Нужно ли человеку в жизни практическое применение вычисления и измерения объемов тел?
проект по геометрии (11 класс) по теме

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Илькинская средняя общеобразовательная школа»

Меленковского района Владимирской области

Районная научно-практическая конференция

учащихся Меленковского района Владимирской области

Вид работы: исследовательская работа

Тема работы: «Нужно ли человеку в практической жизни измерение и вычисление объемов тел?».

                                        Выполнила: Катина Юлия, 11 класс

                                                                          Научный руководитель:

                                                                     учитель математики

 Еплова Лариса Анатольевна

Меленки  2015

Содержание

1.Введение.                                                                           стр.3

2. Теоретическая база.                                                         стр.5

3. Исследование и расчеты.                                                стр.9

4. Выводы.                                                                            стр.12

5. Информационные источники.                                        стр.15

Введение.

                                               «Всё, что не может геометрия, не можем и мы»

 Блез Паскаль

Некоторые люди считают, что математика - это скучная наука… для меня же математика - нечто особенное. Даже для решения одной задачи можно найти множество различных способов. И сейчас я постараюсь доказать, что математика  является очень интересным предметом! Причиной создания данной исследовательской работы стали  возникшие передо мной вопросы: мы умеем вычислять простейшие объемы, а как, например, измерить объем крокодила? Каким должен быть выбранный объем клетки, чтобы туда поместился крокодил? Всегда ли можно измерить объем любого тела? Зачем человеку нужно уметь измерять и вычислять объемы тел на практике?

  Цель работы: найти все возможные, наиболее интересные методы измерения и вычисления объемов нестандартных тел в повседневной жизни.

  Основная задача: научиться применять данные вычисления и измерения на практике.

Актуальность исследования: умение вычислять объемы различных тел может пригодиться в любой сфере жизнедеятельности человека. Например, при экономии природных ресурсов планеты.

Гипотеза: Если сравнить объемы цилиндра, шара и куба с одинаковой площадью поверхности, то получится, что объем цилиндра больше, чем объем куба, но меньше, чем объем шара. Вследствие чего на заводах изготавливают консервные банки цилиндрической формы, а не кубической (так как объем наименьший) или шарообразной (в использовании такие банки неудобны).

Оборудование: Консервная банка, линейка, калькулятор.

Теоретическая база.

В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с телами разных форм и объемов. Например, мы говорим, что ведро вмещает в себя 10 литров воды. Это означает, что объем ведра - 10 литров. Другой пример: на строительство садового домика понадобилось 15 кубометров (или кубических метров) древесины. Как видно, в этих примерах объемы выражаются определенными числами, но в разных единицах - в одном случае в литрах, в другом - в кубических метрах. В разных единицах объем одного и того же тела выражается разными числами. Как же на практике найти объем того или иного тела? Например, как измерить объем крокодила? Как найти объем туристической палатки? С помощью каких формул вычисляют объемы тел? Объем крокодила можно найти, опустив его в бассейн с водой. Для этого нужно сначала нанести деления на стенки бассейна, аналогичные  тем, что нанесены на стенки мензурки. Затем следует отметить: какой объем воды был первоначальным и каким он стал после того, как опустили в воду крокодила. Разность чисел, соответствующих этим делениям, и даст нам объем крокодила. Описанный способ измерения объемов не всегда удобен, а то и вовсе не применим. Если мы хотим, например, найти объем железнодорожной цистерны (рис.1), то, заполняя ее водой, подсчитывать при этом количество литров воды - занятие довольно утомительное. А для крупных сооружений, таких, как большое здание или пирамида Хеопса (рис.2), способ измерения объемов с помощью погружения в воду невозможен. Более того, на практике, обычно еще до начала строительства какого-то сооружения, например, той же железнодорожной цистерны (рис.1), нужно знать, какие она должна иметь размеры, чтобы получился желаемый объем.

Рисунок 1

Рисунок 2

Таким образом, важно уметь вычислять объемы тел, зная какие-то определенные  размеры. Предположим, что нужно найти объем туристической палатки  (рис.3) с высотой  h, и площадью основания  S. Рисунок 3

Объем призмы  вычисляется по формуле V=S*h

 Палатка, изображенная на рисунке 4, представляет собой треугольную призму, положенную на бок (на боковую грань). Если к ней приставить такую же палатку, поставленную вверх дном, то получится наклонный параллелепипед с площадью основания S и высотой h. Его объем равен S*h,

 поэтому объем палатки равен 1/2 S*h.

Рисунок 4

Рассмотрев  две практические задачи,  сравним теперь объемы трех тел: цилиндра, у которого высота  h=2r, куба и шара при условии, что площади их поверхностей равны. Выполнив вычисления, мы получим ответ на вопрос, что больше в объеме: куб, цилиндр или шар. Итак, приступим к вычислениям.

Площадь поверхности каждого из трех тел обозначим буквой S, ребро куба - буквой а, высоту и радиус цилиндра- h и r, радиус шара R. Тогда площадь поверхности куба S=6a2 , откуда      , а объем V куба равен

     .

Для цилиндра учитывается соотношение h=2r, получаем равенство  , откуда   , а объем V цилиндра равен

                                                  .

И наконец, для шара площадь поверхности   , откуда      , а объем V шара равен  

                                                 .

      Теперь нетрудно сравнить объемы куба, цилиндра и шара:

      так как                      , то     .

 Действительно ли это так, проверим на практике.

Исследование и расчеты.

Рассмотрев теоретические сведения, ответим на вопрос: почему консервные банки делают цилиндрической формы, а не кубической или шарообразной?

Рисунок 5

Рисунок 6

Рисунок 7

Возьмем консервную банку (рис.7)

Измерим  диаметр банки: 7,5 см (радиус R=3,75 см.).

Измерим высоту банки: 8 см.                            

Найдем объем цилиндрической банки по формуле V=S*h, где площадь основания банки  :

Объем V(банки)=3,14*3,75*3,75*8=353,25

Вычислим площадь поверхности банки по формуле

S =2πR(h+R). Получаем: S=276,7125 см2

На изготовление железной банки в форме цилиндра потребуется 276,7125 см2 железа. Пусть из такого же куска железа изготовят банку кубической формы (рис.6). У куба 6 равных граней - квадраты, поэтому легко посчитать длину ребра куба и вычислить его объем:

276,7125:6=46,11875 (см2) -площадь одной грани куба.

=6,791 (см) - длина ребра куба.

Объем куба V =, где а - длина ребра куба. Объем V искомого куба равен

6,791 * 6,791*6,791=313,19

Получаем, что объем кубической банки из того же куска металла на

353,25-313,19=40,06   меньше, чем цилиндрической. А что получится, если из этого же металла изготовить шарообразную банку (рис.5)?

Исследуем данный вопрос. Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле S=4πR2. Зная площадь, легко подсчитать радиус сферы:

R==4,69 см. Зная радиус сферы, можно вычислить объем шара по формуле: V = 

V=*3,14*=431,9

Получается,  если из металла той же площади, из которой первоначально была изготовлена консервная банка, изготовить шарообразную банку, то её объем вырастет по сравнению с цилиндрической на

 431,9-353,25=78,65 . Но шарообразные банки неудобны в использовании.

Выводы.

 Итак, объем куба меньше объема цилиндра, а объем цилиндра меньше                 объема шара. Отсюда следует, что в целях экономии металла консервные банки выгоднее делать не в форме куба, а в форме цилиндра, причем такого, у которого высота равна диаметру (h=2r). Конечно, еще большая экономия металла получится, если делать консервные банки в форме шара, но такие банки неудобны в использовании.

Получается, что люди уже давно научились сравнивать объемы некоторых тел и применять эти сравнения в жизни. Приведу еще один интересный рассказ о надгробии на могиле древнегреческого ученого Архимеда. Мы рассмотрели формулы для вычисления объемов некоторых многогранников и круглых тел. Задумаемся над таким вопросом: а как давно появились эти формулы и кто первым открыл их? Оказывается, формулы объемов многих тел, в том числе все рассмотренные нами формулы, были известны много веков назад, еще до нашей эры. В те давние времена шло постепенное накопление геометрических фактов и формул, используемых в практической деятельности людей. Одной из задач практической геометрии была задача определения объемов строящихся сооружений: храмов, домов, амбаров и т. д. Если  сооружение имело форму параллелепипеда, призмы или цилиндра, то его объем вычислялся путем умножения площади основания на высоту. Таким образом, простейшими формулами объемов тел люди пользовались с  незапамятных времен.

   Позднее, в период становления геометрии как науки, благодаря трудам древнегреческих ученых Демокрита, Евдокса Книдского и Архимеда были открыты и обоснованы формулы для вычисления объемов пирамиды, конуса, шара и других тел.  Демокрит  из Абдеры еще в V веке до нашей эры установил, что объем пирамиды равен одной трети объема призмы, а объем конуса - одной трети объема цилиндра с теми же основаниям и высотой. Однако, по мнению Архимеда, Демокрит не дал строго доказательства этих формул, а первым, кто нашел доказательства, был Евдокс Книдский (считается, что в 1992 году исполнилось 2400 лет со дня его рождения). Его доказательства основывались на созданном им методе исчерпывания. Суть метода состоит в том, что тело, объем которого нужно найти, заполняется более простыми телами, объемы которых известны. Эти более простые тела последовательно занимают все большую и большую часть тела и , в конце концов, полностью заполняют (исчерпывают) его. Архимед (III век до нашей эры) развил идеи Евдокса и разработал метод, содержащий зачатки интегрального исчисления. С помощью этого метода он вывел формулы объемов ряда тел. Плутарх писал, что во всей геометрии нельзя было найти более трудных и глубокомысленных задач, которые были бы решены так просто и ясно, как те, которыми занимался Архимед. Величайшим достижением Архимеда является открытие формул объема шара и площади сферы. Доказательство этих формул, использующие правила механики, содержится в его трактате «О шаре и цилиндре», здесь он приходит к выводу, что «объем шара, вписанного в цилиндр, в полтора раза меньше объема цилиндра и что так же относятся поверхности этих тел». В предисловии к трактату Архимед писал: «Разумеется, эти свойства были присущи этим телам всегда, но они остались неизвестными всем геометрам; ни один из них не заметил даже, что эти тела соизмеримы между собой». Как символ этого открытия на надгробном камне могилы Архимеда в Сиракузах изображен цилиндр с вписанным в него шаром. Сейчас даже школьник может решить эту задачу легко и просто, используя известные формулы:

Получается, что начиная с древнейших времен и по сегодняшний день задачи на сравнение объемов любых тел были и остаются актуальными. Иначе человек исчерпал бы все земные ресурсы еще тысячелетия назад.

Информационные источники.

1. Э. Кольман. История математики в древности. Государственное Издательство физико-математической литературы,М.,1961.
2. И. Депман. Рассказы о математике. Государственное Издательство Детской Литературы Министерства Просвещения РСФСР, Ленинград, 1954.
3. В.Ф.Бутузов, Ю.М.Колягин и другие. Математика 11. Учебное пособие для 11 классов общеобразовательных учреждений, «Просвещение» АО «Московские учебники», М.,1988.
4. Л.С Атанасян, В.Ф.Бутузов и другие. Геометрия 10-11. Учебник для общеобразовательных учреждений. Базовый и профильный уровни. М., «Просвещение», 2012.
5. https://ru.wikipedia.org
6. http://5terka.com/node/1725
7. http://www.home-edu.ru/user/uatml/00000693/obem.htm