Самостоятельные работы 8 класс
учебно-методическое пособие по геометрии (8 класс) на тему

Самостоятельная работа  1.1

Многоугольники. Четырехугольник

Вариант 1

А1. Существует ли выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен 165о?

А2. Найдите углы А и С выпуклого четырехугольника АВСD, если    .

А3. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен 135о?

А4. Начертите четырехугольник, пятиугольник. Выполните  необходимые измерения и вычислите периметр построенных многоугольников.

________________________________________________________________

Самостоятельная работа  1.1

Многоугольники. Четырехугольник

Вариант 2

А1. Существует ли выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен 150о?

А2. Найдите углы А и D выпуклого четырехугольника АВСD, если .

А3. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен 144о?

А4. Начертите четырехугольник, пятиугольник. Выполните  необходимые измерения и вычислите периметр построенных многоугольников.

Самостоятельная работа  1.2

Четырехугольники

Вариант 1

А1. Периметр параллелограмма ABCD равен 10 см. Найдите длину диагонали BD, зная, что периметр треугольника ABD равен 8 см.

А2. Докажите, что если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.

А3. Разделите отрезок, равный  9 см  на  семь равных частей.  

А4. В равнобедренной трапеции ABCD  ACD =135о,  AD = 20 см,  ВС = 10 см. Найдите периметр трапеции.

______________________________________________________

В1. Длины сторон параллелограмма равны 3 и 5 см. На какие отрезки делит большую сторону биссектриса острого угла этого параллелограмма?

________________________________________________________________

Самостоятельная работа  1.2

Четырехугольники

Вариант 2

А1. Найдите все углы параллелограмма, если сумма двух одинаковых из них равна 160о.

А2. Докажите, что если у параллелограмма хотя бы один угол прямой, то он является прямоугольником.

А3. Разделите отрезок, равный  11 см  на  девять равных частей.  

А4. В прямоугольной трапеции ABCD  ВAD – прямой, ВАС =45о,  ВСD =135о, AD = 30 см. Найдите меньшую боковую сторону трапеции.

______________________________________________________

В1. В ромбе АВСD биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС и диагональ ВD соответственно в точках M и N. Найдите угол АNВ, если угол АМС = 120о.

Самостоятельная работа  1.3

Задачи на построение

Вариант 1

А1. Постройте ромб по углу и стороне.

А2. Постройте параллелограмм ABCD  по острому углу А, стороне ВС и расстоянию между прямыми  AD  и  ВС.

А3. Постройте прямоугольник по одной из сторон и углу между этой стороной и диагональю.

 А4. Постройте точки  В1, С1 и  D1, симметричные вершинам В, С и D  трапеции  АВСD относительно вершины  А.

________________________________________________________________

Самостоятельная работа  1.3

Задачи на построение

Вариант 2

А1. Постройте ромб по стороне и одной из диагоналей.

А2. Постройте параллелограмм ABCD  по двум сторонам  AD  и  АВ  и высоте  ВЕ  (ВЕ

А3. Постройте прямоугольник по диагонали и углу между диагоналями.

 А4. Постройте точки  В1, С1 и  D1, симметричные вершинам В, С и D  ромба АВСD относительно вершины  А.

Самостоятельная работа  2.1

Площади фигур

Вариант 1

А1. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 80 см, а отношение сторон  равно 2 : 3.

А2. Найдите площадь параллелограмма, если две его стороны равны 6 см и 8 см,  а один из углов равен 150о.

А3. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 12 см  и   9 см, а угол между ними 30о.

______________________________________

В1. Вычислите площадь фигуры на рисунке, разбив ее на прямоугольники и проведя все необходимые измерения.

________________________________________________________________

Самостоятельная работа  2.1

Площади фигур

Вариант 2

А1. Найдите площадь треугольника, если его сторона равна 10 см, а высота проведенная к ней равна 8 см.

А2. В параллелограмме одна из сторон равна 10 см, один из углов равен 30о. Найдите площадь параллелограмма, если его периметр равен        56 см.

А3. Острый угол равнобедренной трапеции равен 45о, а основания равны   8 см  и  6 см. Найдите площадь трапеции.

___________________________________

В1. Вычислите площадь фигуры на рисунке, разбив ее на прямоугольники и проведя все необходимые измерения.

Самостоятельная работа  2.2

Теорема Пифагора

Вариант 1

А1. У прямоугольного треугольника катеты  равны  5 и 12.  Найдите гипотенузу.

А2. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны  6 см  и  8см.

А3. Две стороны прямоугольного треугольника равны 3 м  и  4 м.  Найдите третью сторону (два случая).

А4. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно  16 см.  Найдите площадь треугольника.

________________________________________________________________

Самостоятельная работа  2.2

Теорема Пифагора

Вариант 2

А1. У прямоугольного треугольника гипотенуза  и катет соответственно равны  17 и 8.  Найдите второй катет.

А2. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны  16 дм  и  30 дм.

А3. Две стороны прямоугольного треугольника равны 13 м  и  12 м.  Найдите третью сторону (два случая).

А4. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4 см, а основание равно  6 см.  Найдите площадь треугольника.

Самостоятельная работа  3.1

Признаки подобия треугольников

Вариант 1

А1. У подобных треугольников  АВС  и  А1В1С1   А = 30о,  АВ = 1 м,  

      ВС = 2 м,  В1С1 = 3 м. Чему равны угол А1  и сторона А1В1?

А2. Подобны ли треугольники  АВС  и  А1В1С1, если  АВ = 1м, АС = 1,5 м,  ВС = 2 м,   А1В1 = 10 см,  А1С1 = 15 см,  В1С1 = 20 см ?

А3. Подобны ли два прямоугольных треугольника, если у одного из них есть угол  40о, а у другого – угол, равный  50о ?

______________________________________________

В1. Длина тени фабричной трубы равна 35,8 м. В это же время вертикально воткнутый в землю кол высотой 1,9 м дает тень длиной 1,62 м. Найдите высоту трубы.

________________________________________________________________

Самостоятельная работа  3.1

Признаки подобия треугольников

Вариант 2

А1. У подобных треугольников  АВС  и  А1В1С1   А = 60о, АВ = 12 см,  ВС = 10 см,  В1С1 = 15 см. Чему равны угол А1  и сторона А1В1?

А2. Подобны ли треугольники  АВС  и  А1В1С1, если  АВ = 1м, АС = 2 м,  ВС = 1,5 м,   А1В1 = 8 дм,  А1С1 = 16 дм,  В1С1 = 12 дм ?

А3. Подобны ли два прямоугольных треугольника, если у одного из них есть угол  40о, а у другого – угол, равный  60о ?

___________________________________________

В1. Длина тени растущего дерева равна 40,8 м. В это же время вертикально воткнутый в землю кол высотой 1,2 м дает тень длиной 2,04 м. Найдите высоту дерева.

Самостоятельная работа  3.2

Применение подобия  к решению задач

Вариант 1

А1. Докажите, что два прямоугольных треугольника подобны, если их катеты пропорциональны.

А2. Из точки D, лежащей на гипотенузе АВ прямоугольного треугольника ABC, опущен перпендикуляр DE на катет ВС. Докажите, что треугольники DBE и ABC подобны.

____________________________________________

В1. Дан треугольник  АВС. Постройте треугольник  А1В1С1, подобный треугольнику  АВС, площадь которого  в  три раза больше площади треугольника АВС.

В2. Чтобы определить на местности расстояние АВ между двумя точками, одна из которых В недоступна, можно выполнить построения, план которых показан на рисунке. Найдите расстояние АВ, если АС = 150 м, DF||АВ,  DF = 16 м, CD = 30 м.

________________________________________________________________

Самостоятельная работа  3.2

Применение подобия  к решению задач

Вариант 2

А1. Докажите, что прямоугольные равнобедренные треугольники подобны.

А2. На сторонах АС и АВ треугольника ABC отмечены точки К и Р так, что . Докажите, что треугольники АКР и ABC подобны.

______________________________________________

В1. Дан треугольник  АВС. Постройте треугольник  А1В1С1, подобный треугольнику  АВС, площадь которого  в  четыре  раза больше площади треугольника АВС.

В2. Наблюдатель, находящийся в точке А, видит конец шеста С и точку D верхней части мачты DF расположенными на одной прямой. Какова высота мачты, если AF = 60 м, АВ = 6 м, ВС = 3 м?

_______________________________________________________________

Самостоятельная работа  3.3

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Вариант 1

А1. Найдите синус косинус и тангенс углов А  и  В треугольника  АВС  с   прямым углом  С, если  ВС = 1 дм, АС = 3 дм.

А2. У прямоугольного треугольника один катет равен 8 см, а синус противоположного ему угла равен 0,8. Найдите гипотенузу и второй катет.

А3. Найдите гипотенузу и острые углы прямоугольного треугольника, если его катеты равны  9 см  и  40 см.

________________________________________________________________

Самостоятельная работа  3.3

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Вариант 2

А1. Найдите синус косинус и тангенс углов А  и  В треугольника  АВС  с прямым углом  С, если  ВС = 8 см, АВ = 10 дм.

А2. У прямоугольного треугольника один катет равен 12 см, а косинус

      противоположного ему угла равен 0,4. Найдите гипотенузу и второй катет.

А3. Найдите гипотенузу и острые углы прямоугольного треугольника, если   его катеты равны  20 см  и  21 см.

Самостоятельная работа  4.1

Центральные и вписанные углы

Вариант 1

А1. Прямая АВ касается окружности с центром О и радиусом 5см в точке А. Найдите ОВ, если АВ = 12 см.

А2. Вершины треугольника АВС делят окружность с центром О на три дуги: АВ, ВС и АС, градусные меры которых относятся как  2 : 9 : 7.  Найдите углы АОС, ВОС, АСВ.

А3. Хорды МК и РТ пересекаются в точке А.  Найдите длину АМ, если АР = 2 дм, АТ = 24 дм, АМ : КА = 3 : 4.

__________________________________________

В1. Докажите, что касательная, параллельная хорде, делит в точке касания дугу, стягивающую этой ходой, на две равные дуги.

________________________________________________________________

Самостоятельная работа  4.1

Центральные и вписанные углы

Вариант 2

А1. Прямая АВ касается окружности с центром О и радиусом 15см в точке В. Найдите АВ, если ОА = 17 см.

А2. Точки А, В и С делят окружность с центром О на три дуги: АВ, ВС и АС, градусные меры которых относятся как 7 : 5 : 6.  Найдите углы АВС, ВАС, АОВ.

А3. Диаметр АВ пересекает хорду СВ в точке М.  Найдите отрезки на которые точка М делит диаметр АВ, если r = 10 cм, CM = 4 см,                MD = 9 см.

__________________________________________

В1. К окружности проведена касательная.  Докажите, что сумма расстояний от концов любого диаметра до этой касательной равна диаметру этой окружности.

Самостоятельная работа  4.2

Четыре замечательных точки треугольника

Вариант 1

А1. В равнобедренном треугольнике  АВС с основанием АС серединный перпендикуляр стороны АВ пересекает основание АС в точке Р. Найдите угол  С,  если  АВР = 52о.

А2. Постройте точку на катете прямоугольного треугольника, равноудаленную от гипотенузы и другого катета.

А3. Постройте точку, равноудаленную от вершин тупоугольного треугольника.

________________________________________________________________

Самостоятельная работа  4.2

Четыре замечательных точки треугольника

Вариант 2

А1. В равнобедренном треугольнике  АВС с основанием ВС серединный перпендикуляр стороны АС пересекает основание ВС в точке М. Найдите  САМ,  если  АВС = 43о.

А2. Постройте точку на боковой стороне равнобедренного треугольника, равноудаленную от основания и другой боковой стороны.

А3. Постройте точку, равноудаленную от вершин прямоугольного треугольника.

Самостоятельная работа  4.3

Вписанная и описанная окружности

Вариант 1

А1. Найдите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной 12 см.

А3. Постройте треугольник ABC, если АВ =8 см, ВС = 6 см, ABC = 40°. Опишите около него окружность и измерьте ее радиус.

______________________________________________

В1. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 10, 12, и 10 см.

________________________________________________________________

Самостоятельная работа  4.3

Вписанная и описанная окружности

Вариант 2

А1. Найдите радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной 12 см.

А3. Постройте треугольник со сторонами 5, 6 и 7 см и опишите около него окружность. Измерьте радиус этой окружности.

____________________________________________

В1. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник  со сторонами 15, 24, и 15 см.

Самостоятельная работа  5.1

Геометрические фигуры и их свойства

Вариант 1

А1. В соответствующей окружности (см. рис.) нарисуйте угол, равный 2α.

А2. В равностороннем треугольнике АВС проведены биссектрисы AD и BF, которые пересекаются в точке О. Найдите углы треугольника AOF.

А3. Найдите площадь равнобокой трапеции, если ее основания равны 12 см и  6 см, а боковая сторона образует с одним из оснований угол, равный 45о.

А4. Определите, существует ли треугольник, периметр которого равен 18 см, а одна из сторон 14 см.

________________________________________________

В1. Докажите, что если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то и суммы квадратов его противоположных сторон равны.

________________________________________________________________

Самостоятельная работа  5.1

Геометрические фигуры и их свойства

Вариант 2

А1. По рисунку определите градусную меру угла  α.

А2. Найдите углы, образованные при пересечении биссектрис острых углов прямоугольного равнобедренного треугольника.

А3. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны равны  16 см и  6 см, а один из углов равен  30о.

А4. Докажите, что в равнобокой трапеции диагонали равны.

________________________________________________

В1. Две окружности, радиусы которых 32 и 72 см, касаются друг друга внешним образом. Прямая касается этих окружностей в точках А и В. Найдите расстояние АВ.

Самостоятельная работа  5.2

Геометрические фигуры и их свойства

Вариант 1

А1. Сторона квадрата MКРТ  равна 12 см. На МТ  и  КР отложены отрезки АТ  и  КВ так, что АТ = КВ = 5 см.

а) Докажите, что АМВР – параллелограмм.

б) Найдите его периметр и площадь.

А2. В трапеции AВСD проведены диагонали АС  и ВD, которые пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники СОВ  и АОD подобны.

А3. Постройте прямую, перпендикулярную данной прямой, с помощью циркуля и линейки.

________________________________________________________________

Самостоятельная работа  5.2

Геометрические фигуры и их свойства

Вариант 2

А1. Сторона квадрата ABCD  равна 4 см. На AB и  CD отложены отрезки АM  и  КC так, что АM = КC = 3 см.

а) Докажите, что МВKD – параллелограмм.

б) Найдите его периметр и площадь.

А2. В параллелограмме AВСD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке F.  Докажите, что треугольник  АВF – равнобедренный.

А3. Постройте треугольник по трем данным сторонам с помощью циркуля и линейки.

________________________________________________________________