Симметрия и асимметрия: математические изыски природы.
статья по геометрии (7 класс) на тему

Золотухина Н.Ф., учитель математики ГОУ СОШ № 654 (хореография) Кировского района г. Санкт-Петербурга)

Симметрия и асимметрия: математические изыски природы

Симметрия (от греческого simmetria) – соразмерность, полное соответствие в расположении частей целого относительно средней линии, центра.

В современном понимании симметрия – это общенаучная философская категория, характеризующая структуру организации систем.

В каждой области науки и искусства симметрия проявляется и выражается в специфических понятиях, однако принцип симметрии объединяет разнообразные явления, на первый взгляд, никак не связанные между собой.

Обычно, говоря о симметрии, имеют в виду зеркальную симметрию. Что мы видим, глядя в зеркало? Своего двойника, черты которого «перенесены» слева направо: стоит нам поднять правую руку, он поднимает левую.

Учение Платона

Платон стремился видеть элементы материи в виде правильных симметричных тел. Современная наука все глубже проникает в тайну того, что внешние проявления симметрии – от симметрии кристаллов и снежинок до симметрии молекул ДНК – есть следствие симметрии тел фундаментальных законов, которые управляют всеми процессами физического мира. Таким образом, то, что на заре цивилизации античные философы видели атомы в виде симметричных геометрических тел, должно вызывать не саркастическую усмешку, а, скорее, удивление.

Симметрия на Земле

Симметрия господствует на Земле благодаря силе тяготения. Более того, поскольку эта сила действует повсюду во Вселенной, то и предполагаемые космические пришельцы не могут быть безудержно чудовищными, как их порой изображают, а обязательно должны быть симметричными.

Первоначальное понятие о геометрической симметрии как о гармонии пропорций, как о «соразмерности», что и означает в переводе с греческого слово «симметрия», с течением времени приобрело универсальный характер и было осознано как всеобщая идея инвариантности (неизменности) относительно некоторых преобразований. Таким образом, геометрический объект или физическое явление считают симметричным, если с ними можно сделать что-то такое, после чего они останутся неизменными.

Мауриц Корнелис Эшер

Голландский художник Мауриц Корнелис Эшер родился в Лиувардене, небольшом городе на севере Голландии. Прсле учебы в Школе архитектуры занялся графикой и уехал в Италию.

С 1922 по 1935 гг. жил в Риме и много путешествовал по итальянским селениям. Из Рима Эшер переехал в Швейцарию, а в 1941 г. вернулся к себе на родину в Голландию и больше уже никуда не уезжал. Парадоксами богаты не только гравюры Эшера, но и его жизнь. В школе он не успевал по математике и даже оставался на второй год, однако именно математики находят в его гравюрах глубокий смысл и источник вдохновения. Он рисовал левой рукой, а писал – правой.

«Бесконечную способность жить и творить красоту» Эшер, как и многие математики, философы и художники, жившие в разные времена в разных странах, связывал с геометрией, строгими законами симметрии и ритма, гармонией правильных многогранников.

Альбом его оригинальных рисунков издан Международным союзом кристаллографов как сборник иллюстраций к курсу кристаллографии. На этих рисунках отражены сложные виды симметрии.

На мозаиках Эшера светлые и темные формы чередуются в соответствии со строгими законами симметрии, показывая совершенно новые, необычные отношения между точками, поверхностями и пространством.

Зеркальная симметрия

Зеркальная симметрия – не только прямое отражение в зеркале. Если воспользоваться не одним, а двумя или более зеркалами, можно получить изображения, связанные между собой поворотной симметрией.

Остроумный способ получения узоров с помощью трех зеркал используется для получения симметричных узоров в калейдоскопе – детской игрушке, изобретенной английским оптиком Дэвидом Брюстером в 1819 году.

Симметрия в искусстве

Симметрия в искусстве – это волнующая тема, которая заслуживает особого рассмотрения.

Симметрия воспринимается нами как покой, скованность, закономерность, тогда как асимметрия означает свободу, движение, случайность.

Симметрия в поэзии

Любовь прекрасна и скромна,

Корысти ей не надо;

За нас в огонь пойдет она –

С ней Рай и в бездне Ада. –

Так пел Ком Глины в колее,

Попавший под копыто.

На это Камень из ручья

Ответил ядовито:

Любовь корыстна и жадна!

Покоя нас лишая,

Все под себя гребет она –

С ней Ад и в кущах Рая!

У.Блейк (1757-1827)

…Подношу я этот дар

Ей, холодной и прекрасной,

Не пленив мечтой напрасной

Мысли свет и сердца жар.

Мысли свет и сердца жар

Не пленив мечтой напрасной,

Ей, холодной и прекрасной,

Подношу я этот дар…

С.Г.Фруг  (1860-1916)

Симметрия в музыке

Каждая внутренняя ступень равномерно темперированной  12-ступенной хроматической гаммы является средним геометрическим своих соседей – локальная геометрическая симметрия.

Глобальная геометрическая симметрия связывает интервал и его обращение через интервальный коэффициент октавы.

Симметрия и асимметрия в структурах микромира

Итак, в окружающем нас макромире зеркальная симметрия является одним из главных признаков внешнего строения живого организма. Присуща  она и структурам микромира – кристаллам, молекулам, атомам и элементарным частицам – симметрия левого и правого.

Как известно, в кристаллическом веществе молекулы, атомы и ионы располагаются в определенном геометрическом порядке. Изучая структуру кристалла, можно обнаружить их основное сочетание, которое периодически повторяется.

В кристаллах, как и в живых организмах, большое значение в формировании симметричных и несимметричных структур имеет спиральность.

Симметрия в моделировании

Красота и симметрия лежат в основе древних систем мироздания – геоцентрической системы мира и учения Аристотеля о стихиях и качествах: принцип симметрии был положен в основу создания теоретических представлений о структуре молекулы. Движение электронов, как известно, ограничивают электростатические силы и законы квантовой механики. Согласно принципу симметрии, распределение плотности электронного облака должно обладать той же симметрией, что и атомный каркас молекулы. Принцип симметрии справедлив и для распределения электронных волн в ходе химической реакции, когда электронные оболочки перестраиваются, и это сопровождается разрывом одних связей и возникновением других.

Искусное владение теорией симметрии часто позволяет упростить моделирование в химии и квантовой механике и получить достоверную информацию о структуре молекулы. Сложность этой задачи становится понятной, если вспомнить о статическом характере законов микромира. Современные представления о химической связи были развиты на основе принципов симметрии.

Непарные спирали

Асимметрия в мире растений связана обычно со спиральной формой стебля или усиков, спиральным расположением листьев, зерен, цветов, шишек. В классической форме спиральность проявляется у ползающих растений. Поднимаясь по стеблям и стволам других растений, они обычно завиваются в правую спираль, но иногда образуют левую.

Пример непарной спиральности в животном мире – закрученные клыки и бивни морских животных.

Симметрия в строении человека

Внешнее строение тела человека и животных, как правило, обладает двусторонней симметрией: левая половина тела – зеркальное отображение правой.

Симметрия сохраняется в расположении костей и мускулов, но в расположении внутренних органов она резко нарушается. Наблюдается асимметрия в расположении внутренних органов человека. Так, печень сдвинута вправо, а сердце, желудок и селезенка – влево. Асимметричны изгибы и петли кишечника

Скрытая симметрия в строении человека

Примером скрытой симметрии может служить температура тела человека. Она распределяется не только симметрично, но и глубоко индивидуально.

Вместе с тем существуют типичные температурные контрасты. На регистрации их изменений основана тепловизионная диагностика заболеваний органов и тканей. Их состояние связано с температурой определенных мест на поверхности тела. Диагноз устанавливается на основе нарушения симметрии тепловых изображений. Перепад температуры может составлять как доли, так и единицы градусов.

Асимметричные действия людей

Классический пример – предпочтительное действие правой рукой (левой), действие которой контролируется левым полушарием (правым). Многие лучше видят правым глазом, чем левым, лучше слышат правым ухом.

Симметрия в структурах микромира

Обнаружить зеркальную симметрию кварца удалось в первой половине XIX века известному французскому физику и химику Жану Батисту Био (1774 – 1862).

Изучая поляризацию и двойное преломление света, он высказал предположение о том, что причина этого явления – асимметрия молекул.

Асимметрия в структурах микромира

Примером асимметрии в структурах микромира может служить кристаллическая решетка киновари (HgS– сульфид ртути), состоящий из спиральных цепей, образованных атомами серы и ртути. Эти цепи могут закручиваться вправо и влево.

Кристалл кварца. Он состоит из из молекул окиси кремния (SiO), его решетка имеет спиральное строение. Поскольку спираль может закручиваться вправо и влево, кварц встречается в двух разновидностях.

Заключение

«Сфера влияния» симметрии и ее антипода – асимметрии поистине безгранична. Природа – наука – искусство. Всюду мы видим противоборство, а часто и единство двух начал – симметрии и асимметрии, которые во многом и определяют гармонию природы, мудрость науки и красоту искусства.