Теорема Пифагора
план-конспект урока по геометрии (8 класс) на тему

Конспект урока 8 класс. Геометрия.

Тема: «Теорема Пифагора»

Авторы учебника: Атанасян Л.С. и др., учебник «Геометрия 7-9»

Место проведения:  МБОУ «СОШ№ 5 города Суворова Тульской области»

Вид урока:

Тип урока:  урок-проект

Этап  обучения  по  данной  теме: начальный

Цель урока: 

• Создать условия для формирования у учащихся знания и понимания теоремы Пифагора, осознания ее практической значимости;
• Повышение интереса к математике, стимулировать ответственное отношение к учебной работе;
• Формирование “математического” мышления, включающего: логическое мышление, “гибкость ума”, умение к обобщению и систематизации, способность к формированию гипотез.

Задачи:

• Изучить историю появления теоремы
• Рассмотреть ее применение при решении прикладных задач

Формы  организации  учебной  деятельности:

• Работа с исторической справкой
• Работа с текстом учебника
• Практическая работа с элементами  исследования
• Исследовательская работа
• Работа с презентацией

Методы  обучения:

• Метод проблемного изложения
• Частично-поисковый метод обучения
• Исследовательский метод обучения.

Технологии обучения:

• проектно-исследовательская технология
• технология личностно-ориентированного образования
• информационно-коммуникативные технологии

Прогнозируемый  результат:  

Предметные умения:  знакомство и правильное употребление новых терминов и понятий, исследовательские проекты.

Регулятивные учебные действия: формирование умения выполнять задания в соответствии с поставленной целью, отвечать на конкретные вопросы; представлять продукт своего исследования;

Коммуникативные учебные действия: общаться с товарищами, выслушивать ответы одноклассников.

 Оборудование:

• маршрутные листы
• раздаточный материал
• учебник «Геометрия 7-9», Атанасян Л.С.
• проектор
• экран
• компьютер

Литература: 

• Атанасян Л.С. и др., учебник «Геометрия 7-9»
• Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики. М. «Просвещение» АО «Учебная литература» 1996.
• Глейзер Г.И. История математики в школе. М. «Просвещение» 1995.
• Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. М. «Просвещение» 1995.

Эпиграф на доске :

«…Геометрия владеет двумя

сокровищами – теоремой Пифагора

и золотым сечением…»

Иоганн Кеплер

Ход урока.

1. Организационный момент (1 - 2 минуты).

Самоопределение к учебной деятельности (дидактическая задача: подготовка учащихся к работе на занятии).

Слово учителя: 

- Здравствуйте, ребята! Сегодня у нас необычный урок. Чтобы почувствовать себя комфортнее, давайте улыбнёмся друг другу. Мне приятно видеть ваши лица, ваши улыбки, и думаю, что этот день принесет вам радость общения. Сядьте удобно, закройте глаза и повторяйте за мной: «Я в школе, я на уроке. Я радуюсь. Внимание мое растет. Я все замечаю. Память моя крепка. Голова мыслит ясно. Я готов к работе. Я работаю. Мне нравится учиться».

2. Вступительное слово учителя, постановка задач урока (дидактическая задача: обеспечение мотивации и принятии учащимися цели учебно-познавательной деятельности) (1 минута):

- Сегодня на уроке мы познакомимся с теоремой Пифагора, с ее практической значимостью.

3.     Актуализация знаний (дидактическая задача: актуализация опорных знаний и умений). Учащимся предлагается провести анализ своих знаний (3 минуты).

4. Учитель знакомит учащихся с характеристикой образовательных маршрутов и деятельностью учащихся (примеры маршрутных листов прилагаются). Учитель дает необходимые комментарии(3-5 минут).

Учитель:

1 маршрут.  «Работа с исторической справкой» (работа прикладной направленности) – выбирают те дети, которые любят работать руками, проявляют интерес к истории математики.

Продукт – 1) алгоритм построения прямоугольного треугольника.

                   2) план доказательства теоремы Пифагора.

2 маршрут.  «Практическая работа с элементами исследования» - выбирают те учащиеся, которые любят выполнять практическую работу с чертёжным инструментом (конструктивный уровень работы).

Продукт – выдвинуть гипотезу, доказать её, составить кроссворд.

3 маршрут.  «Работа с текстом учебника» - выбирают те учащиеся, которые не уверены в своих силах, которым проще применять готовые знания, чем придумывать.

Продукт – конспект (параграф) теоремы Пифагора,

4 маршрут.  «Исследовательская работа» -  выбирают те учащиеся, которые любят выдвигать гипотезы, рассуждать, доказывать, это – математические, творческие дети.

Продукт – сформулировали и доказали теорему Пифагора, и создали карикатуру по истории теоремы Пифагора.

5 маршрут.  «Работа с электронным текстом».

Продукт – работа с презентацией по теме урока «Теорема Пифагора»

5. Проблематизация выбора индивидуального маршрута. Учитель предлагает на основе анализа собственных знаний выбрать свой путь к достижению поставленных задач из предложенных пяти к теореме Пифагора.

Работа с интеллект-картой (3-5 минут):                          

                                      Теорема Пифагора

6. Самостоятельная работа учащихся по маршрутам (дидактическая задача: обеспечение усвоения новых знаний и способов действий на уровне применения в измененной ситуации) (10 минут).

7. Презентация учащимися результатов своей деятельности (дидактическая задача: формирование целостной системы ведущих знаний по теме) (10 минут).

8. Рефлексия. Учитель предлагает дать самооценку своей работе по следующим вопросам (3-5 минут):

• На какие из поставленных в начале урока, вопросы вы получили ответ (отметьте в таблице)
• Что у тебя хорошо получилось
• Какие задания вызвали затруднения
• Что тебе следует повторить при подготовке к следующему уроку?
• Что тебе следует выучить?
• Какое задание вызвало интерес?
• Что тебе понравилось на уроке?
• Ты выбрал правильно маршрут?

Учитель:  

- Предлагаю закрыть всем глаза, поднять обе руки вверх, сжав пальцы в кулак. На счет «три» разжать пальцы, показав отметку нашей сегодняшней работе.

9. Подведение итогов, оценка работы учащихся (дидактическая задача: дать анализ и оценку успешности достижения цели и наметить перспективу последующей работы) (2 минуты).

Вывод: все учащиеся, которые шли по различным  маршрутам, получили знания:

• Теоремы Пифагора;
• Историческую справку;
• Различные способы доказательства теоремы;
• Практическое применение теоремы Пифагора;
• Продукт своей исследовательской деятельности.

10. Домашнее задание (по группам) (1-2 минуты).

ПРИЛОЖЕНИЯ.

МАРШРУТНЫЕ ЛИСТЫ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

Маршрут № 1

Историческая справка.

Теорема Пифагора имеет богатую историю. Оказывается, она задолго до Пифагора была известна египтянам, вавилонянам, китайцам и индейцам. За восемь веков до нашей эры эта теорема была хорошо известна индейцам, под названием «Правило веревки» и использовалось ими для построения зданий, алтарей, разделов земельных участков, которые по священному предписанию должны иметь строгую геометрическую фигуру, ориентированную относительно четырех сторон горизонта. Землемеры Древнего Египта для построения прямого угла пользовались бечевкой, разделенной на двенадцать равных частей. В первом узле, в четвертом узле и в восьмом узле стояли колышки. Они вбивались в землю так, что веревка была натянута до прямой линии. При этом образовывался прямоугольный треугольник. Затем бечевку растягивали на земле так, что получался прямоугольный треугольник  со сторонам 3, 4 и 5 делений. Угол треугольника противолежащий стороне с пятью делениями, был прямой. Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц иногда называют Египетским, который вероятно, использовался для определения прямых углов при построении зданий.

На протяжении веков были даны многочисленные доказательства этого факта (более 150) . В наше время мы его знаем как теорему Пифагора.

1. Работа с текстом.
2. Выделите алгоритм построения прямоугольного треугольника.
3. Сделайте чертеж к этому алгоритму.
4. Определите соответствие сторон.
5. Поставить между числами 3, 4 и 5 знаки  «+», «=», «*» так, что бы получилось верное равенство.
6. Сформулируйте данное равенство в виде теоремы (подсказка:: Замените числа названиями сторон).
7. Сравните получившуюся формулировку с текстом учебника.
8. Прочитайте доказательство в учебнике.

Продукт: составьте план доказательства теоремы.

Ваше домашнее задание: выучить теорему Пифагора и решить задачи №№487, 484.

Маршрут № 2.

Исследовательская работа

«Фантастика! Вчера в школе появился инопланетянин и предложил нам выбрать пластинки из очень дорогого, неизвестного нам металла. Он положил на стол прямоугольный треугольник, а потом  на катетах и гипотенузе построил квадраты из этого металла, причём все пластинки одинаковой толщины и однородны. От нас зависит выбор: взять одну пластинку с гипотенузы или две с катетов. Что выгоднее?»

1. Составьте математическую модель проблемы.
2. Выдвиньте гипотезу.
3. Докажите или опровергните выдвинутое вами предложение.
4. Оформите результаты работы.

Обозначив гипотенузу прямоугольного треугольника с, катеты а и b, запишите получившееся утверждение в виде равенства: ____________________________

Вставьте пропуски в формулировке теоремы Пифагора:

«Квадрат ______________________ равен сумме _______________________ катетов».

Используя получившееся равенство, решите задачи:

1. Прямоугольный треугольник с катетами, пропорциональными числами 3 и 4, называется египетским. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см.
2. Найдите периметр прямоугольного треугольника и гипотенузой 13 см и катетом 5 см

«Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Дона Saihorum – ослиный мост, или  elefuga – бегство «убогих», т.к. некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде неопределимого моста.

Из-за чертежей, сопровождавших теорему, учащиеся часто называли ее «ветряной мельницей», составляли стихи вроде «Пифагоровы штаны на все стороны равны ….»

Побробуйте и вы нарисовать карикатуру на теорему Пифагора.

Ваше домашнее задание: сравнить полученные вами результаты с текстом учебника и решить задачи № 483, № 487.

Маршрут № 3

Работа с текстом

Задача: 1. Составить конспект § 3, п.55

2. Практически убедиться в правильности формулы Пифагора.
3. Разобрать решение задач обязательного уровня.
4. Решить задачу Бхаскары.
5. Подготовить материал к оформлению стенда.

Средства:  1. Учебник «Геометрия 7-9», Атанасян Л.С.

                   2. Раздаточный материал по теме урока.

В помощь:

1. Для того, чтобы проверить правильность теоремы, необходимо построить прямоугольный треугольник и, измерив его стороны, убедиться в равенстве.

2. По итогам изучения темы вы должны уметь решать задачи вида: «Найти гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см».

Дано: треугольник АВС – прямоугольный, АВ = 6см, ВС = 8 см

Найти: АС

Решение:

По теореме Пифагора АС2 = АВ2 + ВС2

АС2 = 36 + 64

АС2 = 100

Ас = 10 см

Ответ: 10 см.

Ваше домашнее задание: § 3, п.55 и решить задачу № 483

Задача индийского математика XII века Бхаскары:

«На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв го ствол обломал

Бедный тополь упал. И угол прямой

С течением реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось  три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота?»

Маршрут № 4

Практическая работа с элементами исследования

1. Измерьте стороны данных треугольников, и результаты измерения запишите в таблицу:

2. Выполните анализ данных таблицы.
3. Выскажите гипотезу.
4. Убедитесь в своей правоте или опровергните гипотенузу, построив в тетради прямоугольный треугольник и выполнив все необходимые измерения и вычисления.
5. Запишите ваше предположение в виде формулы.
6. Переведите формулу на русский язык, используя слова «квадрат», «гипотенуза», «катет», «сумма», «прямоугольный треугольник».
7. Сравните ваше предложение с формулировкой теоремы авторами учебника (стр.126).
8. Разделите доказательства теоремы на этапы.
9. Запишите в тетрадь план доказательства теоремы Пифагора.
10. Используя слова стихотворения, составьте горизонтальный кроссворд (на отдельном листе).

Стоит треугольник, как ментор,

И угол прямой в нем есть.

И всем его элементам

Повсюду покой и честь.

Прелестная гипотенуза

Внеслась так смело ввысь!

И с нею в вечном союзе

Два катета тоже взвились

И всё на торжищах света,

Как в огненном кольце

И все повторяют это:

«Ах, а2, b2, с2!

И даже в холодной медузе

Огонь эта песня зажгла,

И всё это гипотенуза

И катетов двух дела!

Пример:

Ваше домашнее задание: выучить теорему Пифагора и решить задачи

№ 487, № 484.

Маршрут № 5

Работа с презентацией.

Ведущий:

        Перенесемся на 2500 лет  назад.

Греция. Слайд 1.

На берегу теплого Тарентского залива стоял дом. Слайд 2. Жители греческого городка  Кротон считали этот дом странным и таинственным. Возможно они не задумывались над тем, почему он кажется им таким необычным, но все же старались возле него не задерживаться.

        Зато у крыльца этого дома с облегчением снимали котомки странники. Были это в основном молодые люди и шли они издалека – одежда в пыли, сандалии стоптаны, лица утомлены. Юноши подходили к дому утром, когда вода в заливе еще спала, и в полдень. Когда множество рыбачьих лодок бороздили тихую гладь залива, и поздним вечером в прохладный сумеречный час. Иногда они сразу исчезали за скрипучей дверью, иногда подолгу переминались с ноги на ногу, не решаясь войти и осторожно оглядываясь.

        Но никто из жителей городка не помнил случая, чтобы чужеземцы  беседовали между собой. И это тоже было странно и придавало дому еще большую таинственность.

        В этом доме жил Пифагор. Слайд 3. Ученый, мудрец, чудак. Здесь он создал школу, которая превратилась в философско – политический тайный союз. В те времена, когда Пифагор преподавал своим ученикам, он требовал от них выполнения тяжелого условия – брал в свою школу только тех, кто смог до поступления соблюдать молчание в течении пяти лет.

        Почему так поступал древнегреческий учитель математики?

Пифагор верил: чтобы познать меру и связь явлений, надо отрешиться от суеты, чтобы сосредоточиться.

        Пифагор обожествлял числа. Он учил: числа управляют миром.

Слайд 4. И его ученики – пифагорейцы искали в числовых отношениях закономерности окружающего мира: «Все есть число».

        Вероятно режим тайного союза был причиной того, что до нас не дошло ни одного оригинала трудов Пифагора. Все сведения о его учении получены из устных источников и иногда противоречивы. Историки свидетельствуют, что пифагорейцы обрели у современников большой авторитет. И вскоре в Кротоне происходит крупное политическое событие- пифагорейцы захватили власть не только в Кротоне, но и в других городах Греции. Они стали влиять на политику. У них появились враги, завистники. На школу Пифагора не раз совершались нападения, и во время одного из них Пифагор погиб.

        Впрочем, существует и другая версия – ученики помогли ему скрыться и он остался жив.

        Мы никогда не узнаем правду ли передавали друг другу сменяющиеся века. Но точно известно, что Пифагор первым услышал в грохоте мира внутреннюю музыку Вселенной, понял магию чисел, познал скрытую гармонию при роды. Слайд 5.

        Он пытался научить этому других Греки считали за честь учиться у Пифагора математике. Впрочем, люди учатся у него математике до сих пор.

        Прикоснемся и мы к одному из его величайших открытий под названием «Теорема Пифагора».

2. 1. Практическая работа:

Каждый ученик получает модель прямоугольного треугольника.

Задание: произвести измерения, найти квадраты гипотенузы и катетов и установить соотношение между ними. Эту работу выполняет у доски ученик. Комментирует:

         «Это соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путем на основе измерений за 1200 лет до Пифагора. Но, по- видимому, Пифагор первым сумел найти его».

То, что дал человечеству Пифагор, бессмертно.

То, что узнали о мире пифагорейцы служит нам по сей день