапеции, а

третья- сумме оснований. Отсюда получается следующее построение.

        Построение.

1. По данным задачи строим сначала треугольник  ACD1.

2. Строим точку D (AD- известное основание трапеции).

3. Через точку С проводим прямую, параллельную СD1. Они пересекутся в точке В.

Трапеция АВСD имеет заданные основания и диагонали.

        Доказательство следует из анализа и построения.

        Исследование. Задача будет иметь решение только в том случае, когда будет построен треугольник АСD1. А АСD1 можно построить ,если

 d1-d21+d2 (1), где a, b- основания трапеции , d1 и d2 - диагонали трапеции. Причем, AD1 =a+b, AC=d1 , CD1=d2. Условие (1) вытекает из неравенства треугольников.

Метод поворота.

        Метод поворота при в решении задач на построения состоит в том, что отдельные элементы фигуры поворачиваются с целью получения новой фигуры, построение которой известно. Приведем пример, иллюстрирующий применение этого метода.

        Пример 4: Даны три параллельные прямые a, b и с. Построить равносторонний треугольник АВС, вершины А, В, С которого лежат на данных прямых.

Решение.

        Анализ. Предположим, что задача решена и АВС - искомый (рис.1).

Так как АВ=АС и ВАС=600, то точка В переходит в точку С при повороте вокруг точки А на угол 600 или на угол -600 (ибо ВАС=+600 или -600). Пусть, например, точка В переходит в точку С при повороте вокруг точки А на угол +600. Точка В лежит на прямой b. Поэтому точка С, получающаяся из нее поворотом вокруг точки А на угол +600 должна лежать на прямой b, получающейся из прямой b поворотом вокруг точки  А на угол +600. Кроме того, точка С лежит, по условию, на прямой с. Поэтому точка С есть точка пересечения прямых b и с.

Аналогично, если точка В переходит в точку С при повороте на угол -600  вокруг точки А (рис.2), то С есть точка пересечения прямой с и прямой b, получающейся из прямой b поворотом вокруг точки А на угол -600.

        Построение.

1) Выберем точку А на прямой а произвольно.

2) Построим прямую b, получающуюся из прямой b поворотом вокруг точки А на угол +600 (рис. 1).

3) В пересечении прямых b и с получаем точку С.

4) Третья вершина искомого треугольника АВС получается из точки С поворотом вокруг точки А на угол -600.

Другое построение мы получим, заменяя поворот вокруг точки А на угол +600 поворотом вокруг той же точки на угол -600 (рис.2).

        Доказательство. При повороте вокруг точки А на угол -600 прямая b переходит в прямую b (рис.1). Следовательно, точка С прямой b переходит при этом же повороте в точку, лежащую на прямой b. Иначе говоря, точка В лежит на прямой b. Далее по определению поворота , мы имеем: ВАС=600, АС=АВ. Поэтому АВС - равнобедренный с углом 600 при вершине; следовательно, он -равносторонний. Точно так же доказывается, что равносторонним является и изображенный на рис.2 треугольник.

        Исследование.  Прямая b (рис.1) не параллельна прямой b , т.к. угол между прямыми b и b равен 600 по свойству поворота. Поэтому прямая b пересечет прямую с, параллельную прямой b, в некоторой точке С. Следовательно, АВС всегда существует. Также всегда существует и изображенный на рисунке 132 треугольник. Поэтому при выбранной точке А задача всегда имеет два решения.(Точка А может быть выбрана на прямой а  произвольно).

Метод гомотетии или подобия.

        Методом гомотетии как правило решаются задачи, в которых необходимо построить фигуру, в которой заданы величины углов, отношения отрезков и по крайней мере один линейный элемент.

Метод подобия в решении задач на построение состоит в следующем.

        Некоторые задачи при отбрасывании в них одного из условий (линейного элемента) становятся неопределенными, допускают бесчисленное множество решений. Но эти решения дают фигуры, подобные искомой. В этом случае, построив одну из таких фигур, преобразованием подобия (гомотетии) получают искомую.

Рассмотрим этот метод на примере.

        Пример 5: Дан угол АВС и точка М внутри этого угла. Построить окружность S, касающуюся сторон угла и проходящую через точку М.

Решение.

        Анализ. Предположим, что задача решена и S- искомая окружность (рис.). Произведём гомотетию с центром в точке В и каким-либо коэффициентом гомотетии k. При этом окружность S перейдет в окружность R, также вписанную в угол АВС, но уже, вообще говоря, не проходящую через точку М; если зафиксировать где-либо на биссектрисе угла АВС центр Q окружности R, то мы сможем её построить. Окружность S пока указана быть не может (ибо мы не знаем коэффициента k гомотетии, переводящего окружность S в окружность R); мы знаем только, что окружность S проходит через точку М. Рассматриваемая гомотетия переводит точку М окружности S в точку N окружности R, лежащую на прямой ВМ; эту точку можно найти (как точку пересечения прямой ВМ с окружностью R). Далее, радиус ОМ окружности S гомотетичен радиусу QN окружности  R; следовательно, ОМ QN(по свойству гомотетии). Поэтому центр О искомой окружности S можно найти как точку пересечения биссектрисы BQ угла АВС и прямой МО, параллельной NQ.

        Построение.

1) Строим произвольную окружность R, вписанную в угол АВС; центр этой окружности обозначим через Q.

2) Пусть N - точка пересечения окружности R и прямой ВМ.

3) Точка О - точка пересечения биссектрисы угла АВС и прямой МО, параллельной прямой NQ.

4) Окружность S с центром О и радиусом ОМ и будет искомой.

        Доказательство. Гомотетия с центром В и коэффициентом   переводит окружность R  окружность S, проходящую через точку М и, так же как и окружность R, вписанную в угол АВС, т.е. в искомую окружность. Радиусу NQ окружности R гомотетичен радиус МО окружности S; поэтому МОNQ и центр S - это есть точка пересечения прямой МОNQ и биссектрисы угла АВС. (Центр О окружности S принадлежит биссектрисе угла АВС, т.к. окружность S касается сторон угла).

        Исследование. Прямая МВ пересекает окружность R в двух точках N и N1. Используя в нашем построении одну или другую из этих точек, мы получим две окружности S и S1, удовлетворяющих условию задачи. (Окружность S1 на рис. ). Таким образом, задача имеет два решения.

Рис. 1

Рис.2