ПОДГОТОВКА К ГОДОВОЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО ГЕОМЕТРИИ 8 класс
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (8 класс) по теме

ПОДГОТОВКА К ГИА, Задачи по геометрии за курс 8 класса

1. Найти сумму углов шестиугольника, семиугольника, одиннадцатиугольника.

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

2. Найти все углы параллелограмма, если один из них равен 132°.

3. Определить углы параллелограмма, если:

1) один из них больше другого на 70°;

2) один из них меньше другого в 11 раз;

3) сумма двух из них равна 82°.

4. Найти периметр параллелограмма, если известны две его стороны 5 м и 11 м.

5. Определить стороны параллелограмма, если:

1) его периметр равен 38 дм, а одна из сторон на 7 дм меньше другой

2) его периметр равен 60 м, а одна из сторон в 4 раза больше другой.

6. В параллелограмме BCDE диагонали пересекаются в точке М. Найти периметр треугольника ВСМ, если DE = 7 см, BD = 12 см, СЕ = 16 см.

7. Диагонали параллелограмма КМОР пересекаются в точке С. Доказать, что ΔКМС = ΔОРС.

8. В параллелограмме АCDE на сторонах АE и CD отложены равные отрезки АК и DМ . Доказать, что ΔАКС = ΔDME. 

9. В параллелограмме BDEF на сторонах BF и DE отложены равные отрезки BO и ND. Доказать, что четырёхугольник ONEF также является параллелограммом.

10. Диагонали параллелограмма продолжены за вершины на одинаковую длину. Полученные точки последовательно соединены. Доказать, что образовавшийся четырёхугольник является параллелограммом.

11. В параллелограмме АBCD биссектриса угла В пересекает сторону АD в точке М, а биссектриса угла D пересекает сторону ВС в точке К. Доказать, что ВМDК параллелограмм.

 12. В параллелограмме АBCD биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке М. Найдите периметр параллелограмма, если  АВ= 4,6см и МС= 3,8.

13. На диагонали МК параллелограмма MNKO отложены равные отрезки МА и КВ. доказать, что ΔМАN = ΔКBO.

14. В параллелограмме АВСД точки М, Р, К, Е- являются серединами сторон параллелограмма. Определите вид четырехугольника МРКЕ,

ТЕОРЕМА ФАЛЕСА.

15. Прямые AM, BN, и СО параллельны и DM = MN = NO. Найти длину отрезка DC, если АВ = 12.

16. Начертить произвольный отрезок АВ. Разделить его на 5 равных частей.

17. Начертить отрезок а. Построить отрезок .

ТРАПЕЦИЯ,

18. Дана трапеция МРОК  с основаниями МК и ОР. Найти:

1) все углы трапеции, если  К = 81°, Р = 110°;

2) ОРК и РОМ, если КМО = 54°, МКР = 38°;

3) углы треугольника МКN (где N - точка пересечения диагоналей трапеции), если углы ОКР и РОМ соответственно равны 36° и 54°.  

19. Дана трапеция МРОК  с основаниями МК и ОР. Найти:

             1) среднюю линию трапеции АВ, если МК= 12см, ОР= 8см.

             2) основание МК, если средняя линия АВ=10см, основание ОР=14см.

              3) основания трапеции МК и ОР, если МК в 5 раз больше ОР и средняя линия  АВ=33см.

              4) основания трапеции МК и ОР, если МК:ОР=4:9 и средняя линия  АВ=26см.

20. Трапеция CDEF - равнобокая, CF и DE - её основания.

1) Найти все углы трапеции, если Е = α.

2) Доказать, что ΔFCE = ΔCDF.

3) Найти углы треугольника FCE, если известно, что DEC = 60°.

21. Дано: KMNO - трапеция, (см. рис.).

1) Определить вид четырёхугольника KMNA.

2) Доказать, что К = NAO = MNA.

3) Найти углы треугольника ANO и четырёхугольника KMNA, если О = 68°, OAN = 58°.

4) Доказать, что если трапеция равнобокая, то ΔONA - равнобедренный с основанием ОА.

22. Меньшее основание равнобокой трапеции равно боковой стороне и в 2 раза меньше другого основания. Найти углы трапеции.

23. Доказать, что диагонали равнобокой трапеции равны.

24. По данным рисунка определите среднюю                   В             12см        С                          

линию трапеции

                                                                                                 4см

                                                                                      45

                                                                                 А            К                                               Д

25.По данным рисунка определите периметр         В               8см                        С

  равнобокой трапеции.

                                                                                                                             6см

                                                                     А     4см                                          К             30      Д                    

                                                                                     р

26. В равнобокой трапеции DEFC  на большее основание DC опущены перпендикуляры ЕА и FB.

1) Доказать, что ΔDEA = ΔFCB.

2) Чему равны отрезки DA и CB, если EF = 8 см; CD =  30 см.

ПРЯМОУГОЛЬНИК.                                              

27. В прямоугольнике АBCD проведена диагональ АC. Найти острые углы треугольника АBC, если один из них больше другого в 5 раз.              

28. В прямоугольнике BCDЕ диагонали пересекаются в точке О. Найти отрезки ОD и ОВ, если диагональ ВD равна 17 см.

29. Диагонали прямоугольника CDЕF пересекаются в точке N. Доказать, что

1) ΔDNE –равнобедренный;

2) если точка О является серединой стороны EF, то .

30. Точка пересечения диагоналей прямоугольника соединена с серединами двух соседних сторон. Определить:

1) вид отсекаемого четырёхугольника;

2) периметр отсекаемого четырёхугольника, если периметр данного прямоугольника равен 52 см.

31. В прямоугольнике АBCD биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке М.

1) Доказать, что ΔADM - равнобедренный.

2) Найти периметр прямоугольника, если сторона АВ оказалась разбита на отрезки длиной 3 см и 5 см. Сколько решений имеет задача?

32. В прямоугольнике DEFK биссектриса угла D пересекает сторону EF в точке С, причём отрезок CF в 2 раза больше отрезка ЕС. Найти стороны прямоугольника, если периметр равен 32 см.

33. Дан прямоугольник MNCK (см. рис.).

1) Найти углы треугольника  MNB,  если А = β.

2) Доказать, что ΔAMК = ΔMBN, если точка М - середина стороны АВ.

3) Найти стороны и диагонали прямоугольника MNCK, если М - середина стороны АВ,                 АС = 12 м, АВ = 13 м, ВС = 5 м.

34.По данным рисунка определите            В                                     С                    

периметр прямоугольника.

        8см

                                                                     45

        А                                     Д

35. По данным рисунка определите            В                                             С                    

периметр треугольника СДО.

                О

        АД=12 см, АВ= 8см

                         60

                                                                       А        Д

КВАДРАТ.

36.В квадрате АВСД сторона равна 4,5см. Определите периметр квадрата.

37. Площадь квадрата равна: а) 49кв.см;    в)78 кв.см.

38. В квадрате АВСД точка О- пересечение диагоналей. Определите углы треугольника АОВ.

39. В квадрате АВСД точки М,Р,К,Е- середины сторон квадрата. Определите вид четырехугольника

      МРКЕ.

40. В квадрате проведены диагонали.

1) Доказать, что они разбивают квадрат на четыре равных равнобедренных треугольника.

2) Найти углы этих треугольников.

41. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат, причём две его вершины лежат на гипотенузе и две - на катетах. Доказать, что гипотенуза в три раза больше стороны квадрата.

42. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О, из которой опущен перпендикуляр ОК на сторону ВС. Определить вид четырёхугольника АВКО и найти его углы

  РОМБ.                                                                                                                                                              

43. Найти периметр ромба, если его сторона равна 11 см .

44. Найти стороны ромба, если его периметр равен 30 см.

45. Найти все углы ромба, если они относятся как 1:3.

46. В ромбе CDEF проведена диагональ DF. Определить углы треугольника  CDF, если СFЕ = 42°.

47. В ромбе проведены диагонали.

1)Доказать, что они разбивают ромб на четыре равных треугольника.

2) Найти боковые стороны этих треугольников, если диагонали равны12 см и 18 см.

3) Найдите сторону ромба, если диагонали равны 24см и 10 см.

4) Найти углы этих треугольников, если один из углов ромба равен α.

5) . В ромбе АВСД проведены диагонали АС и ВД, О -точка пересечения диагоналей, < В=        142°. Найдите углы треугольника АОД.

48. Доказать, что одна из диагоналей ромба равна его стороне, если один из углов ромба равен 120°.

49. Диагонали ромба BCDE пересекаются в точке М, отрезок МК - перпендикуляр к стороне CD. Найти углы треугольника СМК, если СВЕ = 82°

.

Симметрия.

50. Начертить треугольник АВС. Построить симметричный ему треугольник

1) относительно вершины С;        в        

2) относительно стороны АС.

3)ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ В.

        А        с

Окружность. Вписанные углы.

51.        

               м        <КМД= 78°. Найдите градусную меру дуги АВ.

    К                      д        М

 52. Градусная мера дуги МР=128°.

        Определите < МОР.                                   О

        Р        Р

54.               АВ- диаметр окружности. Определите угол АРВ.

     А                        В

          А

55.Определие градусные меры дуг окружности,        В

    Если  дуги относятся как АВ:ВС:АС = 6:4:8                                                  

        С

56. В окружности с центром О проведены диаметры MK и NP.

1) Доказать, что MNKP - прямоугольник.

2) Найти углы треугольника MKP, если МOР = 140°

57.                       В        АС и ВС касательные к окружности (А и С- точки касания),

        <С= 60°, радиус окружности равен 6 см. Найдите  

        расстояние от центра окружности до точки С.

        60°        С

      А            

58. В окружности с центром О проведены два взаимно перпендикулярных радиуса ОА и ОВ. Касательные, проходящие через точки А и В, пересекаются в точке С. Найти периметр четырёхугольника ОАСВ, если радиус окружности равен 23 см.

59. В окружности проведены два взаимно перпендикулярных диаметра АС и BD. Определить вид четырёхугольника ABCD.

60. В окружности проведены диаметры АB и СD. Доказать, что АBCD параллелограмм.

61.                  А

        О        АВ- диаметр, О- центр окружности, <ОСА=70°. Найдите <ВОС.

        С

           В

62. В прямоугольном треугольнике АВС  <С=90°, а катеты равны 6см и 8см. Найдите расстояние от середины гипотенузы до вершины С.

63.       А                        

                                 К        <ДАС= 76°. Найдите <ДКС.

         Д                   С         А

64. Где находится центр вписанной окружности?

       А и М точки касания, радиус равен 12см.  О

       Расстояние от вершины О до центра окружности

       13см. Найдите  длину ОМ.        

        М

65. Около треугольника АВС описана окружность, разделенная вершинами треугольника на части пропорциональные числам 5 : 7 : 6. Определите углы треугольника.

66. Две хорды окружности АВ и СД пересекаются в точке О, АО=12см, ОС=4см, СО=8см. Найдите длину отрезка ОД.

67.<АСВ на 28° меньше <АОВ. Найдите сумму углов АОВ и АСВ,        С

         Если О- центр окружности.        

68.МР- диаметр, О_ центр окружности, ОМ=ОК=МК          А         В

                                             Р

        Найдите <РКО.

                     М                      К

69. <АВС- вписанный , угол АОС- центральный

      <АОС=126°. Найдите <АВС.

                                                                                                               А                       С

70.КД и МС хорды одной окружности, причем Е- точка их

пересечения. Найдите <СДЕ, если <ДЕМ в 4 раза больше <ДЕС        В

а <СМК на 26° больше <ДЕС.

71. Дано: КВ =12см, КС=30см, периметр треугольника АКВ равен 28см.   В

      Найдите периметр треугольника  СКД, если К- пересечение

      АС и ВД.        С

        А

        Д

72. Дано: КМ и СД- хорды, Е- точка их пересечения, СЕ=6см, ЕД=8см, КЕ на 8см меньше ЕМ.

       Найдите КМ.

73. Дано: АВ=26см, АС=4см, АЕ=16см.        А

      Найдите ДЕ.         С        

        Д                        В

   74.                                                                                                                     Е    

        В

       А        АВ- касательная к окружности, АВ=6дм, СД=5дм

Д

        Найдите АД.

                                     С

МНОГОУГОЛЬНИКИ

75. Найти сумму углов шестиугольника, семиугольника, одиннадцатиугольника.

76.Один из внутренних углов правильного n-угольника равен 150°. Найдите число сторон многоугольника.

77. Величины углов выпуклого пятиугольника пропорциональны числам 2:3:4:5:6. Найдите величину большего из углов.

78.Периметр равностороннего треугольника равен 6    3.  Найдите радиус описанной окружности.

79.Около квадрата описана окружность, и в квадрат вписана окружность. Найдите радиус вписанной окружности, если радиус описанной окружности равен 10    2.

80. Внешний угол правильного многоугольника меньше внутреннего на 140°. Найдите сумму углов данного многоугольника.

81.Меньшая диагональ правильного шестиугольника равна 5      3 см. Найдите периметр шестиугольника.

82. В некотором многоугольнике можно провести 20 диагоналей. Найдите число сторон этого многоугольника.

ПЛОЩАДИ ФИГУР.

83.Найдите площадь треугольника:      б)

А)        в)

                                                                  7,2

4                                                           3

  8                                                                      5            30°

        7,2

        14

 13

  г)        д)Угол при основании равнобедренного треугольника

                         15        равен 30°, а площадь 9     3    . Найдите боковую сторону

        треугольника.

        е) Стороны треугольника равны 8см, 6см, 4см. Найдите

                               меньшую высоту треугольника.

 84. Найдите площадь параллелограмма:

        В                        С

               А)                                                 б)  Р                          Е        в)К                         С

                                             Н        АС= 5,6

 5,2        8        КМ=4

        <ДОМ=120°

А        Д        О- пересечение

        ВН= 5        М        1,4         К           Д                        М        диагоналей.

                <Е=45°

  85. Найдите площадь ромба:

            А) В    В                         С        б) Д                         К                   М                        Н  ДН=4,8

                      МЕ= 4

  5                                            6

                                                                                      Е                      

А      Н             Д                    Р     <К=60°                                Д                      Е

        ВН=4,2        

   86. Найдите площадь трапеции АВСД, где АД || ВС. <А=30°, АВ=10, АД=18, ВС=6.

    87. Найдите площадь квадрата:

              1.   А                         В      2. М                      Р                    3.                      

        КР=2,4                                      Площадь квадрата                

        равна 6. Найдите

        сторону квадрата.

        С        2,3                                       В                                    

        Д        4,2        С          К        В

                 88.Сторона ромба 20см, а одна из диагоналей 24см. Найдите площадь ромба.

                 89.В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне.

                      Найдите  площадь трапеции, если большее основание равно 16     3, а один из углов    

                        трапеции равен 60°.

                    90.Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°, а основание 14   3 см.       Найдите              

        площадь треугольника.

                    91.Площадь прямоугольного равнобедренного треугольника 16. Найдите гипотенузу этого

                         треугольника.

                     92.Площадь равностороннего треугольника равна 24    3 . Найдите сторону этого треугольника.

 ТЕОРЕМА ПИФАГОРА.

  93. Найдите неизвестные стороны треугольника:

        1.        2.        3.   В        <А=60°                   4.   А           <В=45°

        АВ=18          АВ=2   2

           4                                            5        17

             С         А                      С                      В     В                  

                3

94.Стороны прямоугольника относятся как 2 : 3, диагональ прямоугольника равна     13. Найдите стороны прямоугольника.

95.Сторона равностороннего треугольника равна 18     3    . Найдите биссектрису этого треугольника.

96. Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС равна 2    22, а катет ВС=6. Найдите длину медианы ВК.

97. В Δ СДЕ  СД=15, ДЕ=13, СЕ=14. Найдите высоту ДМ.

98. Дано:ΔАВС,<С=90°, АВ      СД ,        А        Д

     АС=15,       АД=9, СВ=   52

     Найти АВ.

               С                                          В

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА И ТРАПЕЦИИ.

99. Определите среднюю линию мк :        15см

   М                  К        М                                    К

        34см                                                                    23см

100.Средняя линия треугольника на 3,6 меньше основания треугольника. Найдите сумму средней линии треугольника и основания.

        В                       С

101. В трапеции АВСД АД=23, ВС =18,

     МК- средняя .        М          Е           Р            К

     Найдите ЕР.

        А                                                     Д

102.        К                            Е

  А                                   В        Дано: МКЕР- трапеция,  АК=АС=СО=МО,

                                                    АВ||СД||ОН||МР, МР=18, КЕ=12

          С                                              Д        Найдите АВ и ОН.

                                                               Н

        О

    М                                                              Р