Конспект урока "ТЕОРЕМА ПИФАГОРА"
план-конспект урока по геометрии (8 класс) по теме

,

,

Муниципальное образовательное учреждение Пильнинская средняя школа №2 им. А.С.Пушкина.

Конспект урока

по геометрии в 8 классе на тему:

"Теорема Пифагора".

Урок-конференция на тему: "Теорема Пифагора". (2 часа)

Цели урока:

Образовательная:

• познакомить учащихся с жизнью великого математика Пифагора, со

знаменитой теоремой Пифагора, многообразием способов ее доказательства;

• выработать умение применять теоретический материал для решения задач и доказательства теоремы;
• закрепить полученные знания при решении практических задач.

Воспитательная:

• воспитывать познавательную активность, повышать интерес к изучению математики, показывая красоту математических доказательств, их стройность, логичность;
• вырабатывать умения и навыки работы с дополнительной литературой: поиска, выбора и анализа нужной информации по заданной теме, составления исчерпывающего сообщения в краткой форме;
•    оформления наглядности и защиты своего выступления.

Развивающая:

• развивать умения обнаруживать способ доказательства нового математического утверждения и выполнять его, развивать мышление, память, умение анализировать и делать выводы, навыки аргументированной речи и доказательного воспроизведения в процессе деятельности.
• Осуществление межпредметной связи геометрии с алгеброй, географией, историей, литературой.

Тип урока: изучение нового материала.

Структура урока:

1. Организация начала занятия.
2. Историческая справка о Пифагоре и его теореме.
3. Исследовательская работа.
4. Различные способы доказательств теоремы Пифагора.

5.  Решение задач с применением теоремы.
6.   Проверочная работа с самоконтролем.

        7. Информация о домашнем задании.

        8. Рефлексия.  

        9. Подведение итогов занятия.

Оборудование урока:

• Портрет Пифагора.
• Стенд с работами: легенды о Пифагоре, нравственные заповеди пифагорейцев,
• Исторические задачи, пифагорова головоломка.
• Чертежные инструменты.
• Бейджики с названием групп и инициалами каждому участнику
• Компьютер, мультимедийный проектор, экран.
• Презентация Microsoft Office Power Point.

Подготовка к уроку.

Для участия в конференции класс заранее делится на группы. Учащиеся подбирают материал, готовят выступления.

1 группа - «историки». Готовит сообщение о жизни Пифагора.

1 группа - «исследователи». Создает проблемную ситуацию и ищет пути ее решения.

3 группа - «теоретики». Ищет различные способы доказательства теоремы.

4 труппа - «практики». Подбирает практические задачи, которые решаются с помощью теоремы Пифагора.

5 группа - «журналисты». Готовят анализ работы.

Ход урока:         

1. Организационный момент.  (5 мин.) Проверка готовности к уроку: наличие учебников,

тетрадей, чертежных принадлежностей.

Учитель:

- Прежде чем начать урок мне хочется напомнить вам известное высказывание А.Нивена: «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед». ( слайд 1) 

- Прочитайте все вместе это высказывание.

       - Как вы понимаете смысл этих слов?

(Если смотреть, как другие анализируют, сравнивают, добывают новые знания, преодолевают трудности, а сам ничего не будешь делать, то ты никогда не будешь знать математику).

       - Верно. Я думаю, что вы успешно преодолеете все трудности, которые

       встретятся на вашем пути при изучении новой темы предмета

Учитель сообщает цели урока (слайд 2), план урока (слайд 3), представляет группы выступающих учащихся (слайд 4) 

2. Историческая справка о Пифагоре и его теореме. (15 мин) Выступление группы историков. (Приложение 2)

• Краткая биография Пифагора.
• Создание пифагорейской школы, основные открытия.

h--

3. Исследовательская работа. (10 мин) Выступление группы исследователей.

Постановка проблемы.

1 ученик: Я предлагаю решить вам задачу: Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты.

Хватит ли 50 м троса для крепления мачты? (слайд 9). 

Учащиеся анализируют математическую модель этой практической задачи.

1 ученик: В чем затруднение? Какой возникает вопрос?

Формулируют проблему - нужно найти гипотенузу прямоугольного треугольника по двум известным катетам.

Поиск и нахождение решения.          

2 ученик: Для решения этой проблемы предлагаю практическую работу исследовательского характера. По вариантам построить прямоугольные треугольники с катетами 12 см и 5 см; 6 см и 8 см;

8 см и 15 см и измерить гипотенузу.

 Результаты занести в таблицу (раздаются заготовки таблиц).

Попробуйте выразить формулой зависимость между длинами катетов и гипотенузой в прямоугольных треугольниках. Наш вывод требует доказательства. Поэтому мы приглашаем за трибуну теоретиков.

4. Различные способы доказательств теоремы Пифагора. (15 мин) Выступление группы теоретиков. (Приложение 3)

• История создания теоремы Пифагора.
• Доказательство теоремы с помощью построение квадрата со стороной, равной сумме катетов.
• Доказательство теоремы Пифагора с помощью разбиения ан - Найризия,
• Доказательство Джеймса Гарфилда (двадцатого президента США, 1880 г)

5. Решение задач с применением теоремы. (15 мин) Выступление группы практиков.

1 ученик. Предлагает учащимся решить геометрические задачи по готовым чертежам.

2 ученик. В древней Индии был обычай предлагать задачи в стихах. Я предлагаю вам решить одну из таких задач.

На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в этом месте река В четыре лишь фута была широка Верхушка склонилась у края реки. . Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота?»

Выполним чертёж к задаче и обозначим длину сломанной части АВ=Х, тогда из треугольника АСВ по теореме Пифагора имеем:

АB2= АC2+BC2                                                                               D

АB2= 42+32 

,

АB2= 16+9

АB2= 25                       В

АВ=5                                                                                          3        

CD=5+3=8                                                                                 C                                                     A

                                                                                                                               4

Таким образом, высота тополя составляет 8 футов.                                             

3 ученик. Вернемся к нашей задаче о мачте. Обозначим высоту мачты АВ=Х, тогда из треугольника АСВ по теореме Пифагора имеем:

АB2 = АC2 –BC2 

 АB2= 122+52

,

АB2= 144+25

 АB2= 169 АВ= 13

Таким образом, длина троса должна быть 52 метра.

6. Проверочная работа с самоконтролем. (7 мин)

Дана таблица, в которой а и b катеты, с - гипотенуза.

Заполните пустые ячейки таблицы, произведя вычисления устно.

Проверка (учащиеся меняются вариантами). Выставляют оценки.

7. Постановка домашнего задания: (3 мин)

Выучить материалы п. 54, решить задачи № 483(в), 484 (б, г), 486(б, в).

8. Рефлексия. (5мин.)

Закончить предложения:

• Сегодня на уроке я узнал ...
• Сегодня на уроке я научился ...

9. Подведение итогов конференции. (5 мин)

                                                              Список литературы

1. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики. -М., Просвещение, 1990.

2. Глейзер Г.И. История математик и в школе. - М.: Просвещение, 1981.
3. Журнал "Математика в школе" N2 4, 1991.
4. Зотов Ю.Б. Организация современного урока. - М., Просвещение, 1984.
5. Маркова В. Что такое исследовательская деятельность школьников. // Математика. - 2007. - N212

                             6. Пидкасистый П.И. Самостоятельная деятельность учащихся.М.,

Педагогика, 1972.

7. Учебник Л.А. Атанасян, В.Ф.Бутузов, Геометрия 7-9 класс, изд-во «Просвещение» 2007 год.
8. Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике. Минск, 1978

Приложение 1

(Материалы к стенду).

Легенды, связанные с именем Пифагора.

По одной из легенд отцом Пифагора был сириец Мнесарх. Однажды по торговым делам он прибыл из своего родного Тира на остров Самос. Год был неурожайным, население голодало, и Мнесарх устроил бесплатную раздачу хлеба народу. В благодарность его удостоили самосского гражданства.

По словам историка Апулея "Мнесарх славился среди мастеров своим искусством вырезать геммы, но стяжал скорее славу, чем богатство". Сохранилось предание, согласно которому Мнесарх вместе со своим учеником вырезал перстень дивной красоты. Этот перстень перешёл к правителю острова Самос Поликрату и ценился им превыше всего на свете.

Однажды египетский фараон Амасис, состоящий с самосским тираном в дружеских отношениях, встревожился его великим преуспеванием и написал Поликрату письмо, в котором говорил так: "приятно узнать, что друг мой счастлив. Но всё те твои успехи не радуют меня, так я знаю, сколь ревниво божество к человеческому счастью. Поэтому я желал бы, чтобы и у меня самого, и моих друзей одно удавалось, а другое - нет, чтобы лучше на своём веку мне непременно сопутствовали успехи и неудачи, чем быть счастливому всегда. Ведь мне не приходилось слышать ещё ни об одном человеке, кому бы всё удавалось, а в конце концов он не кончил плохо. Поэтому послушайся моего совета теперь и ради своего счастья поступи так: обдумай, что тебе дороже всего на свете и потеря чего может больше всего огорчить тебя. Эту вещь ты закинь так, чтобы она не попадалась никому в руки. И если и тогда успехи у тебя не будут сменяться неудачами, то и впредь применяй то же средство по моему совету". Поликрат нашёл совет Амасиса мудрым. "Посадив людей на корабль, он сам поднялся на борт и приказал затем выйти в море. Когда корабль отошёл далеко от острова, Поликрат снял перстень и на глазах у всех своих спутников бросил в море. После этого, опечаленный потерей, он вернулся во дворец.

А спустя пять или шесть дней какой-то рыбак поймал БО-!1ЬШУЮ красивую рыбу и решил, что это достойный подарок Поликрату. Он принёс рыбу во дворец, а слуги, выпотрошив её, нашли в брюхе тот Поликратов перстень. Поликрат понял тогда, что это божественное знамение, и написал Амасису обо всём.

Амасис же, прочтя послание Поликрата, убедился, что ни один человек не может уберечь другого от предречённой ему участи и что Поликрат не кончит добром, так как он преуспевает во всём и даже находит то, что забросил" ..

Пророчество Амасиса сбылось. Опасаясь владычества Поликрата на море, персы хитростью выманили Поликрата из Самоса, и зверски убили его.

Легенда о Поликратовом перстне, в котором нашла отражение вечная тема непостоянства земного счастья, стала популярным литературным сюжетом. Вспомним "Поликратов перстень" Шиллера:

На кровле он стоял высоко

И на Самос богатый око

С весельем гордым преклонял.

"Сколь щедро взыскан я богами!

   Сколь счастлив я между царями!"

                                                   Царю Египта он сказал

Имя матери Пифагора не сохранил ось. Некоторые называли её Пифаидой, дочерью рода Анкея – основателя  Самоса. Другие утверждали, будто бы сам Мнесарх назвал жену Пифаидой, а сына - Пифагором в честь дельфийской прорицательницы Пифии. Сделал же так Мнесарх после того, как получил от Дельфийского оракула весть о том, что жена подарит ему необыкновенного сына. Наконец, многие, имея на то основания, считали, что Пифагор - это не имя, а прозвище. Поскольку мудрый учитель высказывал истину столь же постоянно и авторитетно, как и дельфийская Пифия, он был прозван Пифагором.

Слово Пифагор можно перевести как вещающий (прорицающий) как Пифия.

Версия о том, что Пифагор это имя не собственное, а прозвище, представляется наиболее правдоподобной. Ведь и знаменитый философ Аристокл известен нам не по своему настоящему имени, и по прозвищу, которое он получил за свою мускулатуру гимнаста, - широкий, широкоплечий, по-гречески Плато

Пифагоровы законы и нравственные правила.

Кротон ... Здесь начинается самый славный период биографии Пифагора. Сорок лет, возраст акме-вершина творческих сил человека - стал и временем расцвета философии Пифагора.

В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни - это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Он быстро завоевал широкую известность и стал ведущим центром духовной и общественной жизни.

Не только сила личности и мудрость Пифагора, но и высокая нравственность проповедуемых им идей и жизненных принципов притягивала к нему единомышленников, которые и сегодня достойны подражания.

Система морально-этических правил, завещанная ученикам Пифагора, была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев - "Золотые стихи". Они переписывались и дополнялись па протяжении всей тысячелетней истории античности, а затем и в эпоху средневековья и Возрождения. В 18-19 в.в. "Золотые стихи" были особенно популярны в России. В 1808 году в Санкт-Петербурге вышла карманного формата книжечка "Пифагоровы законы и нравственные правила", начинавшаяся словами:

        Зороастр был законодателем персов.         с:

Ликург был законодателем спартанцев.

        Солон был законодателем афинян.         1>

Нума был законодателем римлян.

Пифагор есть законодатель всего человеческого рода. Вот некоторые из 325 Пифагоровых заповедей:

Мысль - превыше всего между людьми.

Сыщи себе верного друга; имея его, ты можешь обойтись без богов.

Юноша! Если ты желаешь себе жизни долгоденственной, то воздержи себя от пресыщения и всякого излишества.

Юные девицы! Памятуйте, что лицо лишь тогда бывает прекрасным, когда оно изображает изящную душу.

Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом.

Не пекись о скитании великого знания: из всех знаний нравственная наука, может быть, есть самая нужнейшая, но ей не обучаются.

Делай лишь то, что впоследствии не омрачит тебя и не заставит раскаиваться. Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что нужно знать. Не пренебрегай здоровьем своего тела.

Научись жить просто и без роскоши.

Через весы не шагай - избегай алчности.

Не садись на хлебную меру - не живи праздно. Либо молчи, либо говори то, что ценнее молчания.

Ласточек в доме не держи - не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык.

Не закрывай глаза, когда хочешь спать, не разобравши всех своих поступков за

день.         .

По торной дороге не ходи - следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих.

Сегодня абсолютно невозможно сказать, какие из сотен подобных заповедей восходят к самому Пифагору. Но совершенно очевидно, что все они выражают вечные общечеловеческие ценности, которые остаются актуальными всегда, покуда жив человек.

Пифагорейцы с равным усердием заботились и о духовном развитии, и о физическом. У них был особый распорядок дня, в котором находилось время для гимнастических упражнений. Не случайно среди дошедших до нас имён олимпийских победителей так много кротонцев: шестикратный победитель Олимпийских игр среди борцов ученик Пифагора Милон; легендарный прыгун Фаилл. А однажды в беге на одну дистанцию все семь победителей оказались кротонцами.

В те времена в ходу были поговорки: "Последний из кротонцев - первый из остальных греков" или "Здоровье кротонца", что означало высшую степень физического развития.

Но вместе с этими благородными истинами было в учении Пифагора и много мистического, туманного и просто смешного не только для наших современников, но и для современников Пифагора. Среди такого было учение о бессмертии души, о переселении души человека в животных после смерти, "что всё рождённое вновь рождается через промежутки времени, что ничего нового на свете нет, и что всё живое должно считаться родственным друг другу". Из учения о переселении душ следовали и предписания, запрещающие убивать животных и питаться их мясом, так как в животном могла обитать душа умершего человека. Но это табу Пифагора грекам приходилось не по душе, и они не упускали случая вспомнить Пифагору его

        собственные прегрешения.         .

Многие историки видят в пифагорейском учении о переселении душ след пребывания Пифагора в Египте, так как они первыми создали учение о посмертном

круге души. Египетские влияния просматриваются и других сторонах жизни пифагорейского братства. Как и египетские жрецы, пифагорейцы запрещали употреблять в пищу бобы и даже прикасаться к ним, потому что по легенде бобы произошли из капель крови растерзанного Диониса Загрея.

Забота о чистоте духа не заслоняла для пифагорейцев заботу о чистоте тела. Сам Пифагор всегда облачался в ослепительно белые одежды, подобно египетским жрецам, и любил носить восточный тюрбан. Возможно, жреческой замкнутостью объясняется и тайный характер всего пифагорейского учения.

Поскольку учение Пифагора было тайным, то оно, видимо не записывалось. Вот почему не сохранилось ни одной строчки трудов самого Пифагора, скорее всего он их просто не писал. В силу этого, а также в силу существовавшей в античности традиции приписывались результаты открытий учеников своему учителю, поэтому сегодня невозможно определить, что сделал в науке сам Пифагор, а что - его ученики. Древние верили, что идеи, подобно вину, только улучшаются с возрастом. Поэтому ученики щедро приписывали свои открытия учителям, которые чаще всего об этих открытиях и не подозревали. Споры по этому вопросу, начатые Аристотелем, ведутся третье тысячелетие, однако общего мнения не существует. Вот почему вместо слов "учение Пифагора" принято говорить "пифагорейское учение".

Ритуал посвящения в члены пифагорейского братства был окружён множеством таинств, разглашение которых сурово каралось. Попав в орден после строгого отбора и испытательного периода, новички могли только из-за занавеса слушать голос учителя, а видеть его разрешалось только после нескольких лет очищения и аскетической жизни. Пифагорейский аскетизм для новичка сводится, прежде всего, к обету молчания. Обет молчания нашел своё отражение в символе - "Бык за зубами", что на современный лад означает "Держи язык за зубами".

Пифагорова головоломка.

Из семи частей квадрата составить снова квадрат, прямоугольник, равнобедренный треугольник, трапецию. Квадрат разрезается так: Е, Р, К, L - середины сторон квадрата, О - центр квадрата, ОМ      EF, NF      EF

Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю.

Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:

• теорема о сумме внутренних углов треугольника;
• построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них;
• геометрические способы решения квадратных уравнений;
• деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;
• доказательство того, что не является рациональным числом;
• создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое (слайд 7).

Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев.

Около сорока лет учёный посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания.

После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд .

Приложение 2

1 ученик: О жизни Пифагора известно немного (слайд 4). Он родился в 580 г. до н.э. В Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским. (слайд 5) Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.

Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки.

Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги - в образе полулюдей - полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки.

Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду .

Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне.

Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при сёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений.

Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне.

2 ученик: Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя.

Главным пифагорейским опознавательным знаком был символ здоровья - пентаграмма или пифагорейская звезда. Она представляет собой звёздчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника. Нарисованная пентаграмма была тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга. В средние века считалось, что пентаграмма «предохраняет»  от «нечистой силы "Пятиконечной звезде около 3000 лет. Сегодня она реет на флагах едва ли не половины стран мира (слайд 6). 

Приложение 3

1 ученик: Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема. Интересна история теоремы Пифагора (слайд 9).Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго

до него. Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружений зданий. Это же самое проделывалось тысячи лет назад при строительстве великолепных храмов в Египте, Вавилоне, Китае, вероятно, и в Мексике. Еще раньше эта теорема была известна индусам. Таким образом,

Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника, он, вероятно, первым сумел его обобщить и доказать, перевести тем самым из области практики в область науки. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам - даже сто быков. Но это противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. Говорят, что он "запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы". В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: " ... когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста. Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала так:

"Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах» (слайд 1О). Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, многие ее называли «ветряная мельница» составляя стихи, вроде: «Пифагоровы штаны во все стороны равны», рисовали карикатуры (слайд 11). 

Сейчас известно более трёхсот доказательств теоремы Пифагора.

Сегодня мы с вами познакомимся с некоторыми из многочисленных доказательств теоремы Пифагора.

2 ученик: Современная формулировка теоремы Пифагора: (слайд 12). 

Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. Записать ее для прямоугольного треугольника АВС с катетами а, Ь и гипотенузой с можно так: с2=а2+в2

Я предлагаю доказательство теоремы с помощью построение квадрата со стороной, равной сумме катетов способом, предложенным в учебнике (слайд 13).

Дано: АВС,=900

Доказать: с2 =а2+в2

Доказательство .

я хочу только предложить идею доказательства - достроить треугольник до квадрата со стороной (а + Ь) и выразить площадь квадрата возможными способами. Это вы сделаете дома.

3 ученик: Доказательство теоремы Пифагора с помощью разбиения ан-Найризия.

(слайд 14).

В этом разбиении квадрат, построенный на гипотенузе, разбит на 3 треугольника и 2 четырехугольника. Здесь: АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом С; DE = BF. Это разложение квадратов интересно тем, что его попарно равные четырехугольники могут быть отражены друг на друга параллельным переносом

4 ученик: Доказательство Джеймса Гарфилда (двадцатого президента США, 1880 г)  (слайд 15)  

А

    1

 b                 c                                                4   M

                                          c                               a

                   2               3

C         a            B                b                            D

Пусть дан треугольник АВС с прямым углом С, гипотенузой с и катетами а и Ь, такими, что Ь>а. Продолжим отрезок СВ за точку В и построим треугольник BMD так, чтобы точки М и А лежали по одну сторону от прямой CD и, кроме того, BD=b,

В прямоугольных треугольниках АВС и BMD <1 + <2 =900и <3+<4=900, но так как <1 = <3, то <3 + <2 = 900; тогда <АВМ = 1800 - 900 = 900. Оказалось, что трапеция AMDC разбита на три неперекрывающихся прямоугольных треугольника, тогда по аксиомам площадей имеем

SABC + S АВМ + S вмD= Sтрап, или

S аЬ + S с2 + S аЬ = S (а+Ь)(а+Ь).

умножив обе части равенства на 2, получим

аЬ + с2 + аЬ = (а + Ь)2, 2аЬ + с2= а2 + 2аЬ + ь2, откуда с2 = а2 + ь2.

Теорема Пифагора - одна из главных теорем геометрии, потому что с её помощью можно доказать много других теорем и решить множество задач. Предоставляем слово практикам.