Замечательные линии треугольника и подобие.
элективный курс по геометрии (9 класс) по теме

Замечательные линии треугольника и подобие

Занятие 1:

Сегодня мы поговорим о замечательных линиях треугольника, о том, как они связаны с подобием фигур. При этом ударение будем делать не на том или ином свойстве конкретной линии, а скорее речь пойдет о том, что в этих линиях общего и в чем они себя ведут по-разному.

Как вы знаете, замечательными линиями в треугольнике принято называть биссектрисы, медианы и высоты. Они все -представители гораздо более широкого семейства отрезков. Это семейство троек отрезков, которые выходят из 3-х вершин треугольника и пересекаются в некоторой точке внутри него. Иногда их называют чевианами по имени итальянского математика 17 века Чевы. Он - автор красивой теоремы, описывающей поведение этих отрезков, и о ней пойдет подробный разговор на следующих занятиях.

Сначала немного о терминах: очень часто мы будем говорить о точках пересечения чевиан, поэтому напомним - если вы забыли - их короткие названия:

1 Высоты пересекаются в ортоцентре треугольника, который не всегда лежит внутри треугольника. Для простоты мы будем говорить, как правило, про остроугольный треугольник, а для него - это внутренняя точка.

2 Медианы пересекаются - как часто говорят - в центре тяжести треугольника, но есть совсем короткое название у этой точки - центроид.

3 Наконец, точка пересечения биссектрис - это, конечно, центр вписанной окружности и тоже есть совсем короткое название -инцентр.

Очень много подобных треугольников образуется при проведении высот, поэтому с них и начнем наше рассмотрение:

Рисунок 1.

Если в треугольнике АВС провести высоты AD и BE, то - нетрудно видеть — образуются два подобных прямоугольных треугольника;

ΔАОЕ ~ ΔBOD (у них - общий вертикальный угол).

Что полезного можно извлечь из этого подобия?

Запишем пропорциональность сторон:

АО : ВО = ОЕ : OD = АЕ : BD        ( 1 )

По свойству пропорции можно записать:

АО • OD = ВО • ОЕ

Вот в чем дело, оказывается ортоцентр делит высоты так, что произведение получающихся отрезков одинаково для всех высот (у нас их пока только две, но, понятно, что и для 3-ей высоты будет то же самое).

Здесь, естественно, вспомнить про медианы. Их поведение - в этом плане - совершенно другое, так как медианы всегда делятся своим центроидом в одном и том же жестком отношении 1:2. Поэтому, например, центроид не может быть близко от стороны треугольника.

<вопрос №1 на дом>

Попробуйте показать, что центроид удален от стороны треугольника на расстояние, равное 1/3 соответствующей высоты.

А вот ортоцентр может быть сколь угодно близок к стороне, возьмите, например, очень высокий, узкий треугольник с маленьким основанием. Должна вам сказать, что при рассмотрении такого рода вопросов - я бы назвала их экстремальными - очень часто прибегают к этому треугольнику или - наоборот - к очень низкому, тупоугольному треугольнику. Общего в них - близость к вырожденному треугольнику, и, нередко, всякие экстремальные понятия на них видны гораздо  четче.

Кстати, мы говорим о подобии, а какой здесь коэффициент подобия? Вообще-то, он у нас уже написан в соотношении (1) и из 3-х дробей лучше всего взять ту, которую мы еще не брали:

АЕ : BD = (с cos А) : (с cos В) = cos A : cos В.

Mы довольно долго говорим про отрезки высот, а ведь  их длин пока не знаем. Как их найти? Придется обратиться к тригонометрии:

ОЕ = АЕ • tg (DAC) = с • cos А • tg (п/2 - С) = с • cos A ctgC.

Можно записать формулу для ОЕ, поменяв местами элементы треугольника:

ОЕ = а  • cos С • ctg A.

Итак, получается что, если в треугольнике провести 3 высоты, то образуются 3 пары подобных треугольников.

Рисунок 2

Кстати, а подобие имеет место только внутри своей пары или, может быть, и все 6 треугольников подобны? Ответ отрицательный, и обосновать его можно, рассмотрев углы треугольников - они разные для разных треугольников, а такие треугольники не являются подобными.

ПОДОБИЕ ВТОРОЕ

Опять проводим две высоты в треугольнике АВС.

Рисунок 3 Имеем:

ΔADC~ ΔВЕС,  (общий угол С).

А что интересного в этом подобии? Записываем отношение сторон:

AD : BE = АС : ВС = DC : ЕС.

• Первое равенство хорошо известно: высоты в треугольнике относятся "как стороны", но только наоборот. Обычно говорят: относятся обратно пропорционально сторонам (тем, к которым проведены). Правда, чаще его получают из самой ходовой формулы для площади треугольника (половина произведения высоты на сторону).
• Второе равенство - отношение проекций сторон - тоже не слишком любопытно, так как без труда получается из тригонометрических соображений.
• И коэффициент подобия здесь очевиден - это просто отношение двух сторон треугольника.

Значит, в итоге, если в треугольнике провести 3 высоты, то образуется 3 пары подобных треугольников.

Рисунок 4

Как и в предыдущем случае, подобие есть только внутри своей пары. И, кроме того, подумайте над такой задачей на построение:

<вопрос №2 на дом> Как построить треугольник по 3-м его высотам ?

Если вы решили, что высоты не дают более подобных треугольников, то это не так. Осталось еще одно, последнее подобие, и оно, в отличии от двух предыдущих, - не слишком очевидное.

ПОДОБИЕ ТРЕТЬЕ

Проводим две высоты АЕ и CD и соединяем их основания.

Рисунок 5    ΔBDE ~ ΔАВС

Почему это подобие не заметно? Мы привыкли получать подобные треугольники,  например,  пересекая  некий  угол параллельными прямыми, и такие подобия действительно заметны на глаз. Здесь же DE не параллельна основанию, и равные углы- это
ВАС =BED,     ВСА =BDE

Другими словами, треугольник BDE лежит "неправильно", а вот если бы его положить тыльной стороной кверху, то тогда бы и подобие его стало заметным.

Хорошо, ну, а почему равны указанные углы? Вообще-то, их равенство не следует из каких-либо уж совсем элементарных соображений, а может быть получено, например, так. Если на основании АС как на диаметре построить окружность, то она пройдет и через точку D, и через точку Е. (Почему? Вопрос №3).

Значит, четырехугольник ADEC - описанный; у такого четырехугольника суммы противоположных углов равны 180°, например:

DAC + DEC = 180°,

но тогда смежный с углом DEC угол DEB просто равен углу DAC.

Это не единственный путь доказать равенство углов и из него - подобие. Можно идти в другом порядке, скажем так, отношение сторон, заключающих угол В в обоих треугольниках, одинаково (об этом мы собственно говорили, когда обсуждали предыдущее подобие). Значит, треугольники подобны, и отсюда следует равенство углов. Чему здесь равен коэффициент подобия?

к = BD : ВС = (а • cos В) : а = cos В

Какие интересные метрические соотношения можно получить из этого подобия? Поскольку проекции сторон нас не слишком интересуют, то единственное полезное - и, кстати, совсем неплохое - соотношение  DE : AC = cos В.

Так что, оказывается, посчитать расстояние между основаниями высот в треугольнике - дело не очень хлопотное.

Что у нас в итоге:

Если в треугольнике провести 3 высоты и соединить их основания отрезками, то образуются 3 треугольника, подобных исходному (и, стало быть, подобные и между собой).

Рисунок 6

ΔBDE ~ ΔBAC;   ΔECF ~ΔBAC;   ΔDAF ~ ΔBAC

Внутри исходного треугольника при этом образовался малый треугольник (его называют ортотреугольником). Не будет ли и он подобен исходному треугольнику? Ответ отрицательный, потому что нетрудно посчитать углы этого треугольника, они равны

180-2 • А, 180-2 • В, 180-2 • С

- что не совпадает с углами исходного треугольника. Кроме того, подсчитывая углы внутреннего треугольника, трудно не заметить,   что   высоты   исходного  треугольника   являются биссектрисами во внутреннем треугольнике. Этот факт насчитывает по крайней мере два полезных приложения:

1. если считать известным, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то мы получаем еще одно доказательство теоремы о том, что высоты также пересекаются в одной точке (конечно, вряд ли такое доказательство можно назвать простым, но эффектным - безусловно);

2. а что касается эффектности, я ранее предлагала вам построить треугольник по 3-м высотам, а есть не менее эффектная задача:

<вопрос №4 на дом>

Как построить треугольник, если известны основания 3-х его высот?

С помощью коэффициентов подобия нетрудно сосчитать какую часть     площади всего треугольника составляет площадь ортотреугольника. Если через S обозначить площадь основного треугольника, то площади 3-х малых треугольников составят

S • cos2A,   S • cos2B,    S • cos2C,

следовательно, отношение площадей ортотреугольника и основного треугольника равно

1 - cos2A – cos2В– cos2С.

Если вы увидите эту задачу в каком-либо сборнике, то, скорее всего, ответ будет выглядеть иначе:

2 • cos A • cos В • cos С.

<вопрос №5 на дом>

Докажите, что для углов А, В, С произвольного треугольника

1 – cos2A – cos2B – cos2C = 2 • cos A • cos В • cos С

Этот пример - одно из многих тождеств для углов треугольника и пример любопытный. Кажется, ну что там особенного можно придумать про 3 угла треугольника. Наверно, достаточно заменить угол С через А и В:  С=180°-А-В и все должно получиться. Это действительно так, но не сразу - тригонометрические функции любят показывать свою многоликость, и в этом примере как раз такой случай.

Мы завершаем рассмотрение высот, давайте еще раз вспомним основные результаты:

1. ортоцентр делит высоты треугольника так, что произведение отрезков высот для всех 3-х высот одинаково;

2. мы умеем считать эти отрезки;

3. мы умеем считать расстояние между основаниями высот;

4. мы узнали еще одно доказательство того, что высоты пересекаются в одной точке;

Занятие 2:

2.1. Медианы треугольника

2.2. Биссектрисы треугольника

Переходим к рассмотрению медиан.

ПОДОБИЕ 1:

Если в треугольнике АВС провести медианы АЕ и CD и соединить их основания отрезком, то получим два подобных треугольника

Рисунок 7

Это подобие очень простое и хорошо известное, коэффициент подобия здесь равен 2.

Значит, если провести 3 медианы и соединить их основания (другими словами провести средние линии), то образуются 3 пары подобных треугольников. Все треугольники подобны исходному, следовательно, подобны и между собой; а раз коэффициент подобия во всех трех случаях один и тот же (вот отличие от высот!), то они просто равны. Заметим, что и внутренний треугольник совпадает с ними.

ПОДОБИЕ 2:

Повторяя выполненные в предыдущем пункте построения, можем заметить еще одну пару подобных треугольников:

Δ АОС ~  Δ ODE.

Это тоже хорошо известное подобие с коэффициентом 2. Оно дает отношение, в котором медианы делятся при пересечении, что, в свою очередь, нередко используют для доказательства существования единственной общей точки пересечения медиан.

Таким образом, если в треугольнике провести 3 медианы, то образуются три пары подобных треугольников.

Рисунок 8

Мы знаем, что можно построить треугольник, зная его высоты или только лишь три точки оснований высот.

<вопрос №6 на дом>  А можно ли построить треугольник, зная:

а) его медианы или, соответственно,

б) середины трех его сторон?

Задача определения площади треугольника, образованного основаниями медиан - то есть средними линиями - слишком проста.

Эта площадь всегда   составляет 1/4 площади основного треугольника, что неплохо видно из чертежа, и не зависит от треугольника.

Переходим к рассмотрению биссектрис.

Известно, что биссектриса - довольно капризный отрезок. Этот тезис нередко иллюстрируют простой - на вид - задачей:

Будет ли равнобедренным треугольник, у которого

1. равны две высоты?

2. равны две медианы?

3. равны две биссектрисы?

Во всех случаях ответ положительный. Решение не составит труда для высоты и медианы, но совсем не для биссектрисы. Небезынтересно узнать, что поиски относительно короткого решения этой задачи (она носит название теорема Штейнера - Лемуса), начавшись в 1840 году, продолжались более века! ([3],стр. 24).

Можно проверить, что для биссектрис не имеет место ни одно из рассмотренных выше подобий. Убедиться в этом не очень сложно, поскольку у капризной биссектрисы есть - все-таки есть! - и хорошее свойство: делить основание в отношении длин сторон, из которых она выходит. Правда одно подобие здесь все-таки можно встретить - оно используется, например, для нахождения длины биссектрисы. Квадрат длины биссектрисы равен разности между произведением сторон, из которых проведена биссектриса, и произведением отрезков основания. Давайте вспомним, как это доказывается:

Рисунок 9

ΔABE ~ΔBDC AB/BD=BE/BC

AB•BC=BD•BE=BD•(BD+DE)=BD2+AD•DC

BD2 = AB•BC – AD•DC

Как и ранее посмотрим, что за площадь у треугольника, образованного основаниями биссектрис. Поначалу неясно, как посчитать его площадь, если мы знаем, что подобий здесь нет. Однако есть формула для площади треугольника: половина произведения сторон на синус угла между ними. Следовательно, отношения площадей треугольников с общим углом посчитать нетрудно, если знать отношения сторон - а это как раз для биссектрисы не проблема. Так что общий подход - из всей площади вычесть площади трех малых треугольников.

вопрос №7 на дом>

Докажите, что площадь треугольника, образованного основаниями биссектрис, относится к площади всего треугольника как 2 abc  / ((а+b) • (b+c) • (а+с)).

Мы завершаем рассмотрение биссектрис, на этот раз наши результаты довольно скромные - биссектрисы делятся точкой пересечения в отношении, определяемом сторонами треугольника и - зная всю длину биссектрисы - их нетрудно сосчитать.

Несколько слов о задачах на построение: как говорилось ранее треугольник можно построить и по трем высотам, и по трем медианам, и, соответственно, по точкам оснований и тех, и других. А что с биссектрисами? Полистайте любой сборник олимпиадных или конкурсных задач и вы нигде не встретите задачу: Построить треугольник по 3 биссектрисам. Как вы думаете, почему? Оказывается, такая задача не имеет - как говорят - элементарного решения, то есть решения, выполнимого циркулем и линейкой без делений. Доказательство этого утверждения не просто ([4],стр. 36), а суть его такая: циркулем и линейкой можно построить не всякий отрезок (при заданной единице длины), например, корень определенного уравнения часто бывает построить невозможно.

3. Ответы на вопросы.

вопрос I

ΔДВH~ΔDOE, с коэффициентом подобия BD/OD = 3,

ОЕ == 1/3 ВН

вопрос 2 Построение отрезка х = 1/hA:

Стороны    треугольника    относятся    обратно пропорционально высотам. Следовательно, треугольник, построенный из отрезков

1/hA  1/hB  1/hC

будет подобен данному.

вопрос 3

Это прямые углы и, следовательно, их вершины лежат на окружности.

вопрос 4

Надо соединить основания высот, в получившемся треугольнике провести биссектрисы. Через каждую вершину проводим   прямую,   перпендикулярную   биссектрисе выходящей из этой вершины.

вопрос 5

вопрос 6 Указание:

а) продолжить медиану за сторону треугольника на 1/3 ее длины. Нетрудно заметить , что образовался

треугольник, длины сторон которого равны 2/3 медиан исходного треугольника.

б) Соединить основания медиан и через вершины треугольника    провести    прямые,    параллельные противоположным сторонам.

вопрос 7

Обозначив длины сторон треугольника а, b, с, запишем по основному свойству биссектрисы:

АД/ДС =BA/BC   и  АД+ДС==b

Это система двух уравнений с двумя неизвестными АД и ДС. Решая ее получим:

Аналогично можно найти отрезок АЕ, АЕ == bc/(a+b). Вычислим отношение площадей ААВС и AAED :

Аналогично можно написать отношения площадей двух других треугольников, получающихся при соединении оснований биссектрис. Это будут:

Чтобы посчитать окончательное отношение площадей треугольника, образованного соединением всех оснований биссектрис, и основного треугольника, достаточно вычесть 3 выписанные дроби из 1:

После упрощений получим: