Осевая и центральная симметрии
методическая разработка по геометрии (8 класс) на тему

Открытый урок (20.10.2009 г.)

Тема: «Осевая и центральная симметрия»

Цель: Познакомить учащихся с  симметрией.

Задачи: 1. Дать представление о симметрии в  окружающем мире, сформировать понятие симметрии, познакомить основными ее видами, приобрести опыт   построения симметричных фигур.

                2.Развитие математического мышления и логической речи учащихся, воображения, умения делать выводы, высказывать свои чувства и мысли; расширять кругозор учащихся, умение видеть знакомое в незнакомом.

                3. Развитие познавательной активности, интереса к предмету, творческой активности.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование: раздаточный материал, медиапроектор, презентация.

Ход урока

1 этап. Организационный. Объявление темы и целей урока.

2 этап. Изучение нового материала. 

1)  Учащимся выданы  по несколько изображений и нужно ответить на следующие вопросы:

• Что можно сказать о фигурах?
• Каким свойством обладают?
• Как получить одну фигуру из другой?

2) Понятие симметрии.

«Симметрия» - слово греческого происхождения. Оно означает соразмерность, наличие определенного порядка, закономерности в расположении частей.

Математически строгое представление о симметрии сформировалось сравнительно недавно – в XIX веке. В наиболее простой трактовке (по Г. Вейлю) современное определение симметрии выглядит примерно так: симметричным называется такое объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали.

Мы будем называть симметрией фигуры любое преобразование, переводящее фигуру в себя, т. е. обеспечивающее ее самосовмещение.

3) Определение осевой и центральной симметрии

Преобразование, переводящее каждую точку А фигуры (тела) в точку А′, симметричную ей относительно центра О, называется преобразованием центральной симметрии или просто центральной симметрией.

Точка О называется центром симметрии и является неподвижной. Других неподвижных точек это преобразование не имеет. Если при преобразовании центральной симметрии относительно центра О фигура F преобразуется в себя, то она называется симметричной относительно центра О. При этом центр О называется центром симметрии фигуры F. Примерами фигур, обладающих центром симметрии, являются параллелограмм, окружность и т. д.

Преобразование, при котором каждая точка А фигуры (или тела) преобразуется в симметричную ей относительно некоторой оси l точку А, при этом отрезок АА′ ⊥ l, называется осевой симметрией.

Если точка А лежит на оси l, то она симметрична самой себе, т. е. А совпадает с А′.

В частности, если при преобразовании симметрии относительно оси l фигура F переходит сама в себе, то она называется симметричной относительно оси l, а ось l называется ее осью симметрии.

4) Алгоритм построения.

Центральная симметрия.

Построим треугольник А 1В 1 С 1, симметричный треугольнику АВС, относительно центра (точки) О.

Для этого:

1. Соединим точки А,В,С с центром О

          и продолжим эти отрезки;

2.      Измерим отрезки АО, ВО, СО  и отложим с другой стороны от

          точки О, равные им отрезки

         (АО=А 1 О 1, ВО=В 1 О 1, СО=С 1 О 1 );

3.      Соединим получившиеся точки отрезками А 1 В 1,   А 1 С 1,        

          В 1 С 1.

4.    Получили ∆А 1 В 1 С 1 симметричный ∆АВС.

Осевая симметрия

Построим треугольник   А1В1С1, симметричный треугольнику АВС относительно прямой а.

Для этого:

1. Проведем из вершин треугольника АВС прямые, перпендикулярные прямой а и продолжим их дальше.

2. Измерим расстояния от вершин треугольника до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же расстояния.

3. Соединим получившиеся точки отрезками А1В1, В1С1, В1С1.

4. Получили  ∆ А1В1С1 симметричный ∆АВС.

5) Применение симметрии.

Учащимся выдаются карточки, на которых они должны написать в каких областях применяется или можно встретить симметрию (объяснение с примерами).

3 этап. Закрепление. (Проверка осуществляется сразу после выполнения задания)

1) Каким видом симметрии обладает каждое из предложенных изображений? (карточки с изображением)

2) Какие из букв русского алфавита имеют центр симметрии, ось симметрии:

А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ь Ы Ъ Э Ю Я?

3) На рисунке изображена часть фигуры, центром симметрии которой является точка М.

        М

4) Постройте слово, симметричное относительно         прямой.

У  Р  О  К

5) Является ли проведенная прямая осью симметрии фигуры?  Почему?

6) Найдите центр симметрии фигуры?

7) Практическая работа № 1

1 вариант.

Проведите прямую k и отметьте точки А, В и С, не лежащие на этой прямой. Выполните следующие задания:

1. Постройте точки, симметричные точкам А, В и С относительно прямой k. Обозначьте их.

2. Запишите пары точек, симметричных относительно прямой k. 

2 вариант. 

Начертите отрезок АВ и проведите прямую m, его не пересекающую. Выполните следующие задания:

1. Постройте отрезок, симметричный отрезку АВ относительно прямой m. Обозначьте его.

2. Запишите пары концов отрезка, симметричных относительно прямой m. 

3 вариант. 

Начертите ломаную ВОС и проведите прямую k, ее не пересекающую. Выполните следующие задания:

1. Постройте ломаную, симметричную ломаной ВОС относительно прямой k. Обозначьте ее.

2. Запишите пары отрезков ломаной, симметричных относительно прямой k.

4 вариант. 

Начертите треугольник АВС и проведите прямую m, его не пересекающую. Выполните следующие задания:

1. Постройте треугольник, симметричный треугольнику АВС относительно  прямой m. Обозначьте его.

2. Запишите пары сторон треугольника, симметричных относительно прямой m.

Практическая работа №2

1 вариант. 

Скопируйте рисунок в тетрадь и выполните следующие задания:

 1. Проведите оси симметрии шестиугольника АВСМЕК.

 2. Укажите сторону шестиугольника, симметричную  стороне ВС относительно  каждой его оси симметрии.

 3. Найдите центр симметрии фигуры и обозначьте  его буквой О. Укажите

 вершину шестиугольника, симметричную вершине А  относительно центра. 

2 вариант. 

Скопируйте рисунок в тетрадь и выполните следующие задания:

 1. Проведите оси симметрии шестиугольника АВСКОМ.

 2. Укажите сторону шестиугольника, симметричную  стороне ВС относительно

каждой его оси симметрии.                                

 3. Найдите центр симметрии фигуры и обозначьте  его буквой Е. Укажите

вершину шестиугольника, симметричную вершине А относительно центра.                                                                                              

3 вариант. 

Скопируйте рисунок в тетрадь и выполните следующие задания:                            

1. Проведите оси симметрии шестиугольника АВСМЕК.

2. Укажите сторону шестиугольника, симметричную  стороне АК относительно

 каждой его оси симметрии.

3. Найдите центр симметрии фигуры и обозначьте  его буквой О. Укажите

 вершину шестиугольника, симметричную вершине В относительно центра. 

4 вариант. 

Скопируйте рисунок в тетрадь и выполните следующие задания:

1. Проведите оси симметрии шестиугольника АВСКОМ.

2. Укажите сторону шестиугольника, симметричную  стороне МА относительно  

каждой его оси симметрии.

3.Найдите центр симметрии фигуры и обозначьте   его буквой Е. Укажите

 вершину шестиугольника, симметричную вершине В относительно центра.                                                

4 этап. Подведение итогов. Рефлексия.

5 этап. Домашнее задание.

Глава 5, § 3, № 421, № 420, № 423.