Тема: Лист Мебиуса.

Понятия: 

Исследование – процесс получения новых знаний.

Гипотеза  (от греч. hypothesis – предположение) – научное предположение, выдвигаемое для объяснений каких-либо явлений, достоверность которого еще не доказана опытным путем.

Эксперимент – (от лат. experimentum – проба, опыт) – воспроизведение какого-либо явления с целью исследования. Научно поставленный опыт.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Постановка целей и задач урока

Здравствуйте ребята. Кто-нибудь из вас знаком с понятием лист Мебиуса?

Тем, кто ещё не знаком с удивительным листом, который  относится к «математическим неожиданностям», мы предлагаем вместе с нами провести исследование и узнать много интересного .

Что же такое лист Мебиуса? Как же он возник? Давайте проведем экскурс в историю.

III. Историческая справка

Таинственный и знаменитый  лист Мёбиуса (иногда  говорят : лента  Мёбиуса)  придумал  в 1858г. немецкий  геометр  Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868),  ученик «короля  математиков» Гаусса. Благодаря своему открытию Мёбиус стал  одним из крупнейших геометров Х1Х в.  

Лист Мебиуса считается одним из символов современной математики, а момент его открытия стал началом рождения новой науки – топологии. В некотором смысле слово топология – это наука, изучающая непрерывность. Тополог интересуется свойствами “предметов”, которые выдерживают деформации: сжатия и растяжения.

Рассказывают, что открыть свой “лист” Мебиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты.

IV. Работа с незнакомыми словами

Чтобы понять, как нам проводить исследование данной поверхности, давайте выясним, что такое исследование и эксперимент. (На доске вывешиваются понятия: исследование, эксперимент, гипотеза – Приложение 1).

Во все времена человек большинство знаний добывал не путем рассуждений и догадок, а из собственного трудового опыта. Иногда человек специально проводит серию опытов, чтобы доказать, либо опровергнуть некоторую гипотезу – научное предположение. Такая работа называется – эксперимент. 

V. Техника безопасности

При выполнении этой работы нам будут необходимы ножницы. Расскажите, пожалуйста, как нужно обращаться с ножницами?

• Ножницы должны лежать на столе сомкнутыми лезвиями, кольцами к вам;
• Передавать ножницы нужно кольцами вперед;
• При работе ножницы должны лежать с правой стороны.

VI. Лабораторная работа

 При выполнении задания мы обсудим гипотезу. Проведем эксперимент, который будет состоять из опытов. На основании результата сделаем вывод о том подтверждена ваша гипотеза или нет.

Эксперимент 1. Сложим обычное кольцо из полоски бумаги. Сколько у него сторон? Как это проверить? Этот опыт показывает, что кольцо имеет две стороны, то есть кольцо – это двухсторонняя поверхность.

Склеим лист Мебиуса.

Получается он очень просто: склейте из бумажной полоски кольцо, только перед склеиванием поверните один конец на 180°. (Склеить лист Мебиуса вместе со всеми детьми). 

В                                  С

А                                  Д      А+С  В+Д

Получим такое перекрученное кольцо

Показываю. Если начать проводить линию по листу Мебиуса с одной стороны, не отрывая карандаш от поверхности и не переходя через край, то какая часть листа Мебиуса окажется закрашенной, или другими словами, сколько сторон у листа Мебиуса?

Эксперимент 2.

Что будет, если разрезать обычный лист бумаги? Давайте проверим.

Ответы детей: два обычных листа бумаги. Точнее, две половинки листа.

А что случится, если разрезать вдоль посередине лист Мёбиуса по всей длине?

Давайте определимся с гипотезой.

Теперь проведем опыт.

Каков результат эксперимента? (Ответы детей)

А вот что получилось у нас  - Лента перекручена два раза

Совпал ли результат эксперимента с гипотезой? (Ответы детей) 

Эксперимент 3. 

Что будет, если разрезать обычный лист бумаги, но не по середине, а ближе к одному краю?  Давайте попробуем.

Ответы детей: два листа бумаги, различной ширины.

Теперь сделайте новый лист Мёбиуса и скажите, что будет, если разрезать его вдоль, но не посередине, а ближе к одному краю?

Ваша гипотеза?

Теперь проведем опыт.

Каков результат эксперимента? (Ответы детей)

А вот что получилось у нас  - два сцепленных кольца, одно длиннее другого в два раза.

Совпал ли результат эксперимента с гипотезой? (Ответы детей) 

Эксперимент 4. 

Что будет, если разрезать обычный лист бумаги на три части?  Давайте попробуем.

А что получится, если лист Мебиуса разделить на три части?

Давайте определимся с гипотезой.

Теперь проведем опыт.

Каков результат эксперимента? (Ответы детей)

Получим  два  сцепленных  кольца.  

Одно  из  них  вдвое   длиннее  исходного  и  перекручено  два  раза. Второе-  лист  Мёбиуса,  ширина  которого  втрое  меньше,  чем  у  исходного.

Совпал ли результат эксперимента с гипотезой? (Ответы детей) 

Эксперимент 5.

Человечек - перевертыш

У вас на столе есть бумажные человечки. Давайте сначала отправим их вдоль обычного бумажного кольца. Пункт их отправления обозначим точкой. После одного круга, куда придут наши человечки? (Ответы детей)

А теперь мы отправим человечка  идти посередине  листа  Мёбиуса.  

Он  вернулся к  месту  старта.  Но  в  каком  виде! В  перевернутом!

А что нужно сделать человечку, чтобы он вернулся к старту в нормальном положении?

А  чтобы  он  вернулся к старту  в нормальном положении, ему нужно совершить  ещё одно «круголистное» путешествие.

Проверьте!

Дополнительное задание

1. Что получится, если перекрутить ленту дважды, а затем разрезать вдоль посередине?
2. Что получится, если перекрутить ленту трижды, а затем разрезать вдоль посередине?
3. Склеить вместе (одно  в другом) лист Мёбиуса и простое кольцо. Что получится, если разрезать их вдоль?
4. Склеить вместе (одно  в другом) два листа Мёбиуса. Что получится, если разрезать их вдоль?

IX. Подведение итогов

Ответьте на следующие вопросы:

Во время проведения нашей работы мы использовали новые термины гипотеза и эксперимент. Что означают эти слова?

Лист Мёбиуса используется во многих изобретениях, навеянных тщательным изучением свойств односторонней поверхности.

1. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде листа Мёбиуса, позволяет ему работать дольше в два раза, потому что вся поверхность листа равномерно изнашивается.
2. В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса. Это даёт ощутимую экономию.
3. Физики пришли к выводу, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности Эйнштейна и его предположением, что космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту старта, что подтверждает неограниченность Вселенной.
4. Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того – такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.
5. Ученые утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника.

Лист Мебиуса удивительная поверхность и притягивает к себе внимание не только математиков, но и людей искусства. Существуют скульптуры и картины в основе которых лежит лист Мебиуса.

Математика не является отвлеченной наукой. Очень многие математические знания и факты связаны с природой.

XI. Домашнее задание

Подумайте над вопросом: как склеить лист Мебиуса из квадратного листа? Ответ: сложить лист гармошкой.

X. Вывод

Лист Мёбиуса – удивительный феномен. Его можно исследовать до бесконечности, мы рассмотрели лишь некоторые его свойства. Надеемся, что мы вас заинтересовали и вы продолжите исследования этого непредсказуемого листа.