Урок геометрии по теме "Решение треугольников"
учебно-методический материал по геометрии (9 класс) на тему

Урок геометрии по теме "Решение треугольников"

Тема   «Решение треугольников».

Класс   -  9 

Тип урока: урок повторения, обобщения и систематизации пройденного.

Цели урока:  обобщить и систематизировать изученное на предыдущих уроках; проконтролировать степень усвоения материала; продолжить работу по развитию мыслительной деятельности – выделять главное, ставить и разрешать проблемы, сравнивать и строить аналогии; работать над развитием речи – обогащать и усложнять ее словарный запас.

Задачи:

- актуализировать знание решения треугольников, развитие умения понимать сущность алгоритмических предписаний и умения действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

- УУД:

Познавательные:  овладение основами логического и алгоритмического мышления;

Интеллектуальные: развитие умения  читать и записывать информацию в виде различных математических моделей, планировать действия в соответствии с поставленной задачей;

Коммуникативные: строить высказывания, аргументировано доказывать  свою точку зрения;

Личностные: развитие умения ясно, точно, грамотно излагать свои мысли; понимать смысл поставленной задачи, развитие сотрудничества со сверстниками.

Оборудование: презентация, компьютер, проектор, раздаточный материал.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Сообщение темы и целей урока, эпиграфа к уроку и его девиза.

У каждого человека должна быть своя высота

От исходной точки до  вершины

И должна быть своя мечта

Высота с мечтой неразделимы.

2. Мотивация урока.

Один мудрец сказал: « Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума – это геометрия. Клетка геометрии – это треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная. Окружность – душа геометрии. Познайте окружность, и вы не  только познаете душу геометрии, но возвысите свою душу».

Мы вместе с вами попробуем провести небольшое исследование. Давайте делиться своими идеями, которые придут вам в голову, и не бойтесь ошибиться, любая мысль может дать нам новое направление поиска. Пусть наши достижения и не покажутся кому-то крупными, но ведь это будут наши собственные достижения!

3. Актуализация опорных знаний.

Вводная беседа учителя: сегодня на уроке повторим как по данным длинам или градусным мерам трёх элементов треугольника вычислить остальные его элементы. Решая задачи такого типа, мы говорим …(решаем треугольник)

И прежде чем приступить к решению различных  задач,  нам необходимо вспомнить:

1.Какие теоремы применяются при решении треугольников?

2.Сформулируйте теорему синусов? Теорему косинусов?

3.Чему равна сумма углов треугольника?  

   4.Почему теорема косинусов является обобщённой теоремой Пифагора?

5.Как, используя теорему косинусов, определить вид треугольника?

6.Найди ошибку.

4.Актуализация знаний учащихся. Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока.

Внимание на экран! Какую теорему необходимо использовать?

Установите соответствие между формулами:

        5.Решение задач на повторение

  Решение задач в группах по уровням (с последующей проверкой и комментарием).

1 группа:

Задача: Футбольный мяч находится в точке А футбольного поля на расстояниях 23 м и 24 м от оснований В и стоек ворот. Футболист направляет мяч в ворота. Найдите угол α попадания мяча в ворота, если ширина ворот равна 7 м.

Решение:

Решим треугольник АВС(задача 1) и найдем угол А, равный α

По теореме косинусов определим cos А

Ответ: 16057/

2 группа: 

Задача: Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить.

Основание башни он видит под углом 2° к горизонту, а вершину — под углом 45° к горизонту. Какова высота башни?

  Дано: АВ=50 м,  BDH=20, CDH=450, DH||AB.

  Найти: СВ

Решение

DH || AB →BDH=DBA=20, как накрест лежащие.

cosDBA= ДВ=

Применим терему синусов:

ΔСDB:

3 группа: задача №1037(учебник «Геометрия 7-9», Атанасян Л.С.)

 Задача:       Для определения ширины реки отметили два пункта А и В на берегу реки на расстоянии 70 м друг от друга и измерили углы САВ и АВС, где С- дерево, стоящее на другом берегу у кромки воды.    Оказалось, что ∠   САВ=12°30′,  ∠  АВС=72°42′. Найдите ширину реки.

  Дано:

АВ=70 м

Решение

По теореме синусов

Ответ:14,5 м

6.Историческая справка:

   Тригонометрия- «измерение треугольников» - развивалась, прежде всего в связи с потребностями астрономии, географии, навигации. Поэтому её зачатки были в Древнем Вавилоне, где астрономия получила значительное развитие. Синус и косинус появляются в астрономических сочинениях индийских ученных 9-10вв.

Тангенс появился в связи с задачей определения высоты Солнца по длине  тени, решение которой необходимо для изготовления солнечных часов. Выделение тригонометрии в специальный раздел математики связано с именем выдающегося персидского ученого Н а с и р э д д и н а  Т у с и (1201-1274). В Европе первое изложение тригонометрии было дано в 15в. немецким ученым  Р е г и о м о н т а н о м ( 1436-1476). Современный вид тригонометрия получила в трудах крупнейшего математика 18в. Леонарда Э й л е р а (1707-1783).

Теорему косинусов знали еще древние греки, ее доказательство содержится во 2 книге «Начал» Евклида как обобщенная теорема Пифагора. Нить практической геометрии тянулась от вавилонян и древних египтян через Герона вплоть до новых времён. В этот период появляется много руководств по геометрии, в которых излагаются правила, формулы и рецепты для решения тех или иных практических задач.

7.Самостоятельная работа (по вариантам)

8.Девиз нашего урока выбран не случайно, мы сегодня «возьмем свою высоту», решив данную задачу о высоте треугольника ( один ученик у доски, класс- запись в тетрадь)

Мы уже встречались с задачей вычисления высоты треугольника с известными сторонами. Один из способов нахождения высоты был получен  для прямоугольного треугольника. А как найти высоту в произвольном треугольнике с известными сторонами? Рассмотрим способ, основанный на применении теоремы косинусов.

Хотя бы один из углов А или С – острый. Пусть, например, это угол А. Тогда:

1)

 - (формула Герона)

;  

3)  

А) Можно ли использовать для вывода формулы угол А, если он – тупой? [Да, так как sin(180° – α) = sinα]

Б) Запишите формулы для вычисления высот треугольника, проведенных к сторонам а и с (самостоятельно в тетрадях по вариантам).

I вариант - hc, II вариант-ha

            Сегодня мы решили несколько задач  на нахождения неизвестных сторон треугольника, вывели новую формулу для нахождения высоты треугольника, попробовали свои силы для   определения расстояния до недоступного примета, применив изученные способы решения. И  мы попробовали свои силы, оценили свои знания, свои возможности.  Ведь «самое трудное  –  познать самого себя»(Фалес)

9.Подведение итогов.

Домашнее задание:    п. 96 – 99, №1033(с решением),№1038.

Рефлексия

Ребята, что узнали на уроке нового, как работал каждый из вас. Где на уроке почувствовали неуверенность, что показалось сложным.  Ребята предлагаю сейчас  каждому из вас  высказаться одним предложением, выбирая начало фразы из рефлексивного экрана на доске:

1. сегодня я узнал…
2. было интересно…
3. было трудно…
4. я выполнял задания…
5. я понял, что…
6. теперь я могу…
7. я приобрел…
8. я научился…
9. у меня получилось …
10. я попробую…
11. меня удивило…
12. урок дал мне для жизни…
13. мне захотелось…

Заключительное слово учителя:

Треугольник удивительная фигура. Я предлагаю вашему вниманию басню «Веселый треугольник»

По тропинке треугольник

Весело бежал.

И еще при этом песню напевал:

Я- счастливый  треугольник,

На меня ты посмотри,

У меня ведь элементов разных,

Ровно три, ровно три!

Три угла и три вершины

И еще три стороны

И поэтому все фигуры-остальные

Восторгаться мной должны.

Вдруг ему повстречался

Строгий квадрат

И спросил его сердито:

«И чему ты так уж рад?

Что ты так торопишься,

Словно на парад?

Ты ведь, жесткая фигура,

Все об этом говорят»

У тебя есть три вершины-

Это слишком!

Ты, наверное, слыхал, что

Третий - лишний!

Я советую тебе от одной избавиться,

 И тогда, наверняка,

Сможешь ты прославиться!

Треугольник в мастерскую резво побежал

О своем желании столяру сказал.

Одна вершина вмиг пропала,

И треугольника не стало.

Мораль у нашей басни в том,

Что нужно жить своим умом!

10.Дополнительные задачи:

Карточка 1: Здание шириной 10 м имеет двускатную крышу с наклоном 35o с одной стороны и 41o - с другой. Найти длину скатов крыши с точностью до сантиметра.

Решение

1)Угол крыши

2)По теореме синусов

3)По теореме синусов:

Ответ: 5,912 см;  6,762 м.

Карточка 2.

На рис. показаны два вектора напряжения, V1=50В и V2=90В . Определить величину результирующего вектора. (т.е. длину СА) и угол между результирующим вектором и V1.

Решение

1)

2)По теореме косинусов

Результирующий вектор

3) По теореме синусов

Ответ: 130,2 В;  

Литература

1. Геометрия, 7 – 9: Учеб. для общеобразоват. учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2012.
2. Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.П. Баханский. Задачи по геометрии для 7 – 11 классов. – М.: Просвещение, 2011.
3. С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов. Изучение геометрии в 7-9 классах: Методические рекомендации к учебнику. Книга для учителя. – М.: Просвещение, 2011.
4. Т.М.Мищенко Тематические тесты по геометрииИз-во «Издательство Астрель»2013г
5. http://ru.wikipedia.org/wiki
6. 3000 задач с ответами по математике. Издательство “Экзамен”, М. 2013.

Мы уже встречались с задачей вычисления высоты треугольника с известными сторонами. Один из способов нахождения высоты был получен  для прямоугольного треугольника. А как найти высоту в произвольном треугольнике с известными сторонами? Рассмотрим способ, основанный на применении теоремы косинусов.

Хотя бы один из углов А или С – острый. Пусть, например, это угол А. Тогда:

1)

 - (формула Герона)

;  

3)  

А) Можно ли использовать для вывода формулы угол А, если он – тупой? [Да, так как sin(180° – α) = sinα]

Б) Запишите формулы для вычисления высот треугольника, проведенных к сторонам а и с (самостоятельно в тетрадях по вариантам).

I вариант - hc, II вариант-ha

Историческая справка:

   Тригонометрия- «измерение треугольников» - развивалась, прежде всего в связи с потребностями астрономии, географии, навигации. Поэтому её зачатки были в Древнем Вавилоне, где астрономия получила значительное развитие. Синус и косинус появляются в астрономических сочинениях индийских ученных 9-10вв.

Тангенс появился в связи с задачей определения высоты Солнца по длине  тени, решение которой необходимо для изготовления солнечных часов. Выделение тригонометрии в специальный раздел математики связано с именем выдающегося персидского ученого Н а с и р э д д и н а  Т у с и (1201-1274). В Европе первое изложение тригонометрии было дано в 15в. немецким ученым  Р е г и о м о н т а н о м ( 1436-1476). Современный вид тригонометрия получила в трудах крупнейшего математика 18в. Леонарда Э й л е р а (1707-1783).

Теорему косинусов знали еще древние греки, ее доказательство содержится во 2 книге «Начал» Евклида как обобщенная теорема Пифагора. Нить практической геометрии тянулась от вавилонян и древних египтян через Герона вплоть до новых времён. В этот период появляется много руководств по геометрии, в которых излагаются правила, формулы и рецепты для решения тех или иных практических задач.

Вариант 2

Дополнительные задачи:

Карточка 1: Здание шириной 10 м имеет двускатную крышу с наклоном 35o с одной стороны и 41o - с другой. Найти длину скатов крыши с точностью до сантиметра.

Карточка 2.

На рис. показаны два вектора напряжения, V1=50В и V2=90В . Определить величину результирующего вектора. (т.е. длину СА) и угол между результирующим вектором и V1.

Вариант 1

Дополнительные задачи:

Карточка 1: Здание шириной 10 м имеет двускатную крышу с наклоном 35o с одной стороны и 41o - с другой. Найти длину скатов крыши с точностью до сантиметра.

Карточка 2.

На рис. показаны два вектора напряжения, V1=50В и V2=90В . Определить величину результирующего вектора. (т.е. длину СА) и угол между результирующим вектором и V1.