Конспект урока геометрии в 10 классе по теме "Правильные многогранники"
план-конспект урока по геометрии (10 класс) по теме

I

Организационный момент.

Постановка цели урока.

1 минута

II

Актуализация знаний.

4 минут

III

Изучение нового материала.

20 минут

IV

Работа по теме урока.

15 минут

V

Итог урока.

3 минуты

VI

Домашнее задание.

2 минута

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность учеников

I.Организа

ционный момент.

Постановка цели урока.

Английская королева, прочитав книгу Льюиса Кэрролла «Алиса в стране чудес», велела приобрести для неё все произведения этого автора. Каково же было удивление королевы, когда она обнаружила, что это труды по высшей математике. Льюису Кэрроллу принадлежит высказывание, которое мы возьмём эпиграфом к нашему уроку:

«Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.»

Тема сегодняшнего урока «Правильные многогранники».

Записывают тему урока.

II. Актуализация знаний.

С понятием многогранника вы уже знакомы. Дайте, пожалуйста, определение многогранника.

Приведите примеры многогранников.

Какие многогранники называются выпуклыми?

Напомню, что в выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360˚.

Поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело, называется многогранной поверхностью или многогранником.

Тетраэдр, параллелепипед, октаэдр, призма, пирамида.

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

III. Изучение нового материала.

Словосочетания «правильная пирамида» и «правильная призма» мы уже использовали. Запишем определение правильного многогранника:

«Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники,  и в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер».

Вторая часть определения очень важна. Если посчитать число рёбер, сходящихся в одной вершине данного многогранника (демонстрируется модель многогранника, полученного из двух тетраэдров), то мы увидим, что в некоторых вершинах сходятся три, а в некоторых – четыре ребра. Вторая часть определения не выполняется. Многогранник не является правильным.

Оказывается, что существует всего пять видов правильных многогранников. Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при n ≥ 6.

Чему равен угол правильного шестиугольника?

Угол правильного шестиугольника равен 120˚.

При каждой вершине многогранника должно быть не менее трёх плоских углов. Тогда сумма плоских углов такого многогранника будет или равна,  или больше 360˚. А мы знаем, что в выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360˚.

Поэтому каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трёх, четырёх или пяти треугольников, либо трёх четырёхугольников (квадратов), либо трёх правильных пятиугольников. Других возможностей нет.

В соответствии с этим получаем следующие правильные многогранники.

Правильный тетраэдр.

Правильный тетраэдр составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Чему равен угол правильного треугольника? Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180˚.

Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет три оси симметрии и шесть плоскостей симметрии.

Правильный октаэдр.

Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников.

Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240˚.

Октаэдр имеет центр симметрии – центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Правильный икосаэдр.

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников.

Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300˚.

Икосаэдр имеет центр симметрии – центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Правильный гексаэдр.

Правильный гексаэдр (куб) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов.

Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270˚.

Куб имеет центр симметрии – центр куба, девять осей симметрии и девять плоскостей симметрии.

Правильный додекаэдр.

Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников.

Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников.

Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324˚.

Додекаэдр имеет центр симметрии – центр додекаэдра, пятнадцать осей симметрии и пятнадцать плоскостей симметрии.

Сформулируйте теорему Эйлера.

Давайте проверим, справедлива ли формула Эйлера для всех рассмотренных многогранников.

Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.

Названия многогранников пришли из Древней Греции и указывают на количество граней.

«эдра» - грань

«тетра» - 4

«гекса» - 6

«окта» - 8

«икоса» - 20

«додека» - 12

Правильные многогранники занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном. Поэтому часто их называют платоновыми телами.

Правильные многогранники были любимым предметом изучения великого немецкого астронома, который жил намного позднее Платона – Иоганна Кеплера (1530 – 1630 г.г.).

Идеи Кеплера оказались ошибочными. Но без гипотез не может существовать наука.

Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира нашли продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х годов XX высказали советские учёные Макаров и Морозов.

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли скульпторы, художники, архитекторы. Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил Иисуса Христа со своими учениками на фоне прозрачного додекаэдра.

А существуют ли правильные многогранники в природе? Правильные многогранники – выгодные фигуры, и природа этим широко пользуется.

Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр.

Кристаллы поваренной соли имеют форму куба. 

При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.

Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана ( FeS ). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.

В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий ( Na 5 ( SbO 4 ( SO 4 )) – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.

Икосаэдр передаёт форму кристаллов бора (В) . В своё время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

Благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.

Записывают определение правильного многогранника.

α = (180˚ (n – 2)) / n

α = (180˚ (6 – 2)) / 6 = 120˚

Угол правильного треугольника равен 60˚.

В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин больше числа рёбер на 2.

Учащиеся делают вывод: «Формула Эйлера верна для всех правильных многогранников».

Делают записи в тетради.

Сообщение учащегося «Платоновы тела».

Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации. Правильных многогранников Платон знал пять, а «стихий» – четыре (огонь, воздух, вода и земля). Платон считал, что атомы земли имеют форму куба. Тетраэдр олицетворял огонь. Октаэдр – воздух. Атомы воды являются икосаэдрами. А додекаэдр, оставшийся как бы не у дел, воплощал в себе «всё сущее», символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Сообщение учащегося

«Кубок Кеплера».

На то время было известно только шесть планет Солнечной системы - Меркурий, Венера, Земля , Марс, Юпитер, Сатурн. Кеплер предположил, что пять правильных многогранников выступают связующими звеньями между шестью небесными телами. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб. В него вписывается сфера орбиты Юпитера. В сферу орбиты Юпитера вписывается тетраэдр, в который вписана сфера орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписан додекаэдр. А в него, в свою очередь, вписана сфера орбиты Земли. Сфера орбиты Земли описана вокруг икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. В сферу орбиты Венеры вписан октаэдр. В него вписана сфера орбиты Меркурия. Данная модель Солнечной системы носит название «Космический кубок» Кеплера. Ученый уточнял свои наблюдения и в конце концов нашёл в себе силы отказаться от этой красивой гипотезы.

Сообщение учащегося «Икосаэдро – додекаэдровая структура Земли».Учёные Макаров и Морозов считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.

V. Работа по теме урока.

№280.

Двое учащихся у доски.

VI. Итог урока.

1.С какими новыми геометрическими телами вы сегодня познакомились?

2.Сколько видов правильных многогранников существует?

3.Назовите их.

На следующем уроке вы должны уметь охарактеризовать каждый из этих многогранников и доказать, что их существует только пять.

Выставляются оценки за урок.

Познакомились с правильными многогранниками.

Всего существует пять видов правильных многогранников.

Тетраэдр, октаэдр, гексаэдр, икосаэдр, додекаэдр.

VI. Домашнее задание.

Пп. 36,37, №271, №273, №274, №275, дополнительно №279.

Записывают домашнее задание.