Развитие познавательного интереса учащихся, при изучении темы «Площади фигур»
методическая разработка по геометрии (8 класс) на тему

Приложение № 1

Исторические сведения о площадях на кружковых занятиях

1. Вычисление площадей в древности

Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий.

Еще 4-5 тыс. лет назад вавилоняне имели определять прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служил эталоном при измерении площадей, благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, ими можно заполнять площадь без пробелов.

Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции: основание треугольника делилось пополам и умножалось на высоту; для трапеции сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту. Для вычисления площади S четырехугольника  со сторонами a,b,c,d (рис.1) применялась формула

 (1)

Эта формула верна только для прямоугольника. С ее помощью можно вычислить приближенно площадь таких четырехугольников, у которых углы близки к прямым.

Задание ученикам:

Задание:1. Доказать, что египетская формула (1) для вычисления площади верна для прямоугольника.

2. Измерение площадей в древней Греции.

В своих «Началах» Евклид не употребляет слова «площадь», так как он под своими словами «фигура» понимает часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией. Евклид не выражает результат измерения площади числом, а сравнивает площади различных фигур между собой. Например:

 Задача 2. Параллелограммы (рис.  ) находятся на равных основаниях и между теми же параллельными, равны между собой, т.е. равновеликими. Докажите?

Задача 3.

«Если параллелограмм ABCD имеет с треугольником BCE одно и то же основание – BC (рис .) и находится между теми же параллельными, то параллелограмм будет вдвое больше треугольника. Докажите»  

Как и другие ученые древности, Евклид занимается вопросами превращения одних фигур в другие или равновеликие. Так в «Началах» решается задача о построении квадрата, равновеликого любому данному многоугольнику, при этом  Евклид оперирует самими площадями, а не числами, которые выражают эти площади. То, что мы получаем с помощью алгебры, Евклид получил геометрическим путем. Извлечение квадратного корня из числа означало для Евклида построение стороны квадрата, площадь которого равна площади данного многоугольника (рис.   )

3.Измерение площади на Руси

Потребность измерения расстояний и площадей привела к созданию на Руси рукописей геометрического содержания чисто практического характера. Первые сведения о таких рукописях относятся к XVI в. О промерах расстояний на Руси сохранились более древние памятники. В Государственном Эрмитаже хранится камень с надписью: «В лето 6576 Глеб князь мерил морем по льду от Тмутороканя до Корчева 14 тысяч сажен». Эта запись означает, что в XI в., точнее в 1068 г., было измерено расстояние между городами Таманью и Керчью через Керчинский пролив по льду.

В старейшем русском памятнике XII в. «Русская правда» говорится о межах, т. е. о границах земельных владений.  

Многие рукописи, существовавшие в Древней Руси, до нас не дошли. В высказываниях историков XVIII в. имеются заслуживающие доверия указания о том, что им были известны математические рукописи XVI в. Так, В. Н. Татищев (1686—1750) — автор «Истории Российской с древнейших времен...» — утверждал, что он читал наказ, данный в 1556 г. писцам о том, как следует измерять землю. К наказу, по его словам, прилагались «землемерные начертания» — чертежи. Однако этот наказ бесследно пропал.

Также бесследно исчезли математические рукописи XVII в.. принадлежавшие писателю и известному историку Н. М. Карамзину (1766-1826). В настоящее время известны 2—3 рукописи XVII в., посвященные целиком арифметике или геометрии, и несколько сборников естественнонаучного содержания, в которые включены и арифметико-гсометрические сведения.

И 1775 г. в Оружейной палате был найден «Устав ратных и других дел, касающихся до воинской науки», составленный в начале XVII в, (после того как он был перепечатан, подлинник устава также был утерян). В этом уставе имеются (правда, довольно туманные) правила рецептурного характера для определения расстояния между предметами.

В сохранившейся рукописи «Книга сошного письма», написанной в 1629г., имеется глава «О земном верстании, как земля верстать». По-видимому, оригинал этой рукописи был создан значительно раньше, а сохранилась до наших дней одна из копий, переписанная с большим числом ошибок.

В главе «О земном верстании» собраны правила измерения площадей фигур различной конфигурации и приведен ряд примеров, как этими правилами пользоваться. Но выводов или обоснований  указанных в правилах нет. В рукописи рекомендуется производить измерение и вычисление площадей различных фигур посредством измерения площадей простейших фигур: квадрата, прямоугольника, треугольника и трапеции.

Площадь прямоугольника согласно указаниям в этой рукописи следует вычислять путем выделения из прямоугольника наибольшего квадрата, а площадь оставшегося после отсечения квадрата прямоугольника вычислить, узнав, какую долю наибольшего квадрата составляет его площадь, посредством сравнения длины стороны квадрата и малого прямоугольника (см. рис. 8, на котором обозначения даны современные).

Для вычисления площади треугольника в рукописи рекомендуется произведение большей и меньшей сторон разделить на два. Это правило дает лишь приближенное значение истинного размера площади.

Площадь равносторонней трапеции в главе «О земном верстании» считается равной полусумме оснований, умноженной на большее основание. По-видимому, здесь вкралась ошибка при переписке рукописи. К этому заключению приводит сопоставление данного правила с аналогичным правилом в рукописях более поздних, в которых площадь трапеции выражается произведением полусуммы оснований на «хобот», т. е. на боковую сторону, что тоже неверно, но значительно ближе к истинной величине.

Из сказанного можно заключить, что точного измерения и вычисления площадей треугольников и трапеций составители этой рукописи не знали.

В ряде более поздних геометрических рукописей правила измерения площадей даются также догматически и разъясняются рядом примеров. В них тоже встречается немало ошибочных утверждений. Например, при измерении площадей указано, что фигуры с равными периметрами имеют равные площади. Однако даже неглубокий анализ таких ошибочных утверждений показывает, что они получились в результате недостаточно обоснованного применения частного правила к более общим случаям.

Вопреки сохранившимся рукописям создание «русскими мастерами каменных дел» различных грандиозных сооружений (кремлевских стен и башен, храмов) говорит о том, что эти мастера обладали довольно основательными знаниями в области геометрии, хотя возможно чисто рецептурного характера. Без таких знаний сооружение прекрасных зданий, как храм Василия Блаженного в Москве [1560 г., мастера Постник (Яковлев) и Барма], вряд ли можно было совершить.

4. Старинные занимательные задачи

Задача 1. (задача Архимеда) a) Начерчена полуокружность ABC. Из точки В опущен на диаметр АС перпендикуляр BD, и на диаметрах, описаны две полуокружности AFD и DHC. Докажите, сто площадь получившейся секирки (арбелона) AFDHCBA равна площади круга диаметра DB.

Решение: Пусть S – площадь арбелона, тогда , но AC=AD+DC, следовательно , т.к. AD*CD=BD2 , то

Изменим фасон секирки, изображенной на рисунке          : оставим на рисунке только полуокружности ABC и AFD, а площадь полукруга DHC присоединим к площади раскрашенной секирки; и вместо отрезка BD построим хорду MN II AC, касающуюся полукруга AFD. Пусть MN=12 см. Чему равна площадь секирки ABCDFA?

Решение: Пусть В и F – середины большей и меньшей полуокружностей (рис.  ), тогда F – точка касания и FO1 AD1, где FO1 = r – радиус малой полуокружности. Аналогично ВО = R – радиус большой полуокружности. Точкой L он делит хорду MN пополам, и LO = FO1 = r, а LN = 6 см. Закрашенная площадь равна . Из  OLN находим ON2 –OL2 = LN2 или R2 – r2 = 36 (см2). Искомая площадь  (см2).

Задача 2. (Площадь серпа) Полуокружность радиуса 1 повернута относительно конца своего диаметра на 300. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение: Фигура AnB1BCmA, нужно найти, состоит из фигур AnB1CmA и B1CBB1. Но фигура AnB1CmA равновелика ACBA, так как при добавлении к каждой из них фигуры AmCA получим полукруг. Поэтому AnB1BcmA равновелика сектору B1AB с радиусом 2 и центральным углом 300. Его площадь равна площади круга радиуса 2.   SBAB=

Приложение № 2

Геометрические вариации   на "пчелиную" тему

 Пчелы - удивительные творения природы. Геометрические способности пчел проявляются при построении сот. Если разрезать пчелиные соты плоскостью, перпендикулярной их ребрам, то станет видна сеть равных друг другу правильных шестиугольников, уложенных в виде паркета. Возникает вопрос: "Почему пчелы строят соты именно так, почему они предпочли сеть правильных шестиугольников, а не правильных треугольников или квадратов, ведь их, казалось бы, гораздо проще сконструировать?"

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо предварительно выяснить, какими правильными многоугольниками можно заполнить плоскость так, чтобы не было пропусков, т. е. уложить их в виде паркета.

Выполняя несложные расчеты, убеждаемся, что такими многоугольниками могут быть только правильные треугольники, квадраты или правильные шестиугольники. Действительно, сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна (n-2)* 180 . где п - число сторон многоугольника. Сумма углов правильных n-угольников, сходящихся в одной вершине паркета, равна 360°. Тогда     т.е.     или    , где k - число углов, сходящихся в одной вершине. Отсюда .

Если п = 3, то k = 6, т. е. в одной вершине паркета могут сходиться 6 правильных треугольников;

если n = 4, то k = 4, т. е. в одной вершине паркета могут сходиться 4 квадрата;

если n = 5, то k = 3,3. т. е. не существует паркета из правильных пятиугольников;

если п = 6, то k = 3. т. е. в одной вершине паркета могут сходиться 3 правильных шестиугольника. И так далее.

По смыслу задачи значения n, k могут быть только целыми, а значит заполнить плоскость без пропусков можно используя или правильные треугольники, или квадраты, или правильные шестиугольники. Но из трех правильных многоугольников одинаковой площадью наименьший периметр имеет правильный шестиугольник. Стало быть, мудрые пчелы, экономят  воск и время для построения сот.

Надо сказать, что на этом математические секреты пчел не заканчиваются. Интересно и дальше исследовать строение пчелиных сот. Соты в улье свешиваются сверху вниз наподобие занавесок: пчелы прикрепляют их к потолку смесью воска и пчелиного клея (прополиса). Ячейки уложены в пласты и соприкасаются общими донышками. Но донышки ячеек не плоские, а представляют собой части трехгранных углов, гранями которых являются равные ромбы. Но знаний учащихся 8-9 классов недостаточно, чтобы рассматривать эту тему далее, но тем не менее она может увлечь их своей разносторонностью в применении геометрии и овладении новыми знаниями на пути к решению данной проблемы.