Второй и третий признаки равенства треугольников
учебно-методический материал по геометрии (7 класс) на тему

1. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

АВ = А1В1 

∠А = ∠А1   ⇒

∠В = ∠В1

2. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

АВ = А1В1 

ВС = В1С1   ⇒

АС = А1С1

Задача. Отрезки АВ и CD пересекаются в середине О отрезка АВ, ∠OAD = ∠OBC. Докажите, что ΔCBO = ΔDAO. Найдите ВС и СО, если CD = 26 см, AD = 15 см.

Дано:

АВ ∩ CD = О

О – серед. АВ

∠OAD = ∠OBC

CD = 26 см

AD = 15 см

Доказать: ΔCBO = ΔDAO

Найти: ВС, СО

Доказательство:

1) О – середина отрезка АВ ⇒ АО = ОВ (по определению середины отрезка);

2) ∠1 = ∠2 (вертикальные);

3) АО = ОВ (п. 1)

   ∠1 = ∠2 (п. 2)                      ⇒

   ∠OAD = ∠OBC (по усл.)

Решение:

4) ΔАOD = ΔCOB (п. 3) ⇒ АD = CB = 15 (см) (лежат против ∠1 = ∠2), СО = ОD = CD : 2 = 26 : 2 = 13(см) (лежат против ∠OAD = ∠OBC).

Ответ: СО = 13 см,  ВС = 15 см.

Задача. На рисунке ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4. Докажите, что ΔАВС = ΔCDA. Найдите АВ и ВС, если AD = 19 см, CD = 11 см.

Дано:

Доказать:

Найти:

Ответ:

Задача. На биссектрисе угла А взята точка D, а на сторонах этого угла – точки В и С такие, что ∠ADB = ∠ADC. Докажите, что BD = CD.

Дано: ∠A

AD – бис-са ∠A

В ∈ АВ

С ∈ АС

∠ADB = ∠ADC

Доказать: BD = CD

Доказательство:

1) AD – биссектриса ∠A ⇒ ∠BAD = ∠CAD (по определению биссектрисы угла);

2) AD – общая (по рис.)

    ∠BAD = ∠CAD (п. 1)         ⇒

    ∠ADB = ∠ADC (по усл.)

3) ΔАВD = ΔACD (п. 2) ⇒ BD = CD (лежат против ∠BAD = ∠CAD).

Задача. На рисунке ∠DBC = ∠DAC, BO = AO. Докажите, что AC = BD, ∠C = ∠D.

Дано:

Доказать:

Ответ:

Задача. В треугольниках АВС и А1В1С1 АВ = А1В1, ВС = В1С1, ∠B = ∠В1. На сторонах АВ и А1В1 отмечены точки D и D1, так, что ∠АCD = ∠А1С1D1. Докажите, что ΔВСD = ΔB1C1D1.

Дано:

Доказать:

Ответ:

Задача. Отрезки АС и ВD пересекаются в середине О отрезка АС, ∠ВСО = ∠DAO. Докажите, что ΔВОА = ΔDOC. (решите эту задачу в тетради)