Система задач на тему "Двугранный угол"
презентация к уроку по геометрии (10 класс) на тему
Презентация содержит большое количество задач по теме. Все представленные задачи содержат подробное решение.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 geom_10.ppt | 962.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Угол между плоскостями: ∠ ( α , β )
А В С D М К грани ребро Р
А В С К М ∠ ( α , β ) = D ∠ АВСМ= ∠ Р Р
За д ачи на д оказательство того, что отмеченный на рисунке угол является линейным .
а) РАВС - пирами д а; ∟ АСВ=90º; (РВ) ┴ (АВС) Д оказать: ∠ РСВ - линейный угол д вугранного угла с ребром АС. В А С Р ВС ┴ АС РВ ┴ ( АВС) РС ┴ АС = > ∠ РАСВ= ∠РСВ
в) РАВС - пирамиDа; АВ=ВС; D- сереDина АС; (РВ) ┴ (АВС); Dоказать: ∟ РDВ - линейный угол Dвугранного угла с ребром АС. В Р А С D Δ АВС – равнобед- ренный, D – середина АС, значит: ВD ┴АС. ВD ┴ АС РВ ┴ ( АВС) РD ┴ АС = > ∠ РАСВ= ∠РDВ
с) РАВСD - пирами д а; (РВ) ┴ (АВС); (ВК) ┴(DС); Д оказать: ∠ РКВ - линейный угол д вугранного угла с ребром СD. А В D С Р К ВК ┴ РС РВ ┴ ( АВС) РК ┴ DС = > ∠ РСDВ= ∠РКВ
2. За д ачи на вы д еление линейного угла сре д и нескольких обозначенных на рисунке углов.
а) РАВС - пирами д а; основание - правильный треугольник; Какой из отмеченных углов является линейным уголом д вугранного угла с ребром АС, если: D – сере д ина АС, (РВ) ┴ (АВС) . Р D С В А
в ) РАВС - пирами д а; основание - правильный треугольник; Какой из отмеченных углов является линейным уголом д вугранного угла с ребром АС, если: М – сере д ина АС, О N ║ВМ, (РО) ┴ (АВС) . Р А С В О М N
с ) РАВС - пирами д а; D- сере д ина АС; (РВ) ┴ (АВС); Каким д олжен быть треугольник АВС, чтобы линейным углом д вугранного угла с ребром АС являлся угол РDВ ? угол РАВ ? угол Р С В? В Р А С D
3. За д ачи на построение линейного угла д ля д анного д вугранного .
а) Построить линейный угол д вугранного угла с ребром АС, если в пирами д е РАВС: АВ=ВС, (РВ) ┴ (АВС); ∠ РАСВ - ?
Р А В С АВ=ВС Н = > ВН ┴ АС РВ ┴ АВС = > РН ┴ АС ∠ РАСВ = ∠ РНВ
в ) Построить линейный угол д вугранного угла с ребром АС, если в пирами д е РАВС: грань АВС – правильный треугольник, О – точка пересечения ме д иан треугольника АВС, (РО) ┴ (АВС); ∠ РАСВ - ?
Р А С В О К ВК-медиана, = > ВО ┴ АС РО ┴ АВС = > РК ┴ АС Δ АВС-правильный ВК - высота ∠ РАСВ = ∠ РКВ
с ) Построить линейный угол д вугранного угла с ребром АС, если в пирами д е РАВС: грань АВС – правильный треугольник, О – сере д ина АВ, (РО) ┴ (АВС); ∠ РАСО - ?
А С Р В О Н К А В = В С = > КО ┴ АС РО ┴ АВС = > КР ┴ АС ВН ┴ АС КО║ВН ∠ РАСВ = ∠ РКО
D ) Д ан прямоугольник АВСD и точка Р вне его плоскости. Построить линейный угол д вугранного угла с ребром DС, если: (РВ) ┴ (АВС); ∠ ВСDР - ?
А Р D С В ВС ┴ СD РВ ┴ АВС = > РС ┴ СD Значит: ∠ ВСDР= ∠ ВСР АВСD- прямоугольник
О ͼ АВ; (РО) ┴ (АВС) . е)Д ан прямоугольник АВСD и точка Р вне его плоскости. Построить линейный угол д вугранного угла с ребром DС, если: ∠ ОСDР - ?
А Р D С В О Н Значит: ∠ ОСDР= ∠ РНО РО ┴ АВС = > РН ┴ СD АD ┴ СD ОН║АD ОН ┴ СD = >
О – точка пересечения диагоналей АВСD, (РО) ┴ (АВС). f )Д ан прямоугольник АВСD и точка Р вне его плоскости. Построить линейный угол д вугранного угла с ребром DС, если: ∠ ОСDР - ?
А Р D С В О Н АD ┴ СD ОН║АD ОН ┴ СD = > Значит: ∠ ОСDР= ∠ РНО РО ┴ АВС = > РН ┴ СD
g ) Дан ромб АВСD; (РС) ┴ (АВС). Построить линейный угол двугранного угла с ребром ВD. С В А D
Р С В D А АВСD - ромб = > СА ┴ВD, СА∩ВD=О = > ОС ┴ ВD Значит: ∠ РВDС= ∠ РОС РС ┴ АВС = > РО ┴ ВD О
i ) Дана трапеция АВСD; ∠ ВАD=90º; Построить линейный угол двугранного угла с ребром АD , если: (РВ) ┴ (АВС). С D А В АD║ВС ∠ ВАDР - ?
Р D В С А ВА ┴ АD РВ ┴ АВС = > РА ┴ АD Значит: ∠ ВАDР= ∠ ВАР
k) Dана трапеция АВСD ; ∠ ВАD=90º; Построить линейный угол д вугранного угла с ребром АD , если: О ВС; (РО) ┴ (АВС). ∠ ВАDР - ?
Р D В С А Значит: ∠ ВАDР= ∠ ОКР О К АВ ┴ АD ОК║АВ ОК ┴ АD = > РО ┴ АВС = > РК ┴ АD
l ) Dана трапеция АВСD . Построить линейный угол д вугранного угла с ребром АD , если: АВ=СD, (РВ) ┴ (АВС). А D С В Н
В D С А Н Р ВН ┴ АD РВ ┴ АВС = > РН ┴ АD Значит: ∠ ВАDР= ∠ ВНР
АВСD — равнобокая трапеция; АВ=СD, (РС) ┴ (АВС); m) Dана трапеция АВСD . Построить линейный угол д вугранного угла с ребром АD , если:
С А В D Н Р СН ┴ АD РС ┴ АВС = > РН ┴ АD Значит: ∠ САDР= ∠ СНР
Вычислительные задачи .
а) РАВС — пирамида; найти величину двугранного угла с ребром АС, если: (РВ) ┴ (АВС); ∠ АСВ = 90º; ВС = РВ = 4
А С Р В АС ┴ ВС РВ ┴ АВС = > РС ┴ АС Значит: ∠ ВАСР= ∠ ВСР 1)
С В Р 4 4 2) ВР=ВС = > Δ СВР - равнобедренный, ∠ С = ∠ Р = 45 ° Ответ: ∠ ВСР = 45 °
в) РАВС — пирамида; найти величину двугранного угла с ребром АС, если: (РВ) ┴ (АВС); АВ = ВС = 5 ; ВР = АС = 6 ; Р А В С 5 5 6 6 ∠ РАСВ-?
Р А В С Н АС ┴ ВН РВ ┴ АВС = > РН ┴ АС Значит: ∠ ВАСР= ∠ ВНР 1) 5 5 6 6 6
А В С Н 5 5 6 3 3 2) Δ АВС -равнобедренный, ВН - высота, значит: ВН- медиана, АН=НС=3, Δ ВНС - прямоугольный, ВН 2 =ВС 2 -НС 2 , ВН=4
Р А В С Н Значит: ∠ ВАСР= ∠ ВНР 1) 5 5 6 6 6 4
Р Н В 4 6 3) Δ РВН - прямоугольный, tg ∠ Н = РВ / ВН, tg ∠ Н = 6/4=1 ,5 Ответ: ∠ РАСВ = arctg 1 ,5
с) РАВС — пирамида; найти величину двугранного угла с ребром АС, если: Δ АВС — правильный треугольник; АВ = 6; О — точка пересечения медиан АВС; (РО) ┴ (АВС); А О Р В С РО = √ 3 ∠ РАСВ-?
Р А С В О К ВК - медиана, = > ВО ┴ АС РО ┴ АВС = > РК ┴ АС Δ АВС -правильный ВК - высота ∠ РАСВ = ∠ РКВ 1) РО = √ 3 КО - ?
С В К О А 2) Δ АВС - правильный, О - точка пересечения медиан, значит: ОВ=2ОК. Найдем ВК. Δ ВКС: ВК 2 = ВС 2 -КС 2 ; ВК 2 = 27; ВК =3 √ 3 6 3 ВК = 3ОК, ОК = √ 3
Р А С В О К ВК - медиана, = > ВО ┴ АС РО ┴ АВС = > РК ┴ АС Δ АВС -правильный ВК - высота ∠ РАСВ = ∠ РКВ 1) РО = √ 3 КО = √ 3
3) Δ РОК - прямоугольный, ∠ О = 90 ° , РО = ОК, значит ∠ Р = ∠ К = 45 ° . Р К О Ответ: ∠ РАСВ = 45 °
D) РАВС — пирамида; найти величину двугранного угла с ребром АС, если: АВС — правильный треугольник; О — середина АВ; АВ = 6; (РО) ┴ (АВС); РО = 4 ; В А С Р О ∠ РАСВ-?
А С В О Н К 1) ВН - высота правильного Δ АВС, ВН ┴АС ОК║ВН = > ОК ┴АС
В А С Р О К ОК ┴ АС РО ┴ АВС = > РК ┴ АС ∠ РАСВ = ∠ РКО 2)
А С В О Н К 3) ВН - высота правильного Δ АВС, 6 Найдем ВН. Δ ВНС: ВН 2 = ВС 2 -НС 2 ; ВН 2 = 27; ВН =3 √ 3 3
А С В О Н К 6 ВН =3 √ 3 Δ АВН, О - середина АВ, ОК║ВН = > ОК -средняя линия, ОК=ВН/2 ОК=
О К Р 6 4) Δ РОК; ∠ С = 90 ° , tg ∠ К = РО/ОК, tg ∠ К = 4/ √3 ∠ РАСВ = arctg 4/√3 Ответ:
е) АВСD — прямоугольник; ВD = 4√3 ; (РВ) ┴ (АВС); РВ = 6 ; Двугранный угол с ребром DС равен 60º ; Найти стороны прямоугольника. В Р А С D
В Р А С D 1) ∠ РDСВ=60 ° ВС ┴ СD РВ ┴ АВС = > РС ┴ СD Значит: ∠ РDСВ = ∠ РСВ = 60 ° ВD = 4√3 ; РВ = 6 ; ∠ РСВ = 60 ° 6 60 ° 4 √ 3
В Р С 6 60 ° 2) Δ РВС, ∠ В = 90 ° , tg ∠ С = РВ/ВС, √ 3 = 6/ВС, ВС = 6/ √ 3 = 2 √ 3
В Р А С D ВD = 4√3 ; РВ = 6 ; ∠ РСВ = 60 ° 6 60 ° 4√3 2 √ 3
В С D 4 √ 3 2 √ 3 3) Δ ВСD; ∠ С = 90 ° , СD 2 = ВD 2 - СD 2 ; СD 2 = 16•3-4•3; СD 2 = 36; СD = 6 Ответ: АВ = СD =6; ВС = АD = 2 √ 3.
f) АВСD — прямоугольник; площадь АВСD равна 48 ; (РВ) ┴ (АВС); РВ = 6 ; DС = 4 ; Найти величину двугранного угла с ребром DС. В Р А С D 6 4 ∠ РDСВ - ?
В Р А С D 6 4 ∠ РDСВ - ? 1) ВС ┴ СD РВ ┴ АВС = > РС ┴ СD Значит: ∠ РDСВ = ∠ РСВ S (АВС D )=48, РВ = 6, С D = 4.
2) АВС D - прямоугольник S (АВС D ) = АВ•ВС = 48, АВ = С D = 4, 4•ВС = 48, ВС = 12.
В Р А С D 6 12 3) Δ РВС; ∠ В = 90 ° , tg ∠ С = РВ/ВС, tg ∠ С = 0,5 Ответ: ∠ РDСВ = arctg 0 ,5
g) АВСD — ромб; ВD = 4 ; (РС) ┴ (АВС); РС = 8 ; Двугранный угол с ребром ВD равен 45º ; Найти площадь ромба . А В С D h a S ромба = a • h , S ромба = d 1 • d 2 : 2 d 1 d 2 4
(РС) ┴ (АВС); РС = 8 ; Двугранный угол с ребром ВD равен 45º ; 2 ) D А В С Р АО ┴ ВD РС ┴ АВС = > РО ┴ СD Значит: ∠ РВ D С = ∠ РОС = 45º О 45º
45 ° Р О С 8 3) Δ РСО; ∠ С = 90 ° , ∠ О = 45 ° = > ∠ Р = 45 ° , ОС = РС = 8.
А В С D S ромба = d 1 • d 2 : 2 d 1 d 2 4 4) d 1 = 2ОС = 16, d 2 = 4, S ромба = d 1 • d 2 : 2 S = 32 Ответ: 32 О
К ) АВСD- параллелограмм; ∠ АDС = 120º; АD = 8 ; DС =6 ; (РС) ┴ (АВС); РС = 9 ; Найти величину двугранного угла с ребром АD и площадь АВСD . А В С D 8 120 ° 6 Н S парал-ма = a • h a h S парал-ма = a • b • sin ∠ ( a , b ) b
1) А В С 8 120 ° 6 h S парал-ма = a • b • sin ∠ ( a , b ) S (АВС D ) = 8 • 6 • sin 120 ° =24 √3. D Н S парал-ма = a • h h = S парал-ма / a h =24 √3 / 8 h =3 √3
2) A B C D P H (РС) ┴ (АВС); РС = 9 ; Найти величину двугранного угла с ребром АD CH ┴ A D РС ┴ АВС = > Р H ┴ СD Значит: ∠ Р AD С = ∠ Р H С 9 3 √3
9 3 √3 P C H 3) Δ Р CH ; ∠ C = 90 ° , tg ∠ H = Р C / H С, tg ∠ H = 3/ √3 = √3 ∠ H = 6 0 ° Ответ: ∠ Р ADC = 6 0 °, S (АВС D )= 24 √3 .
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
система задач на тему:"Двугранный угол"
В презентации разобрано большое количество задач для лучшего понимания темы....
Конструирование системы задач по теме: «Прогрессии. Арифметическая прогрессия»
Цель: Конструирование системы задач по теме: «Прогрессии. Арифметическая прогрессия» прогрессия»для использования на уроках (дифференцированный подход). Задачи:1. Образовательные:1) обобщение ...
Система задач по геометрической оптике (основная школа)
Система задач по геометрической оптике (основная школа)...
Метод динамической системы задач
Динамической системой задач можно назвать такую специально подобранную систему задач, в которой:а) Каждая последующа...
Методика использования многоуровневой системы задач по теме «Проценты»
В основе методики обучения на базе разработанной многоуровневой системы задач лежит поэтапное освоение блоков ее матрицы. Основная особенность этой методики заключается в том, что на каждом уровне, т....
Построение многоуровневой системы задач по теме: «Текстовые задачи»
Многие со мною согласятся, что на итоговой аттестации по математике основной школы учащимся трудно даётся решение текстовых задач. В связи с этим следует создать систему многоуровневых заданий, котора...
Решение задач по теме "Угол между прямыми"
Презентация разработана совместно с учащимися 11 класса. Рассмотрены различные методы решения задач по теме "Угол между прямыми"....