Блок-конспект урока "Вычисления объемов тел"
план-конспект урока по геометрии (11 класс) по теме

11 класс (апрель).

Тема: Вычисление объемов тел. Решение задач.

«Человек обращается к математике не затем,

чтобы любоваться неисчислимыми сокровищами.

Ему, прежде всего нужно ознакомиться со столетиями

                испытанными инструментами и научиться

 ими правильно и искусно управлять»

Выдающийся русский математик и кораблестроитель

А.Н.Крылов.

1. Вычислить объем:

а) правильного тетраэдра                          б) правильного октаэдра

    с ребром a                                       с ребром a

  в) правильного гексаэдра с ребром а;

  г) как вычислить объемы правильных икосаэдра и додекаэдра.

1. Как вычислить объем тела, полученного вращением правильного шестиугольника вокруг прямой, содержащей его сторону?

2. Указать верную формулу для вычисления объема тела вращения

4.Вычислить объем тела, полученного  вращением квадрата, на одной стороне которого как на диаметре построен полукруг.

5. Формула Симпсона.

(Симпсон Томас (1710 – 1761) – английский математик)

1) пирамиды с вершиной Р и основанием А1А2А3...Аn,

2) пирамиды с вершиной Р и основанием В1В2В3…Вm,

3) (к-1) пирамид с вершиной Р и основаниями соответственно треугольники А1В1В2, А1В2А2, А2В2В3,…, А1В1Вm.

Зная, что объем пирамиды вычисляется по формуле V = (1/3)Sh, легко определить объемы каждого из трех видов пирамид, составляющих исходный призматоид:

3) Рассмотрим одну из боковых пирамид, например, пирамиду РА1В1В2. Объем этой пирамиды

Аналогично можно представить объемы остальных “боковых” пирамид.

Остается найти сумму объемов всех “боковых” пирамид.

Суммируя объемы совокупности пирамид с вершиной в точке Р, мы находим объем призматоида:

  Призматоид - многогранник, все вершины которого расположены на двух параллельных плоскостях. Грани, расположенные на этих плоскостях, называются основаниями призматоида.

Не будет противоречием определению призматоида, если многогранник, у которого верхнее и нижнее основания являются разноименными многоугольниками, а боковые грани - треугольники, мы будем называть призматоидом.

7. Дополнительный материал.

Впервые применил определенный интеграл для вычисления объема тора Иоганн Кеплер (1571 – 1630). «Яблоком» Кеплер называл частный случай тора, когда ось вращения находится внутри вращающегося круга

Практическое применение методов вычисления объемов тел:  

 1)   вычисление характеристик  корпуса корабля с определенным водоизмещением;

    2)     в прошлом – создание дирижаблей, которые могли бы поднять в воздух максимальное количество груза;

    3)    вычисление характеристик  разнообразных емкостей для хранения используемых в производстве жидких и газообразных материалов;

    4)     строительство зданий, устойчивых и, одновременно с этим, не требующих больших затрат на их возведение;

    5)     сканируя дно мирового океана (определяя его форму), можно вычислить объем воды в морях, реках и во всем мировом океане в целом;

    6)     обследовав поверхность ледников, можно определить объем льдов и отследить изменения ледяного покрова;

    7)     подобными способами оцениваются запасы полезных ископаемых и оценивается скорость их истощаемости и возможность восполнения.