Главные вкладки

    Проект «Скалярное произведение векторов в 11 классе». Урок решения ключевых задач
    проект по геометрии на тему

    Скамейкина Ольга Романовна

    Содержание

     

    §1. Обзор математической и методической литературы. 3

    §2. Общая характеристика темы:

    2.1 Особенности и роль темы в математике и в школьном курсе математики....4

    2.2 Историческая справка ………………………………………………………….5

    2.3 Программа по математике ……………………………………………………..7

    2.4 Сравнительный анализ содержания темы в школьных учебниках ……….....8

    §3. Логико-дидактический анализ содержания темы:

    3.1 Анализ теоретического материала …………………………………………...10

    3.2 Анализ задачного материала …………………………………………………12

    §4. Постановка учебной задачи и диагностируемых целей.  .......................................13

    §5. Тематическое планирование ……………………………………………………….14

    §6. Подробный конспект урока. ………………………………………………………..16

    Литература. ……………………………………………………………………………...27

     

    Скачать:

    ВложениеРазмер
    Файл proekt_skalyar_proizv_vektorov.docx112.43 КБ

    Предварительный просмотр:

    Федеральное агентство по образованию

    Российской Федерации

    ФГБОУ ВПО Нижегородский государственный

    педагогический университет имени Козьмы Минина

    (НГПУ им. Козьмы Минина)

    Кафедра: математического анализа, теории и методики обучения математике

    Проект

    «Скалярное произведение векторов в 11 классе».

    Урок решения ключевых задач

                               

    Содержание

    §1. Обзор математической и методической литературы        3

    §2. Общая характеристика темы:

    2.1 Особенности и роль темы в математике и в школьном курсе математики....4

    2.2 Историческая справка ………………………………………………………….5

    2.3 Программа по математике ……………………………………………………..7

    2.4 Сравнительный анализ содержания темы в школьных учебниках ……….....8

    §3. Логико-дидактический анализ содержания темы:

    3.1 Анализ теоретического материала …………………………………………...10

    3.2 Анализ задачного материала …………………………………………………12

    §4. Постановка учебной задачи и диагностируемых целей.        .......................................13

    §5. Тематическое планирование ……………………………………………………….14

    §6. Подробный конспект урока        ………………………………………………………..16

    Литература        ……………………………………………………………………………...27


    §1. Обзор математической и методической литературы

    Журнал  «Математика в школе» №7 , 2006 г.

    «Использование векторов для доказательств теорем  и решения задач» (М.Б. Волович, О. И. Новгородова).

    В данной статье рассматривается вопрос о том, нужны ли векторы в школьном курсе математики. Рассмотрены теоремы, в доказательстве которых используются векторы. К таким теоремам относят:  средняя линия треугольника параллельна основанию и  равна половине основания, теорема Пифагора, теорема косинусов, три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Ученики могут самостоятельно доказать  такие теоремы. И не делают этого, лишь потому что фраза «докажите теорему» звучит пугающе. Чтобы устранить барьер авторы статьи предлагают  многие теоремы формулировать в виде задач и после завершения доказательства сообщить ученикам, что они  доказали теорему. В качестве примера рассмотрена задача, в которой фактически нужно доказать теорему косинусов.

    Беклемишев, Д. В. «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры», 1998.

    В учебнике излагается основной материал, входящий в объединенный курс аналитической геометрии и линейной алгебры: векторная алгебра, прямые и плоскости, линии и поверхности второго порядка, аффинные преобразования, системы линейных уравнений, линейные пространства, евклидовы и унитарные пространства, аффинные пространства. Также имеются задачи и упражнения, снабженные ответами и указаниями.

    Звавич, Л. И. и др. «Геометрия 8-11 кл.», 2000.

    Пособие содержит контрольные работы для 8-11 классов, тематическую подборку задач, а также тематическое планирование.

    Крамор, В. С. «Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии», 2008.

    В книге в конспективной форме изложен теоретический материал по геометрии. В параграфах к каждому пункту теоретического материала преведены упражнения с решениями и упражнения трёх уровней сложности для самостоятельного решения.

    Постников, М. М. «Аналитическая геометрия», 1973 .

     Эта книга отличается от традиционных учебников аналитической геометрии по крайней мере в двух отношениях. Во-первых, в ней сделана попытка привести изложение аналитической геометрии на уровень строгости и формализации, давно уже достигнутый в учебниках алгебры и анализа. Во-вторых, помимо общеобязательных, стандартных вещей, в ней изложено довольно много материала либо никогда ранее в учебники не включавшегося, либо давно из учебников исключенного.

    Те отделы книги, в которых излагается стандартный обязательный материал, вполне доступны и «среднему» студенту. Эти отделы (отмеченные в оглавлении звездочками) изложены по возможности элементарно и со всеми подробностями. Отделы, посвященные факультативным вопросам, написаны более сжато и предъявляют к читателю большие (хотя и вполне посильные) требования.

    Привалов, И. И. «Аналитическая геометрия», 1966.

    В книге рассмотрены основные разделы аналитической геометрии: метод координат, прямые линии на плоскости и в пространстве, плоскости в пространстве, конические сечения, линии и поверхности 2-го порядка. Приведены необходимые сведения из векторной алгебры. В каждой главе имеются упражнения для самостоятельной работы.

    Саакян, С. М. «Изучение геометрии в 10-11 классах», 2010.

    Книга предназначена для учителей, преподающих геометрию по учебнику Л. С. Атанасян и др. «Геометрия 10-11 кл.». Данная книга написана в соответствии с методической концепцией учебника, полностью ему соответствует как по содержанию, так и по структуре. Книга содержит самостоятельные и контрольные работы, карточки для устного опроса, комментарии и решения к наиболее сложным задачам, варианты тематического планирования.

    Чехлов, В. И. «Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре», 2000.

    В данном пособии представлен курс  аналитической геометрии и линейной алгебры, соответствующий учебной программе. Содержание курса  в частности аналитической геометрии в основном традиционно. В изложении теории линейных пространств автор стремился показать основы линейного анализа.

    Шестаков, С. А. «Векторы на экзаменах. Векторный метод в стереометрии», 2005.

    Данное пособие предназначено старшеклассникам, абитуриентам, учителям математики. В нём изложены методы решения основных задач по стереометрии. Приводятся необходимые теоретические сведения, основные алгоритмы, базирующиеся на свойствах векторов и проиллюстрированные примерами, и задачами для самостоятельного решения.

    § 2. Общая характеристика темы:

    2.1 Особенности и роль темы в математике и в школьном курсе математики

    Векторы появились из  необходимости решения практических задач. Они стали важнейшим математическим аппаратом в электротехнике, радиотехнике, теории оптимального управления и т.д. Однако «широкого использования в приложениях» совершенно не достаточно, чтобы обречь на изучение векторов многие миллионы школьников, которым никогда не понадобятся эти приложения математики. Но всем без исключения понадобится умение думать над конкретными проблемами, с которыми каждый будет сталкиваться ежедневно, умение четко и доказательно обосновывать свои выводы. Одна из возможностей реализации этой цели – использование векторов для изучения  школьного курса геометрии.

    Многие из доказательств ныне действующих учебников по геометрии являются сложными из – за своей искусственности: непонятно, почему следует делать именно такие выводы, выполнять именно такие дополнительные построения.  Ученики могут самостоятельно доказать  такие теоремы. И не делают этого, лишь потому что фраза «докажите теорему» звучит пугающе. Чтобы устранить барьер многие теоремы можно формулировать в виде задач и решать с помощью векторов, после завершения доказательства сообщить ученикам, что они  доказали теорему. Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения векторов, позволяют избежать дополнительных построений или сделать их  естественно вытекающими из логики доказательства.

    Также скалярное произведение векторов  целесообразно использовать даже, там где ни слово «вектор», ни соответствующий символ не употребляются.

    2.2 Историческая справка

    Многие историки считают «родителями векторного пространства» ирландского учёного XIX в. У. Гамильтона, а также его немецких коллег и современников Г. Грассмана. Даже сам термин «вектор» ввел также Гамильтон около 1845 г. Он же определил скалярное и векторное произведения векторов в 1853 году. Заметим, что эти произведения фигурировали в работах Грасмана еще в 1844 году. Он называл их внутренним и внешним произведениями. Однако работы Грасмана не были поняты и по достоинству оценены современниками.

    Между тем историю векторного исчисления, как историю и корни всякой крупной математической теории, можно проследить задолго до его выделения в самостоятельный раздел математики. Так еще Архимед в его всем известном законе присутствует величина, характеризующаяся не только численным значением, но и направлением. Более того: векторный характер сил, скоростей и перемещений в пространстве был знаком многим ученым Античного времени, а «правило параллелограмма» сложения векторов было известно еще в IV в. Р. Х. математикам школы Аристотеля. Вектор обычно изображался отрезком с указанным на нем направлением, т.е. направленным отрезком.

    Параллельно с исследованиями комплексных чисел в работах многих математиков XVII-XVIII в. в., занимавшихся геометрическими проблемами, можно увидеть нарастание потребности в неком геометрическом исчислении, подобном численному (исчислению действительных чисел), но связанному с пространственной системой координат. Его в какой-то мере пытался создать еще Лейбниц, продумывая свою «универсальную арифметику», но, несмотря на гениальность и необычайную широту интересов, сделать это ему не удалось. Однако уже к концу XVIII в. отдельные идеи векторного исчисления, которое и стало тем исчислением, что искали геометры, смог сформулировать французский ученый Л. Карно. А в 30-х годах XIX в. у Гамильтона и Грассмана в работах по теории комплексных чисел и кватернионов эти идеи были сформулированы уже совершенно прозрачно, хотя, по существу, что удивительно, они имели дело только с некоторыми примерами тех конечномерных векторных пространств, которые теперь бы мы назвали – координатными.

    Так называемые функциональные векторные пространства привлекли внимание математиков уже в начале нашего века рослее инновационных результатов в этой области итальянца С. Пинкерля и немецкого математика О. Теплица, который известен своими работами по теории матриц, и, в частности, тем, что придумал удачную общую модель векторного пространства – координатное векторное пространство. Именно Хевисайд ввел в 1891 г. Одно из закрепившихся в научной литературе обозначающий вектора: а, автором двух других общепринятых ныне обозначений векторов: ā был Ж. Арган, а для обозначения свободного вектора предложил А. Мебиус. Термин «скалярный» в современном смысле впервые употребил У. Гамильтон в 1843 г.

    2.3 Программа по математике

    Тема «Скалярное произведение векторов» рассматривается в разделе «Метод координат в пространстве. Движения».

    Основная цель – сформировать умение учащихся применять векторно-координатный метод к решению задач на вычисление углов между прямыми и плоскостями и расстояний между двумя точками, от точки до плоскости.

    Данный раздел является непосредственным продолжением предыдущего «Векторы в пространстве». Вводится понятие прямоугольной системы координат в пространстве, даются определения координат точки и координат вектора, рассматриваются простейшие задачи в координатах. Затем вводится скалярное произведение векторов, кратко перечисляются его свойства (без доказательства, поскольку соответствующие доказательства были в курсе планиметрии) и выводятся формулы для вычисления углов между двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Дан также вывод уравнения плоскости и формулы расстояния от точки до плоскости.

    В конце раздела изучаются движения в пространстве: центральная симметрия, осевая симметрия, зеркальная симметрия. Кроме того, рассмотрено преобразование подобия.


    2.4 Сравнительный анализ содержания темы в школьных учебниках

    Л. С. Атанасян и др. «Геометрия, 10-11»

    И. М. Смирнова, В. А. Смирнов «Геометрия,  10-11кл.»(базовый и профильный уровни).

    Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич «Геометрия. 10 кл.» (с углубл. и профильным изучением математики).

    Глава V. Метод координат в пространстве.

    §1. Координаты точки и координаты вектора.

    п.42. Прямоугольная система координат в пространстве.

    п.43. Координаты вектора.

     п.44. Связь между координатами векторов и координатами точек.

    п.45. Простейшие задачи в координатах.

    §2. Скалярное произведение векторов.

    п.46. Угол между векторами.

    п.47. Скалярное произведение векторов.

    п.48. Вычисление углов между прямыми и плоскостями.

    §3. Движения.

    п.49. Центральная симметрия.

    п.50. Осевая симметрия.

    п.51. Зеркальная симметрия.

    п.52. Параллельный перенос. 

    Глава VII. Координаты и векторы.

    §50. Прямоугольная система координат в пространстве.

    §51. Расстояние между точками в пространстве.

    §52. Координаты вектора.

    §53. Скалярное произведение векторов.

    §54. Уравнение плоскости в пространстве.

    §55.Уравнения прямой в пространстве.

    §56. Аналитическое задание пространственных фигур.

    . Многогранники в задачах оптимизации.

     Полярные координаты на плоскости.

    . Сферические координаты в пространстве.

    . Использование компьютерной программы « Математика» для изображения пространственных фигур.

    Глава VII. Координатный метод в пространстве.

    §24. Декартова прямоугольная система координат в пространстве.

    п.24.1 Координаты вектора в пространстве. Линейные операции над векторами в координатах.

    п.24.2 Скалярное произведение векторов в координатах.

    п.24.3 Проекции вектора на ось в координатах.

    п.24.4. Декартовы прямоугольные координаты точки.

    п.24.5. Решение простейших задач стереометрии в координатах.

    §25. Задание фигур уравнениями и неравенствами.

    п.25.1. Уравнение сферы

    п.25.2. Уравнение плоскости

    п.25.3. Прямая в пространстве в координатах

    п.25.4. Взаимное расположение прямой и плоскости в координатах

    §26. Расстояние от точки до плоскости в координатах.


    Выводы:

    1. По учебникам Л. С. Атанасян и Смирновых тема «Скалярное произведение» изучается в 11 классе, по Потоскуеву данная тема изучается в конце 10 класса.
    2. Скалярное произведение векторов  у Атанасян Л. С. и др. рассматривается в разделе «Метод координат в пространстве», у Смирновой И.М. и Смирнова В. А. в теме «Координаты и векторы», в учебнике Потоскуева Е. В. в теме «Координатный метод в пространстве».
    3. У Атанасян и Смирновых данная тема выделена в отдельный параграф (§2 и §53 соответственно), у Е. В. Потоскуева она включена в параграф «Декартова прямоугольная система координат в пространстве».
    4. Как у Л. С. Атанасян, так и у Смирновых определение прямоугольной системы координат дается через перпендикулярные прямые, а у Потоскуева Е. В. через базисные векторы.
    5. Скалярное произведение и у Атанасян и у Смирновых рассматривается после изучения расстояния между точками и нахождения длины вектора, а у Потоскуева Е.В. после определения декартовой системы координат  и признака коллинеарности  двух векторов. Расстояние  между двумя точками Потоскуев Е.В. рассматривает позднее, уже после введения скалярного произведения.
    6. Для нахождения скалярного произведения через координаты Л. С. Атанасян и Смирновы рассматривают физический смысл скалярного произведения векторов и свойства скалярного произведения, аналогичные свойствам произведения чисел. А Потоскуев Е. В. - через базисные векторы.
    7. У Л. С. Атанасян и Е. В. Потоскуева выделен отдельный пункт, посвящённый простейшим задачам в координатах (п.45 и п.24.5 соответственно), Смирновы отдельный пункт решения задач – не выделяют.
    8. Потоскуев Е.В. в §25 « Задание фигур уравнениями и неравенствами» рассматривает отдельные пункты «Уравнение сферы», «Уравнение плоскости», «Прямая в пространстве в координатах», «Взаимное расположение прямой и плоскости в координатах». Смирновы эти темы рассматривает в отдельных параграфах. У Л. С. Атанасян и др. «Уравнение сферы» вводится в следуещей главе в параграфе «Сфера».
    9. У Л. С. Атанасян и др. в этой же главе, рассматривается понятие движения (центральная симметрия, осевая симметрия, зеркальная симметрия параллельный перенос), в учебнике Смирновых данные понятия рассматриваются ранее в главах II «Параллельность в пространстве» и V «Круглые тела». У Потоскуева понятия Движения вводятся в 11 кл. в I главе «Преобразования пространства».
    10.  У Смирновых круглые тела (сфера, шар, конус, цилиндр) изучаются до темы «Скалярное произведение векторов» в главе V. У Атанасян и Потоскуева тела вращения изучаются позднее.
    11. У Смирновой есть параграфы со звездочкой -,,,. Потоскуев Е.В. и Л. С. Атанасян и др. данные темы не рассматривают.

    §3. Логико - дидактический анализ содержания темы

    1. Анализ теоретического материала

    В учебнике «Геометрия» Л.С. Атанасян и др. тема «Скалярное произведение векторов» представлена в V главе « Метод координат в пространстве. Движение».

    Основными дидактическими единицами темы «Скалярное произведение векторов» являются:

    -определения: угол между векторами, перпендикулярность векторов, скалярное произведение векторов, направляющий вектор прямой;

    -утверждения: скалярное произведение не нулевого вектора равно нулю, скалярный квадрат вектора;

    - основные свойства скалярного произведения;

    -формула вычисления скалярного произведения в координатах, формула косинуса угла между двумя векторами.

    В §1 главы V вводится прямоугольная система координат. Рассматривается нахождение длины отрезка, середины отрезка, расстояние между двумя точками зная координаты векторов.

    Во 2 параграфе введено определение скалярного произведения векторов.

    Утверждения «скалярное произведение ненулевых векторов  равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны»; «скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины» предлагаются учащимся доказать самостоятельно. Основные свойства скалярного произведения векторов сформулированы,  но доказательство предлагается вспомнить учащимся из планиметрии.

    Л.С. Атанасян и др. тему «Уравнение плоскости» выделяет как дополнительный более сложный материал необязательный для изучения. В этом параграфе вводится уравнение плоскости и рассмотрены задачи с решением.

    Вывод:

    Таким образом, при изложении темы «Скалярное произведение векторов» авторы учебника не заостряют особого внимания на  строгих математических доказательствах  утверждений и свойств, скалярного произведения векторов. Учащимся предлагается самостоятельно доказать два утверждения, которые применяются в дальнейшем:

    1). Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы параллельны;

    2). Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

    Однако, следует отметить, что отсутствует аналитическая запись этих утверждений:

    1. ;
    2.  , что упростило бы восприятие учащихся.

    Свойства скалярного произведения доказываются точно так же, как и в планиметрии.

    Формула косинуса угла между двумя векторами выводится из формулы скалярного произведения.

    В учебнике рассмотрены две типовые задачи (решённые задачи 1 и 2) в которых выводится формула вычисления угла между ненулевыми векторами с заданными координатами, и угла между прямой и плоскостью. Но, перед рассмотрением данных задач необходимо ввести понятие направляющего вектора прямой.

    При изучении темы «Скалярное произведение векторов» целесообразно использовать аналогию между рассматриваемыми понятиями на плоскости и в пространстве.

    1. Анализ задачного материала

    В теме «Скалярное произведение векторов» все задачи можно разделить на следующие группы:

    Найти угол между векторами: №  441, 442, 446, 451, 452, 453, 455, 456, 462 (е, ж), 464, 466, 467, 468, 473, 476.

    Вычислить угол между прямой и плоскостью: № 469, 470.

    Найти скалярное произведение векторов: № 443, 444, 445, 457, 459 (а), 462 (а, б, в).

    Вычислить длину вектора: № 459 (б), 462 (г, д), 475.

    При каком значении: 448 (б), 449.

    Однако, есть задача в которой кроме угла, нужно вычислить периметр и площадь  треугольника: № 454.

    Задачи на доказательство: № 447, 450, 461, 471, 472, 477.

    А так же приводятся решённые задачи: № 458, 460, 463, 465, 474 – задачи-факт.

    Выводы: После изучения теории необходимо выделить урок решения ключевых задач. Но, для начала рассмотреть уже решённые задачи 1 и 2 (из §2). Полезно рассмотреть пример применения скалярного произведения в физике. Задачи данной темы в основном вычислительного характера (т.е. требуется что-либо найти: угол между векторами, скалярное произведение, длины векторов и т.п.), достаточно задач на доказательство, много приведено решённых задач. В профильных классах (или сильным учащимся) можно предложить решить задачи: № 454-456, 461, 462.

    §4. Постановка учебной задачи и диагностируемых целей.

    Учебная  задача:

    1. Формирование представления о понятии  скалярного произведения векторов, угла между векторами, изучение свойств скалярного произведения векторов;
    2. Сформировать у учащихся умение применять векторный метод к решению задач на нахождение длин отрезков и углов между прямыми и векторами в пространстве;
    3. Выявление групп взаимосвязанных задач по теме.

    Диагностируемые цели:

    В результате ученик:

    Знает:

    - угол между векторами;

    - определение скалярного произведения векторов;

    - утверждения скалярного произведения векторов;

    - основные свойства скалярного произведения векторов;

    - формулу вычисления скалярного произведения в координатах;

    - формулу косинуса угла между двумя векторами, между прямыми.

    Умеет:

    - формулировать определение скалярного произведения векторов;

    - применять свойства скалярного произведения векторов;

    - находить угол между векторами;

    - находить скалярное произведение векторов;

    - вычислять длину вектора;

    - вычислить угол между прямой и плоскостью.

    Использует необходимую математическую символику.

    §5. Тематическое планирование

    Л. С. Атанасян и др. «Геометрия, 10-11кл.»

    урока

    Тема урока

    Тип урока

    Цель урока

    1

    Угол между векторами. Скалярное произведение векторов

    Урок - изучения нового

    Ввести понятие угла между векторами и скалярного произведения векторов. Рассмотреть  формулу скалярного произведения в координатах, основные свойства скалярного произведения векторов.

    2

    Угол между векторами. Скалярное произведение векторов

    Урок - решения задач

    Формировать умения применять полученные знания к решению задач.

    3

    Вычисление углов между прямыми и плоскостями

    Урок- практикум

    Выявить совместно с учащимися, как используется скалярное произведение векторов при решении задач на вычисление углов между двумя прямыми, а также между прямой и плоскостью.

    4

    Скалярное произведение векторов

    Урок - решения ключевых задач

    Формировать умения применять полученные знания при решение более сложных задач.

    5

    Скалярное произведение векторов

    Урок – решение задач; самостоятельная работа

    Выявить степень усвоения теоретического материала и степень сформированности умений применять их на практике.

    Урок решения ключевых задач

    Урок решения ключевых задач проводится после прохождения теории по теме.

    Ключевая задача – это самостоятельная дидактическая единица, предметом усвоения которой является либо ее результат, либо идея решения (новый метод, прием, способ), либо и то и другое вместе.

    Различают ключевую задачу-факт и задачу-метод. Если в результате решения задачи устанавливается новый факт, формула, свойство или признак какого-либо понятия или отношения, то имеем задачу-факт, или задачу-теорему. Если в процессе решения задачи обнаруживается какой-либо новый для учащихся метод, способ, прием рассуждения, решения или составления задачи, то имеем задачу-метод. Есть задачи, которые одновременно иллюстрируется что-то новое в решении и дают интересный и важный результат. На одной задаче можно иллюстрировать не один прием или метод. Для разных приемов могут быть использованы разные задачи. Так что число и содержание ключевых задач в теме определяется неоднозначно. Многое здесь зависит от темы, от мастерства учителя, от целей, которые он ставит, и от особенностей класса.

    Ключевая задача по теме выявляется на основе анализа всех задач , предлагающихся в учебнике, а также максимально возможного числа задач из других источников.

    Цели уроков решения ключевых задач:

    - установление новых для учащихся фактов (признака, свойства, правила), который в дальнейшем будет использоваться как известный;

    - ознакомление с новым типом задач и методом их решения;

    - ознакомление с новым общелогическим методом рассуждений;

    - выявление возможностей использования изученного теоретического материала в решении задач;

    - обнаружение нового частного приема, способа, метода решения или составление задач и другие.

    Уроки решения ключевых задач могут проводиться в разных формах. Это может быть и урок-лекция, и обычный традиционный урок с фронтальной формой работы, и урок-семинар


    §6. Подробный конспект урока

    «Скалярное произведение векторов».

    Учебник: Л. С. Атанасян и др. «Геометрия, 10-11».

    Тип урока: Решение ключевых задач (2 часа).

    Учебная задача: Применение теоретического материала темы к решению задач.

     Выявить основные типы задач.

    Диагностируемые цели:

    В результате ученик:

    Знает - основные типы задач данной темы:

    -угол между векторами;

    -скалярное произведение векторов;

    -угол между двумя прямыми;

    -угол меду прямой и плоскостью.

    Умеет:

    - применять свойства скалярного произведения векторов при решении задач;

    - находить угол между векторами;

    - находить скалярное произведение векторов;

    - вычислять длину вектора;

    - вычислить угол между прямой и плоскостью.

    Метод обучения: Метод УДЕ.

    Форма обучения: фронтальная, индивидуальная.

    Оборудование: Презентация, документ-камера.

    Действия учителя

    Действия ученика

    Записи на доске (в тетрадях)

    Здравствуйте, ребята!

    1. Мотивационно-ориентировачный этап

    Актуализация:

    В начале урока одному или двум ученикам даётся задание (на листочке): Написать свойства скалярного произведения и их названия (на оценку).

    - Посмотрите на слайд. По данному рисунку найдите угол между векторами.

    1.    (60º)
    2.    (150º)
    3.    (30º)

    (Объясните, как нашли?)

    (А что называется углом между векторами?

    Т.о., векторы должны быть отложены от одной точки!)

    1.    (90º, т.к. )
    2.    (0º, т.к. сонаправленные)
    3.   (180º, т.к. противоположно направленные)
    4.   (0º, т.к.   - нулевой)

    -  Итак, ребята, в каких же границах измеряются углы между векторами?

    -  На прошлом уроке, мы договорились, что угол между прямыми может принимать значения  от 0º до 90 º. А угол между прямой и плоскостью?

    - Что называется  скалярным произведением векторов?

    - Как это определение запишется в символьной форме?

    - Что мы можем найти, используя формулу скалярного произведения?

    - Посмотрите, сколько задач мы можем решить, пользуясь только одной формулой.

    - От чего зависит знак Возможны 3 случая:

    1) Если угол между векторами  ?

    2) Если ?

    3) Крайний случай, если ?

    Чему равен ?

    - (по рисунку) Чему равно скалярное произведение векторов ? (Обосновать)

    - А чему равно скалярное произведение векторов, если угол между ними равен нулю?

    -  Чему равен скалярный квадрат ? Квадрату чего?

    - Как найти , зная его координаты ?

    - Найти  

    - Известны координаты векторов. Сформулируйте теорему о скалярном произведении в координатах.

    • Что мы можем найти, зная скалярное произведение векторов  и произведение их первых и вторых координат координаты ?
    • А если нам известно скалярное произведение векторов  и произведение их  вторых  и третьих координат координаты (первых и третьих) ?

    - Если векторы перпендикулярны, то чему равно их скалярное произведение в координатах?

    -Как найти косинус угла между ненулевыми векторами?

    -Хорошо. А как найти косинус угла между прямыми?

    А для чего нужен модуль?

    Мы уже вспоминали, что угол между векторами от 0 до 180º, а угол между прямыми  от 0 до 90º, и для того, чтобы не получить между ними (прямыми) угол больше 90º, ставим модуль.

    - Давайте вспомним свойства скалярного произведения.(C помощью документ - камеры)

    -Хорошо. На прошлом уроке мы решали простые задачи. Сегодня тему продолжим и будем решать более сложные задачи, поэтому открываем тетради, записываем число, классная работа, тема - Решение задач. А цель нашего урока- выделить  основные типы задач, которые вы должны уметь решать в этой теме (ученикам раздается канва-таблица).

    - Углом между двумя ненулевыми векторами называется величина заданного ими угла, когда они отложены от одной точки.

    α180º

    - Тоже, 0ºα90º

    - Скалярным произведение двух ненулевых векторов, называется произведение их длин на косинус угла между ними.

    а) скалярное произведение;

    б)  ) (если известно скалярное произведение и длины векторов);

    в) произведение длин векторов (если известно скалярное произведение и cos угла);

    г)  (или ) (если известно скалярное произведение,  ) и  (или ).

    - знак  зависит от того, в каких границах лежит угол между векторами.

    -0, значит угол острый.

    -0, угол тупой.

    - То угол прямой.=0

    =0

    - Скалярное произведение равно нулю, т.к. векторы перпендикулярны.

    - Скалярное произведение равно произведение их длин, т.е. =.

    - Скалярный квадрат вектора а равен квадрату его длины, т.е.

    -

    - Скалярное произведение и   выражается формулой  

    -произведения третьих координат

    -произведение первых координат   (произведение вторых координат  )

    - Ненулевые векторы  и   перпендикулярны тогда и только тогда, когда ++= 0

    -

    -

    1. ² ≥ 0, причем ² > 0 при ≠ 0.

    2. · = ·  (переместительный закон).

    3. ( + ) · =  ·  +  ·  (распределительный закон).

    4. k · ( · ) = (k · ) ·  (сочетательный закон).

    (на слайде)

    Найти   если известно, что A (-3,-2,4)  B(-4, 3,2).

    ==

    II.Операционно-познавательный этап.

    - Вы будите заполнять эту таблицу, а затем вклеите её в тетрадь. Первую строчку оставьте пустой, мы её заполним в ходе урока.  Задача № 446. А в 1-ой колонке запишем её решение. (Один из учеников читает задачу из учебника, а затем выходит к доске)

    - С чего начнём решать задачу?

    -Какой формулой воспользуемся?

    -Хорошо

    -Мы уже обсудили  с вами от чего зависит знак . Значит, в этой дроби нам нужно найти только числитель.

    -Какой угол получили?

    - Решаем под буквой б, затем под в.

    -Что находили в задаче?

    - Записываем название первой колонки.

    -Во второй колонке решаем задачу № 457(Один из учеников читает задачу из учебника, а затем выходит к доске).

    -Что нам нужно найти в этой задаче?

    Из условий задачи сумму мы найти не можем. Что мы ещё знаем про скалярное произведение векторов?

    -Какое здесь свойство? Запишите его.

    -Посмотрите внимательно, что теперь нужно найти?

    -Хорошо, решаем.

    -Что мы находили в этой задаче?

    -Молодцы. Записываем название второй колонки,  и решим здесь ещё одну задачу, №445(д) (Один из учеников читает задачу из учебника, а затем выходит к доске).

    -Что нужно найти в задачи?

    - Мы можем найти его в координатах.

    Вспомните, что означает запись 3-5+ , -5?

    -Назовите координаты вектора ,2, 2?

    -Что теперь нужно найти?

    -Хорошо. Какой формулой воспользуемся для нахождения скалярного произведения векторов?

    - Молодцы! Решим  следующую задачу в третьем столбце. (Один из учеников читает задачу  со слайда, а затем выходит к доске).

    - Что нужно найти?

    -Введем систему координат.

    - Вспомните, по какой формуле мы можем вычислить косинус угла?

    - - это что такое в формуле?

    -Как связать эти координаты с векторами?

    -Хорошо. То есть на прямых AC и MN выберем направляющие векторы.

    -Чтобы найти координаты векторов, что мы должны знать?

    -Теперь у нас все есть, и остается подставить в формулу.

    - Хорошо! Что мы находили в этой задаче?

    - Записывайте название 3-ей колонки.

    - Переходим в 4-ую колонку. Та же задача, но нужно        б) вычислить sin угла между прямой MN и плоскостью грани ABD.

    - На прошлом уроке, вектор перпендикулярный к плоскости мы назвали нормалью. Как найти угол между прямой и плоскостью?

    - Какой вектор будет нормалью?

    Находите его координаты. А координаты  находили а).

    - И 4-ая колонка называется…

    -Найдем угол между векторами.

    - )=

    - от числителя.

    - Тупой, так как  )<0

    -Угол между векторами.

    -Скалярное произведение.

    -Свойства скалярного произведения векторов.

    -Распределительный закон.

    -Скалярное произведение векторов    и  

    -Вычисление скалярного произведения векторов.

    - Скалярное произведение векторов (- 2 и -2)

    -Разложение векторов    по трем единичным векторам i,j,k.

    -Координаты( - 2 и -2)

    -Формулой скалярного произведения в координатах.

    -Косинус угла между прямыми.

    -координаты векторов.

    - через направляющий вектор.

    - и .

    -координаты точек.

    - Угол между прямыми.

    - Найти угол между направляющим вектором этой прямой и нормалью.

    .

    - Угол между прямой и плоскостью.

    №446.

    Даны векторы ,,. Выясните, какой угол(острый, прямой или тупой) между векторами:

    а)  и,

    б)  ,

     .

    Решение:

    а)

    , значит угол тупой.

    б)   = ++ = ,

    в)   == ++ = , угол прямой.

    Ответ: а) тупой, б) острый, в) прямой.

    №457

    Дано: ^=^=60º,  

    Вычислить: (+

    Решение:

    (+  = +   

     =    )=1 =2=1

    2)= )=2=4=2

    3) (+ =+ = 1+2=3  

    Ответ: 3.

    №445(д)

    Дано:3-5+ , -5

    Найти: (- 2-2)

    Решение:

    1)

     

     

    2

     

     

     

    2

    2)

    - 2 

    -2

    3)

    (- 2-2)=3+(-7)=28

    Ответ: 28

    Задача:

     В тетраэдре ABCD,   

    а) Вычислите  косинус угла между прямой,  проходящей через середины ребер AD и BC,и прямой AC.

    а)

    1).

    2) А (2, 0, 0)

         В (0, 0, 0)

         С (0, 1, 0)  

         D (0, 0, 2)

    Т.к. М – середина [AD], то , т.е.

         М (1, 0, 1), аналогично

          N (0, , 0)

    ,

    1.  =  =

    Ответ:

    б)  - нормаль.

    , .

    =  

    Ответ:

    III.Рефлексивно-оценочный этап.

    1. Самостоятельно в тетрадях:

    1 вариант

    Вычислите косинус угла между прямыми MN и DC; и, синус угла между прямой MN и плоскостью BDC.

    2 вариант:

    Вычислите косинус  угла между прямыми MN и DA; и, синус угла между прямой MN и плоскостью ABC.

    (Результаты двоих учеников проектируются на доску (с помощью документ-камеры), а остальные обмениваются тетрадями с соседом по парте и проверяют).

    1. Цель нашего урока была выделить основные задачи темы. Откройте таблицы, и назовите, какие типы задач мы выделили?

    (Угол между векторами; скалярное произведение векторов; угол между прямыми; угол между прямой и плоскостью).

    Д/з  №445 (а-г);

            № 454 (кроме углов треугольника, надо найти периметр и площадь);

            № 474 (разобрать решение и переписать его в тетрадь).

    - Урок закончен! До свидания!

    Канва-таблица

    Решение ключевых задач по теме «Скалярное произведение векторов»

    Заполненная Канва-таблица

    Решение ключевых задач по теме «Скалярное произведение векторов»

    Угол между векторами

    Вычисление скалярного произведения векторов

    Угол между прямыми

    Угол между прямой и плоскостью

    №446.

    Дано: ,,. Выяснить:

    а)  и,

    б)  ,

     .

    Решение:

    а)

    , значит угол тупой.

    б)   = ++ = ,

    в)   == ++ = , угол прямой.

    Ответ: а) тупой, б) острый, в) прямой.

    №457

    Дано:

     ^=^=60º,  

    Вычислить: (+

    Решение:

    (+  = +   

     =    )=1 =2=1

    2)= )=2=4=2

    3) (+ =+ = 1+2=3  

    Ответ: 3.

    №445(д)

    Дано:

    3-5+ ,   -5

    Найти: (- 2-2)

    Решение:

    1).  

      

    2

     

     

     

    2

    2).

    - 2 

    -2

    3).

    (- 2-2)=3+(-7)=28

    Ответ: 28

    Задача:

     ABCD - тетраэдр,    =90º, AB=BD=2, BC=1.

     а) Вычислите косинус угла между прямой,  проходящей через середины ребер AD и BC,и прямой AC.

    Решение:

                 1). =

    2) А (2, 0, 0) ,  В (0, 0, 0) , С (0, 1, 0) ,  D (0, 0, 2)

    Т.к. М – середина [AD], то , т.е.

         М (1, 0, 1), аналогично  N (0, , 0)

    ,

     =  =

    Ответ:         

    Задача: 

    б) Вычислить синус угла между прямой MN и плоскостью грани ABD.

    Решение:

      - нормаль.

    , .

    =  

    Ответ:


    Записи в тетради

    Число

    Классная работа

    Решение задач

    A (-3,-2,4),  B(-4, 3,2). Найти  ?

    ==

    1 вариант

    а) Найти косинус угла между прямыми MN и DC;

    б) Найти синус угла между прямой MN и плоскостью BDC.

    Решение:

    а).

    1). =

    1. С (0, 1, 0) ,  D (0, 0, 2)

     М (1, 0, 1),  N (0, , 0)

    ,

    1.  =  =

    Ответ:

    б).

     - нормаль.

    А (2, 0, 0) ,  В (0, 0, 0)

    , .

    =  

    Ответ:

    2 вариант

    а) Найти косинус угла между прямыми MN и DA;

    б) Найти синус угла между прямой MN и плоскостью ABC.

    Решение:

    а).

    1). =

    1. А (2, 0, 0)  ,  D (0, 0, 2)

     М (1, 0, 1),  N (0, , 0)

    ,

    1.  =

    Ответ:

    б).

     - нормаль.

    В (0, 0, 0), D (0, 0, 2)

    , .

    =  

    Ответ:

    Литература

    1. Беклемишев, Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры [Текст]. 7-е изд., стер. — М.: Высш. шк., 1998. — 320 с.
    2. Волович, М. Б., Новгородова, О. И. Использование векторов для доказательств теорем и решения задач / М. Б. Волович, О. И. Новгородова // Математика в школе. – 2006. - №7. – С. 57-61.
    3. Геометрия, 10-11 [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – 14-е изд. – М.: Просвещение, 2005. – 206 с.
    4. Звавич, Л. И. и др. Геометрия. 8-11 кл. [Текст]: Пособие для шк. и кл. с углубл. изуч. Математики / Л. И. Звавич, М. В. Чинкина, Л. Я. Шляпочкин. – М.: Дрофа, 2000. – 288 с.
    5. Крамор, В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии [Текст] / В. С. Крамор. – 4-е изд. – М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2008. – 336 с.
    6. Постников, М. М. Аналитическая геометрия [Текст]. — М.: Наука, 1973. — 754 с.
    7. Потоскуев, Е. В., Звавич, Л. И. Геометрия. 10 кл. [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений с углубл. и профильным изучением математики / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. – 6-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 223 с.
    8. Привалов, И. И. Аналитическая геометрия [Текст]. – М.: Наука, 1966. – 272 с.
    9. Программы общеобразовательных учреждений: Геометрия 10-11 кл. / Сост. Т. А. Бурмистрова. – М.: «Просвещение», 2009.
    10. Саакян, С. М. Изучение геометрии в 10-11 классах [Текст]: кн. для учителя / С. М. Саакян, В. Ф. Бутузов. – 4-е изд., дораб. – М.: Прсвящение, 2010. – 248 с.
    11.  Смирнова, И. М. Геометрия. 10-11 класс [Текст]: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений  (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.
    12.  Чехлов, В. И. Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре [Текст]: Учебное пособие. - М., изд. МФТИ, 2000. – 260 с.
    13.  Шестаков, С. А. «Векторы на экзаменах. Векторный метод в стереометрии [Текст]. – М.: МЦНМО, 2005. – 112 с.


    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    Конспект урока «Решение лингвистических задач на основе произведения Л.Петрушевской «Пуськи бятые»

    Тема урока: «Решение лингвистических задач на основе произведения Л.Петрушевской «Пуськи бятые»Тип урока: урок-исследованиеЦели деятельности учителя: способствовать созданию умения рассуждать (с ...

    Решение ключевых задач по теме "Подобие треугольников"

    На примере ключевых задач рассматривается решение сложных задач по геометрии ЕГЭ и ГИА...

    Презентация. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов. 11 класс.

    Презентация к уроку геометрии в 11 классе по теме: "Угол между векторами. Скалярное произведение векторов"...

    урок решения ключевых задач по теме Квадратные корни.

    На данном уроке рассматриваются основные виды задач, решаемые на основе изученной теории, в частности, на вынесение множителя из-под знака корня, внесение множителя под знак корня, приемы их решения....

    Урок "Решение ключевых задач по теме ПИРАМИДА" 10 класс

    Урок по теме "Пирамида: решение ключевых задач" является одним из главных уроков в главе "Многогранники".  Задачи урока: систематизировать знания по теме «Пирамида», закрепить навыки построения п...

    ПРОЕКТ: «Арифметическая и геометрическая прогрессии. Урок решения ключевых задач»

    ОглавлениеОбщая характеристика темы. 3Историческая справка. 3Особенности и роль темы в математике и в школьном курсе математики. 5Инвариантное содержание темы (из программы по математике) 6Обзор литер...

    Урок решения ключевых задач по теме "Арифметическая и геометрическая прогрессии"

    Обобщающий материал по теме "Арифметическая и геометрическая прогрессии", предназначенный для 9 класса по учебнику Макарычева....