Задачи №26 на ГИА по математике
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс) на тему

1. Задание №361445     стр.32

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=25 и CD=16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60∘. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника

Решение:

Рис.1                                                                                       рис.2

Проведём BF║АС, тогда четырёхугольник АВСD – равнобедренная трапеция,

АВ = СF = 16.

∠DBC = ∠DKC (по свойству соответственных углов при BF║AC и секущей BD).

В вписанном четырёхугольнике DBFC  ∠DCF = 180° - ∠DBF

Из треугольника DCF по теореме косинусов имеем: DF2 = 252 + 162 +  2 ∙16 ∙25∙ 0,5.

DF2 = 1281,  DF =  =  ∙ .

Из треугольника DВF:    2R =  = 2;   R = .

Ответ: .

2. Задание №1D5624

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=5 и CD=17 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60∘. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

3. Задание №39BECF

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=39 и CD=12 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

4. Задание №2E5AC9

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=43 и CD=4 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60∘. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

5. Задание №3B4A3F

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=19, а расстояние от точки K до стороны AB равно 7.

Решение:

Решение:

По свойству биссектрис углов параллелограмма ABM и ABN равнобедренные:

 AB = BM и AB = AN, следовательно    BM = AN.

Так как    BM = AN  и BM ║AN, то четырёхугольник ABMN – параллелограмм, а так как AB = AN, то ABMN – ромб.

По свойству ромба ABК =MКВ =  AKN (по двум катетам),

тогда KP = KS = KT = 7(как высоты равных треугольников, проведённые к соответственно равным сторонам).

Отрезки KP и KS лежат на одной прямой, ST -  высота параллелограмма ABCD,

ST = SK + KT; ST = 7 + 7 =14

SABCD = AD ∙ ST; SABCD = 19 ∙ 7=133

Ответ: 133

6. Задание №C1D9F2

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=11, а расстояние от точки K до стороны AB равно 3.

7. Задание №ED1832

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=12, а расстояние от точки K до стороны AB равно 9.

8. Задание №B7B2D1

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=19, а расстояние от точки K до стороны AB равно 10.

9. Задание №3C643E

На стороне BC остроугольного треугольника ABC ( AB≠AC ) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=90, MD=69, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

Решение:

Проведем ВЕ. Так как ВС – диаметр, то ∠ВАС =90 ̊ , следовательно ВЕ – высота и

Н = ВЕ АD.

По свойству отрезков секущих  АЕ ∙АС = АМ ∙АК.

АМ = AD – MD, AM = 90 – 69 = 21

Так как хорда МК перпендикулярна диаметру ВС, то MD = DK = 69.

AK = AM + MD + DK,  AK = 21+ 69 + 69 = 159.

АЕ ∙АС = 159 ∙ 2

AEH (по двум углам: А – общий угол, углы ADC и  AEH –прямые)

 =

Ответ: 37,1

10. Задание №41D80A

На стороне BC остроугольного треугольника ABC ( AB≠AC ) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=49, MD=42, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

11. Задание №061DDF

   На стороне BC остроугольного треугольника ABC ( AB≠AC ) как на диаметре     построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=27, MD=18, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

12. Задание №AEC2F5

На стороне BC остроугольного треугольника ABC ( AB≠AC ) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=63, MD=21, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

13. Задание №3E72A7

Окружность пересекает стороны  AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP =7, а сторона BC в 1,4 раза меньше стороны AB.
Решение:

АВР и  АСК  подобны (по двум углам, А – общий угол, углы АВР и АСК – вписанные, опираются на дугу РК), значит  или

Тогда АВС и  АРК  подобны (по двум сторонам и углу между ними, так как , А – угол заключенный между пропорциональными сторонами), следовательно ;

КР = =

                                     Ответ: 5

14. Задание №57676B

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK=21, а сторона AC в 1,5 раза больше стороны BC.

15. Задание №664951

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK=9, а сторона AC в 3 раза больше стороны BC.

16. Задание №5EF865

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP=6, а сторона BC в 1,5 раза меньше стороны AB.

17. Задание №614799

Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 60, тангенс угла BAC равен . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение:

САР = ВСР, тогда tg ∠BCP =  =

Пусть BP = 4x, CP = 3x, тогда BC = 5x

RBCP =  =  = x, x = 60, значит BP = 240, CP = 180, BC = 300

tg ∠ВАС = ,  ,  ,  АС = 225

АВ =  =  =  =  =

 = 15 ∙ 25 = 375

RАВС =

    Ответ: 75

18. Задание №5AAC95

Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 96, тангенс угла BAC равен . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

19. Задание №5D7862

Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 24, тангенс угла BAC равен . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

20. Задание №702E1A

Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник ACP, равен 12 см, тангенс угла ABC равен 2,4. Найдите радиус вписанной окружности треугольника  ABC.

21. Задание №D9953A

Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=7 и MB=9. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.

Решение:

∠АВС – вписанный, ∠АВС =

∠АСD – угол между диаметром и хордой, ∠АСD = , следовательно ∠АВС = ∠АСD

∆DBC ∾∆DCA ( по двум углам; ∠D – общий, ∠DВС = ∠АСD)

= ,        (по свойству биссектрисы треугольника)

   ⇨  DA = ;        ⇨ DB =

DB = DA + AB;     =   + 16 ⇨ DC = 36,5

Ответ: 36,5

22. Задание №495A2B

Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=5 и MB=10. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.

23. Задание №763475

Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=9 и MB=12. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.

24. Задание №00ECB0

Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=10 и MB=18. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите 

25. Задание №9AD145

В треугольнике ABC известны длины сторон AB=84, AC=98, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC вточке D. 
Найдите CD.

Решение:

Пусть прямая BD, перпендикулярная прямой АО пересекает сторону АС в точке О, а окружность – в точке К. ВК ∩ АО = L.

Так как хорда ВК перпендикулярна диаметру АМ, то BL = KL и ᴗАВ = ᴗАК.

Следовательно ∠АСВ = ∠АВК (как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги), значит

∆ABD ∾ ∆ACB (по двум углам: ∠А – общий, ∠АСВ = ∠АВК).

Тогда  =           AD =  = 72

Ответ: 72

26. Задание №44E0F0

В треугольнике ABC известны длины сторон AB=40, AC=64, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC вточке D. 
Найдите CD.

27. Задание №D9818E

В треугольнике ABC известны длины сторон AB=30, AC=100, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. 
Найдите CD.

28. Задание №F5DF20

В треугольнике ABC известны длины сторон AB=12, AC=72, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. 
Найдите CD.

29. Задание №9FCAB9

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение:

Пусть ВЕ – биссектриса АВС, АD – медиана АВС, ВЕ = АD = 96, ВЕ ⏊ АD.

∆BOD = ∆BOA (BO  - общая, ∠BOD = ∠BOA = 90°, ∠OBD = ∠OBA), тогда АВ = BD = DC и AO = OD = 48

Пусть АВ = BD = DC = x

Проведем СF⏊BE. ∆AOE ∾ ∆CFE (по двум углам), значит , но  (по свойству биссектрисы треугольника), тогда  =; , CF = 96

Так как BD = DC и OD ∥ FC, то по теореме Фалеса ВО = ОF.

Пусть OE = y, EF = 2y, тогда OB = 3y, BE = 4y; ВЕ = 96,  4у = 96, у = 24, ОВ = 72

В ∆BOD: BOD = 90°, OD = 48, OB = 72, тогда BD =  =  = 8 = 24 ⇨ AB = BD = 24 ,    BC = 48

∆AOE: AO = 48, OE = 24, AOE = 90°;  AE =  = 24 ⇨ CE = 48 AC = 72.

Ответ: 24 ,  48, 72.

30. Задание №DE66FB

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 168. Найдите стороны треугольника ABC.

31. Задание №AA6582

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 16. Найдите стороны треугольника ABC.

32. Задание №56A917

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 164. Найдите стороны треугольника ABC.

33. Задание №A1A214

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 7,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение:

В ∆АВС   АН = СН = 6( по условию)

СН = СЕ = СD = 6 (по свойству отрезков, касательных к окружности).

Проведем радиусы окружностей OD и KE;  D и Е – точки касания окружностей с касательной ВС, следовательно OD ⏊ BC и  KE ⏊ BC, значит OD ∥ KE, тогда четырёхугольник KEDO – трапеция.

Пусть КН = КЕ = х. Проведем КР ∥ ЕD. В ∆ОКР имеем: КР = 12, ОК = 7,5 + х, ОР = 7,5 – х

По теореме Пифагора: ОК2 = ОР2 + КР2;  (7,5 + х)2 = (7,5 – х)2 + 122

30х = 144;  х = 4,8. Итак, R = х =4,8.

Ответ: 4,8

34. Задание №BE9101

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 9 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

35. Задание №97C3D3

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 8. Окружность радиуса 5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

36. Задание №A0DF25

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 10. Окружность радиуса 6 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

37. Задание №D22388

Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Решение:

   Проведем радиусы окружностей ОА и РС. Так как радиусы проведены в точки касания окружностей с прямой АС, то они перпендикулярны к касательной: ОА ⏊ АС и РС ⏊ АС, следовательно ОА  ∥ РС. Четырёхугольник ОАРС – трапеция. ОА = 25, РС = 100, ОР = 125. Проведем ОЕ ∥ АС. В ∆РОЕ: ∠ОЕР = 90°, РЕ = 100 – 25 = 75, ОР = 125. По теореме Пифагора

ОЕ2 = ОР2 – РЕ2, ОЕ =  =  = 100, ОЕ = АС = 100.

∆SOA ∾∆SPC (∠S – общий, ∠SAO =∠ SCP). ,  , 4 = 1 + , SA = .

, , 4 = 1 + , SO = .

Пусть ∠SOA =

∆SOA: cos =

∆SEA: cos, , SE =

∆SFC: cos,  SC = SA + AC = , SF =

EF = SF – SE =

Ответ: 80

38. Задание №5D13A1

Окружности радиусов 45 и 55 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

39. Задание №6F03BE

Окружности радиусов 42 и 84 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

40. Задание №BA161F

Окружности радиусов 4 и 60 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.