Презентация "Некоторые сведения об окружности, круге и их элементах"
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9, 10, 11 класс) на тему

Слайд 1

Определения. Теоремы и следствия из теорем. Ровенко Н.В. Учитель математики ГБОУ школа №2122 г. Щербинка, г. Москва Окружность

Слайд 2

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Окружность – геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенный на заданном расстоянии от данной точки (центра окружности) Точка О – центр окружности . Отрезок , соединяющий центр окружности с произвольной точкой окружности, называется радиусом. ОА – радиус окружности . Отрезок, соединяющий две любые точки окружности, называется хордой. ВС – хорда окружности . Самая длинная хорда проходит через центр окружности и называется диаметром окружности. Диаметр окружности равен длине двух радиусов. EF – диаметр окружности О А В С E F

Слайд 3

Прямая, пересекающая окружность в двух точках, называется секущей . Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной . Точка В – точка касания. Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведенному в точку касания. АВ  ОВ Отрезки и прямые, связанные с окружностью. О В А

Слайд 4

Свойства хорд и дуг окружности. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам. (см. доказательство) АВ – хорда, CD – диаметр. AB  CD = E ,  AC =  CB  AD =  DB Справедливо и обратное утверждение: Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам. (см. доказательство) А В С D E

Слайд 5

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам. Дано : АВ хорда, С D –диаметр, Доказать: АЕ = ВЕ Доказательство: Проведем радиусы ОА и ОВ.  OAB равнобедренный. ОЕ высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника  ОЕ – медиана и биссектриса. АЕ = ВЕ, АОЕ = ВОЕ (центральные углы) АС = СВ, А D =  D В. Что и требовалось доказать. О А В С D E

Слайд 6

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам. Дано : АВ хорда, С D –диаметр, АЕ = ВЕ Доказать: Доказательство: Проведем радиусы ОА и ОВ.  OAB равнобедренный. ОЕ медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника  ОЕ – высота и биссектриса. ОЕ  АВ. АОЕ = ВОЕ ( центральные углы ) АС = СВ, А D =  D В. Что и требовалось доказать. О А В С D E

Слайд 7

Если хорды равны , то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности. AB = CD OF  AB  OF = OE OE  CD Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны. OF = OE OF  AB  AB = CD OE  CD Свойства хорд и дуг окружности. А O F E D С В

Слайд 8

Свойства хорд и дуг окружности. У равных дуг равны и хорды.  AB =  CD  AB = CD Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны. AB CD   AD =  BC А В С D А D C B

Слайд 9

Свойство хорд Произведение отрезков , на которые делятся хорды точкой их пересечения, равны . AE  BE = CE  DE (см. доказательство) E D С В А

Слайд 10

Произведение отрезков , на которые делятся хорды точкой их пересечения, равны . AE  BE = CE  DE Дано: AB  CD = E Доказать: AE  BE = CE  DE Доказательство:  ADE и  BCE  1 =  2 как вписанные углы , опирающиеся на одну и ту же  BD .  3 =  4 вертикальные углы.  ADE подобен  BCE по двум углам.  или AE  BE = CE  DE Что и требовалось доказать. E D С В А 2 3 1 4

Слайд 11

Свойство касательных Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны. АС = АВ Доказательство О В А С

Слайд 12

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны. АС = АВ Доказательство Рассмотрим АОС и  АОВ ОВ = ОС радиусы АВО = АСО = 90 0 (радиусы с касательными) АО общая  АОС =  АОВ по признаку Равенства прямоугольных треугольников. Значит АВ = АС. Что и требовалось доказать. О В А С

Слайд 13

Касательная и секущая Для касательной и секущей, проведённых к одной окружности из одной точки, справедливо равенство: AB 2 = AD  AC A C B D Доказательство

Слайд 14

Для касательной и секущей, проведённых к одной окружности из одной точки, справедливо равенство: AB 2 = AD  AC A C B D Доказательство: Проведём хорды ВС и BD.  ABC и  ABD подобны по двум углам.  А – общий,  ABC =  ADB  а значит AB 2 = AD  AC Что и требовалось доказать.

Слайд 15

Секущие Для двух секущих, проведённых из одной точки вне круга, справедливо равенство: AD  AC = AF AE A C E D F Доказательство :

Слайд 16

Для двух секущих, проведённых из одной точки вне круга, справедливо равенство: AD  AC = AF AE Что и требовалось доказать. Доказательство: Проведём из точки А касательную АВ к окружности. Тогда AB 2 = AD  AC и AB 2 = AF  AE  AD  AC = AF AE A C E D F B

Слайд 17

Центральные и вписанные углы. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.  АОВ = АВ О В А Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.  ABC = ½  AC В А C

Слайд 18

Вписанные углы. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность - прямой  АСВ = 90 0 О В А Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.  ABC = ADC = AFC C В А C D F

Слайд 19

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине дуги, заключённой между ними.  DAB = ½  AB =  ACB С D Угол между двумя секущими, проведёнными из одной точки вне окружности, равен половине разности дуг, заключённых между ними.  AEB = ½ ( A В -  CD) Е