презентации 8 класс, геометрия
презентация к уроку по геометрии (8 класс) на тему
Скачать:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Дуга окружности О А В М N
Дуга называется полуокружностью , если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности. О А В d
А В С А В Чем похожи и чем различаются углы АОВ и АСВ? О О Центральный угол Вписанный угол Составьте определение этих углов. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
А В О Дугу окружности можно измерять в градусах. Если дуга АВ окружности с центром О меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ. 65 0 65 0
О А В
А В О Если дуга АВ окружности с центром О больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной 65 0 295 0 65 0
А В С D О 11 5 0 30 0
M 300 0 6 0 0 А В О Найти , , хорду АВ . 6 0 0 N 16
M 272 0 88 0 А В О Найти угол АОВ. ? 88 0
В А О Найти расстояние от точки А до радиуса ОВ. R = 6. 60 0 60 0 6 Х
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. А В С К 1 2 СВК 2 1 = + Повторение
a a О А С В Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. 2a 2a Дано: АВС – вписанный Доказать: Доказательство: АВС р/б = a 2 a Тогда внешний угол АОС = 2 a = a 2 a
О А С В Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. 1 случай (луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС a a 2a 2a Дано: АВС – вписанный Доказать:
О А С В 2 случай (луч ВО делит угол АВС на два угла) D +
О А С В 3 случай (луч ВО не делит угол АВС на два угла и не совпадает со стороной этого угла) D –
О Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следствие 1 В N M А С F
О Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой. Следствие 2 В N M А С F
Блиц-опрос А С В Найдите градусную меру угла АВС 110 0 О 110 0 55 0
Блиц-опрос А С В Найдите градусную меру угла АВС 120 0 О 120 0 240 0 120 0
Найдите градусную меру угла АВС. О В А С Блиц-опрос
Блиц-опрос А D В Найдите градусную меру угла АВС 50 0 100 0 С 26 0 0 13 0 0 О
A В С 56 0 О
A В О С 23 0
B C A О
A B C 34 0
A B C 54 0 D
B C A O 50 0 Задача 4
B C A X Задача 6
B C A Задача 9
A B D C 53 0 Задача 13
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
2 А В С D Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Основание Основание Боковая Боковая АВС D – трапеция, если ВС ∥ AD , АВ и С D – боковые стороны, ВС и AD – основания.
3 Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны. А В С D АВС D – равнобедренная трапеция, если ВС ∥ AD , АВ = С D – боковые стороны.
4 А В С D Трапеция называется прямоугольной , если один из углов прямой. АВС D – прямоугольная трапеция, если ВС ∥ AD , ∠А = 90° или ∠В= 90°.
5 А В С D М N М – середина АВ N – середина CD MN – средняя линия трапеции
6 А В С D В D = AC – диагонали трапеции ∠ А = ∠ D , ∠ В = ∠С – углы при основаниях Свойства равнобедренной трапеции 2. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. 1. В равнобедренной трапеции диагонали равны.
7 А В С D В D = AC – диагонали трапеции ∠ А = ∠ D , ∠ В = ∠С – углы при основаниях Признаки равнобедренной трапеции 2. Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная. 1. Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.
Какие четырехугольники на рисунке являются трапециями? Назовите их основания и боковые стороны. 70 110 А В С D М 1 О Р R 2 S H T N 0 0 А С В К Q 3
04.12.2012 www.konspekturoka.ru 9 Задача № 387 1 Дано: Найти: А В С D АВС D – трапеция, ∠A = 36 °, ∠C = 117 ° ∠ В = ?, ∠D = ? 36 ° 117 ° Решение АВС D – трапеция, то ВС ∥ AD . ∠А + ∠В = 180° 36 ° + ∠В = 180° ∠В = 180° - 36 ° ∠В = 144 ° ∠С + ∠ D = 180° ∠ 117 ° + ∠ D = 180° ∠ D = 180° - ∠ 117 ° ∠ D = 63 ° Ответ: ∠В = 144 ° , ∠ D = 63 °
04.12.2012 www.konspekturoka.ru 10 Задача № 390 2 Дано: Найти: АВС D – равнобокая трапеция, ∠A = 68 °, ∠ В = ?, ∠С -?, ∠D = ? Решение Если АВС D – равнобокая трапеция , то ∠A = ∠D = 68°, А В С D 68 ° 68 ° ∠ 68 ° + ∠В = 180° ∠В = 180° - ∠ 68 ° ∠В = 112° ∠ В = ∠ С = 112°, Ответ: ∠D = 68°, ∠В = 112°, ∠ С = 112°.
∟ В ₁ 11 Задача 392(а) 3 Дано: Найти: АВС D – прямоугольная трапеция, ∠D = 90 °, BC = 4 см , AD = 7 см , ∠A = 60 ° АВ - ? Решение Проведем ВВ ₁ ⊥ AD 4 см 7 см 60 ° A В ₁ = AD - B ₁D А В С D A В ₁ = 7 - 4 = 3 (см) Рассмотрим ∆ А B В₁: ∠A = 60° - по условию, ∠ В₁ = 90° так как ВВ ₁ ⊥ AD , то ∠В = 30° A В ₁ = ½АВ – по свойству прямоугольного треугольника, АВ = 3· 2 = 6 (см). Ответ: 6 (см).
12 Домашнее задание П. 44 выучить определения № 388, 392(а)
13 Теорема Фалеса Если на одной из двух прямых отложить последовательно равных несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. а) l ₁ ∥ l₂ б) l ₁ ∥ l₂ А ₁ А ₂ А ₃ А ₄ А ₅ В ₁ В ₂ В ₃ В ₄ В ₅ А ₁ А ₂ = В ₁ В ₂ l ₁ l ₁ l₂ l₂ А ₁ А ₂ А ₃ А ₄ А ₅ А ₁ А ₂ В ₂ В ₁ - параллелограмм В ₁ В ₂ В ₃ В ₄ В ₅ l С D l ₁ ∥ l А ₂ А ₃ DC - параллелограмм А ₂ A₃ = CD А ₂ A₃ = В ₂ B₃
14 Задача 4 Доказательство Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции. А В С D Пусть Е – середина АВ. Проведем Е F ∥ BC ∥ AD . . F . E Точка F – середина CD (по теореме Фалеса). Докажем, что Е F - единственный Через точки Е и F можно провести только одну прямую (аксиома) т. е. отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции ABCD параллелен основаниям, ч. т. д.
04.12.2012 www.konspekturoka.ru 15
С.А. Абрамкина Проведем ВН ⊥А D и СК⊥А D . ВН=СК –расстояние между параллельными прямыми. ∆АВН=∆ D СК (по гипотенузе и катету), отсюда ∠А=∠ D . ∠АВС=180 0 -∠ D (как внутренние односторонние при ВС Ⅱ А D ). Значит, ∠АВС=∠ D СВ. Ч.т.д А В С D К Дано: АВС D – трапеция A В = С D Доказать : ∠ А=∠ D , ∠В=∠С Доказательство: Н
25.09.2017 С.А. Абрамкина А В С D К Решение: Н
25.09.2017 С.А. Абрамкина Рассмотрим ∆АВ D и ∆АС D . АВ=С D (по условию), А D – общая сторона. ∠ВА D =∠ ADC (как углы при основании равнобокой трапеции). Тогда ∆АВ D =∆ D СА (по I признаку равенства треугольников). 2. Отсюда следует, АС=В D . Ч.т.д А В С D Дано: АВС D – трапеция A В = С D Доказать : BD=A С Доказательство:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
1 2 В А С Х Y Дан ∆ АВС, прямая XY параллельна прямой AC . Доказать, что угол 1 равен углу 2 . Устная работа
Прямая АВ параллельна прямой CD, AD и BD секущие. Доказать, что ∆ АОВ ~ ∆ DO С C D A B O
Средняя линия треугольника Тема урока :
ЦЕЛИ УРОКА: дать определение средней линии треугольника, доказать теорему о средней линии треугольника, решать задачи, используя определение и свойство средней линии.
С В А М N М N – средняя линия треугольника АВС . Определение: Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. AM = MB BN = NC
На каком рисунке изображена средняя линия треугольника ? а) г) б) в) Устно: г
Сколько средних линий имеет треугольник ? Задание. Постройте произвольный треугольник и проведите в нем средние линии. DF, DE, EF –средние линии ∆ АВС
Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. С В А М N Дано: Δ АВС, М N – средняя линия. Доказать: М N || АС, М N = ½ АС Доказательство: Δ АВС ~ Δ ВМ N , т.к. ВМ:ВА = В N :ВС=1:2 и угол В – общий. 2. Угол ВМ N равен углу ВАС, а они соответственные при прямых М N и АС и секущей АВ. Значит, М N || АС. 3. Т.к. ВМ:ВА =1:2, то и М N :АС=1:2.
1. Сколько треугольников вы видите? 2. Есть ли равные треугольники? Почему? Устно: 3. Сколько параллелограммов на рисунке? ∆ ADF, ∆ DBE, ∆ ECF, ∆ DEF, ∆ ABC ∆ ADF= ∆ DBE= ∆ ECF= ∆ DEF ADEF, DBEF, ECFD
Являются ли отрезки EF и CD средними линиями ∆ АВС и ∆ MNK ? EF является CD не является
Отрезок MN является средней линией треугольника … в)
Задача 1 ( ГИА 2013) Средняя линия равностороннего треугольника АВС равна 8 см. Найти периметр этого треугольника. А В С Р ∆ АВС = 48 см
A B C M Дано: S ∆ ABC = 40 см² Найти: S MNK K N Задача 2 S MNK = 10 см²
Найти площадь треугольника, если высота, проведенная к одной из его сторон, равна 10, а средняя линия, параллельная этой стороне, равна 5. Задача 3 ( ГИА 2013) А В С М К Н S АВС = 5 0 см²
№ 567 А В С D М N P Q MNPQ – параллелограмм?
Какие новые знания получены на уроке? Что называют средней линией треугольника? Сформулируйте теорему о средней линии треугольника. Подведем итог
2) Задача 3, 5 A B C N M 3 4 Дано: MN || AC . Найти: Р ∆ АВС 1) п.62 (стр.146), № 565, 566 Домашнее задание:
Свойство медианы треугольника Тема урока :
Элементы треугольника Медиана треугольника – Биссектриса треугольника – Высота треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис. 1). отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой противоположной стороны (рис. 2). отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны или ее продолжения и перпендикулярный этой стороне (рис. 3).
Свойство медиан треугольника . Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
А С В Свойство медиан треугольника . Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. В 1 А 1 О 1 2 3 4 A ВС В 1 А 1 С по 1 признаку ВО ОВ 1 = АО А 1 О АВ А 1 В 1 = = 2 1
а b A B C D F Значит S ABC =S ABD =S ABF У Δ АСВ, Δ А DB, Δ AFB основание АВ, а высоты, проведенные к АВ равны (как расстояния между параллельными прямыми). h h h Равновеликие треугольники а ||b
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника. М С В А Следствие 1
Следствие 2. Диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника.
В С 1 А 1 В 1 С А О Медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников. Следствие 3.
Доказать на уроке Средняя линия треугольника отсекает от данного треугольник, площадь которого равна площади исходного треугольника. Следствие 4.
Отрезок , соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника . Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины. Средняя линия треугольника отсекает от данного треугольник, площадь которого равна ¼ площади исходного. Три средние линии треугольника разбивают его на 4 равоновеликих треугольника, площадь каждого из них равна ¼ площади исходного. Итог урока
Спасибо за урок! П. 62, вопросы 8, 9 (стр. 160) Задачи № 616, 571.
Моё настроение Отличное! Все понятно! Непонятное! Есть над чем подумать…
Спасибо за внимание!!!
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника Форма урока: Урок изучения нового. Цели урока: 1.Познакомить учащихся с определениями тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике и учить вычислять значения; 2.Формировать навыки написания конспекта; 3.Воспитывать наблюдательность, развивать память, продолжить работу над формированием системы знаний .
Взаимосвязь между элементами прямоугольного треугольника . Угол А – острый, угол В –острый, угол С – прямой. Напротив ∟А катет а – противолежащий. Рядом прилег катет b – прилежащий. Напротив ∟В катет b – противолежащий. Рядом прилег катет а –прилежащий. С с а b А В
Взаимосвязь между элементами прямоугольного треугольника. Назовите гипотенузу, катет противолежащий углу М, катет прилежащий углу М катет прилежащий углу К Катет прилежащий углу Р Катет противолежащий углу К М К Р
с 6 8 13 12 Найти неизвестную сторону треугольника № 1 № 2 Найти: Р АВС и S АВС
Задачи ОГЭ-2016 с прямоугольным треугольником
ОГЭ-2016 № 1 Найдите тангенс угла В треугольника АВС, изображенного на рисунке . № 2 В треугольнике ABC угол C прямой, BC=8 , сosB=0,8. Найдите AB. № 3 В треугольнике ABC угол C прямой, AC=6 , sin В =0, 3 . Найдите AB
10 6 8 13 12 Найти отношения сторон треугольника № 1 № 2 ВС/АВ= АС/АВ= АС/ВС= 5
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Определения: Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему
Стихотворение поможет запомнить определения «Коль не знаешь правил – минус. Если знаешь – тебе плюс! Если « О », то будет синус, Если « И », то косинус.
«Коль не знаешь правил – минус. Если знаешь – тебе плюс! Если « О », то будет синус, Если « И », то косинус. Соотнесите слова стихотворения с данным определением. Пр о тиволежащий катет гипотенуза С и нус А = К о синус А = Пр и лежащий катет гипотенуза
- синус альфа А В С - косинус альфа - тангенс альфа ТАНГЕНС УГЛА равен отношению синуса к косинусу этого угла
Вывод: Острый угол прямоугольного треугольника зависит от гипотенузы, от катетов. Примечание: «Зная длины сторон прямоугольного треугольника можно вычислить его острый угол. Но для этого надо знать тригонометрические функции: «синус», «косинус»,»тангенс»
Самостоятельная работа (практическая пятиминутка) Задание. Дан прямоугольный треугольник АВС с острым углом А и сторонами а = 4, b = 3.Найдите: 1) Sin A = Cos A = 2) Чему равно выражение: Sin 2 A + Cos 2 A = А В С 4 5 c 3
Всегда ли это равенство верное? 1. Ответ: Sin A = 4/5 Cos A = 3/5. 2. Ответ: Sin 2 A + Cos 2 A = 1.
Основное тригонометрическое тождество № 593(в) «Тригонометрия» в переводе с греческого- «измерение треугольников»
Домашнее задание. Пункт 66, выучить определения и основное тригонометрическое тождество. Решить №591(а,б), №593 (а,б)
ОГЭ-2016 № 1 Найдите тангенс угла В треугольника АВС, изображенного на рисунке . № 2 В треугольнике ABC угол C прямой, BC=8 ,сosB=0,8. Найдите AB. № 3 В треугольнике ABC угол C прямой, AC=6 , sin В =0, 3 . Найдите AB
А В С если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны А 1 В 1 С 1 - по первому признаку
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение … Противолежащего катета к прилежащему катету; Противолежащего катета к гипотенузе; Прилежащего катета к гипотенузе
В треугольнике АВС ( С=90 0 ). Выберите верное определение косинуса острого угла В 1) 2) 3) верно ошибка ошибка А В С
АВ=10 см ВС=8 см Найдите тангенсы острых углов tgA=… tgB=… Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется… А В С
По данным рисунка вычислите sin , cos , tg , sin , cos , tg sin cos tg
Цели урока: Научится вычислять значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30 0 , 45 0 и 60 0 . Формировать навыки решения прямоугольных треугольников, используя синус, косинус и тангенс острого угла. Использовать различные приемы для вычисления значений тригонометрических функций, в том числе и компьютерные программы. Тема урока: «Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30 0 , 45 0 и 60 0 »
А В С 30 0 60 0 Дано: ∆ ABC , C=90 0 A = 30˚, B = 60˚. Найти: sin 30˚, cos 30˚ , tg 30˚ , sin 6 0˚, cos 6 0˚ , tg 60. Решение: 1. 2. 3.
А В С 30 0 60 0 Основное тригонометрическое тождество: sin 2 +cos 2 =1 sin 2 =1-cos 2 cos 2 =1-sin 2 Вычислим sin60 0 и cos30 0
А В С 30 0 60 0
AC = BC = AC = BC AB ² = AC ² + BC ² =2AC ² B A C 45 ° 45 °
Таблица значений на пальцах
В С А 60 0 9 Задача1 Дано: ∆АВС, А=90 0 , В=60 0 , АС=9 Найти: АВ-? tg60 0 =
Задача2: В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен . Выразите катеты через с и и найдите их длины, если: а) с=12 дм, =30 0 ; б) с=16 дм, =45 0 .
30 0 45 0 60 0 sin cos tg 1
30 0 45 0 60 0 sin cos tg 1
а b c a = c sin a = b tg b = c cos b = a ctg
Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30 0 , 45 0 , 60 0 . 30 0 45 0 60 0 sin cos tg 1
З а д а ч а В прямоугольном треугольнике даны гипотенуза с и острый угол α . Найти катеты, их проекции на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.
Решение AC = AB cos α = c cos α ; BC = AB sin α = c sin α ; BD = BC sin α = c sin² α ; AD = AC cos α = c cos² α ; СВ = AC sin α = c sin α cos α α A C B D c
III . Закрепление изученного материала Решение прикладных задач
Найдите высоту дерева S = 9 м α =30 °
Найдите угол наклона Пизанской башни α = ? h = 50 м h = 60 м
Тень от вертикально стоящего шеста, высота которого 3 3 м, составляет 3 м. Выразите в градусах высоту Солнца над горизонтом. α
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Наиболее часто встречающиеся теоретические вопросы Признаки подобия треугольников: 1.Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. 2.Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. 3.Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному (почему)? А Е С В К
А В С Д О Доказать: Δ ВОС ~ Δ АОД в а а//в
А В С О Найти: СО; ОВ Д 10 8 6 5
D Найти: х А В С 6 4
А В С Д Доказать: 4 5 6 12 15 18 Р Е М К АКР ~ СМЕ
Даны два подобных треугольника. Стороны одного из них равны 12 см, 8 см, 6 см, а меньшая сторона другого равна 9 см. Найдите две другие его стороны. 2 . В треугольнике АВС проведены две высоты АК и ВМ. 1) Докажите, что Δ АКС ~ Δ ВМС. 2) Найдите высоту ВМ, если АК = 18, СМ = 4, СК = 6. А С М В К
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK : KA=2:3, KM=14. Решение : Треугольники АВС и КВМ подобны: угол В - общий, углы ВАС и ВКМ равны как соответственные при параллельных прямых АС и КМ и секущей АВ), поэтому КМ:АС= ВК:ВА. Т.к. ВК : КА = 2 : 3, то ВК : ВА = 2 : 5. Имеем, АС=КМ * ВА : ВК, АС=14 * 5 : 2 = 35 Ответ:35. А М К С В 14
Через точки М и N, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая МN, параллельная стороне АС. Найдите длину СN, если ВС = 6, МN = 4 и АС = 9. Решение: Треугольники MBN и ABC подобны по первому признаку подобия., так как 1) у треугольников MBN и ABC угол В – общий 2) в силу параллельности прямых MN и AC соответственные углы BMN и BAC равны. Из подобия треугольников вытекает пропорциональность соответствующих сторон: Обозначим NC за x . Соответственно, BN = 6 – x , согласно условию. Тогда . Тогда CN =
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD=10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны. А D С В Решение : Углы СВД и ВДА равны как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АД и секущей ВД. Стороны ВС и ВД в Δ ВСД пропорциональны сторонам ВД и АД в Δ АВД соответственно, т.к. ВС : ВД = 5 : 10 = 0,5 и ВД : АД = 10 : 20 = 0,5. Значит, эти треугольники подобны (по второму признаку).
Наиболее часто встречающиеся теоретические вопросы Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
1). Прямые МО и КН , пересекающие стороны угла А, параллельны (М и К лежат на одной стороне угла). Найдите площадь треугольника АМО, если известно, что площадь треугольника АКН равна 48 см 2 , АМ = 4 см, МК = 2 см. А Н О М К
2). Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 4:5. Периметр образовавшегося треугольника равен 20 см. Найдите периметр данного треугольника. Ответ: 30. 3). Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 см проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислите площади образовавшихся треугольников. Ответ: 24; 8,64; 15,36.
4). Из одной точки проведены к кругу две касательные. Длина касательной равна 156, а расстояние между точками касания равно 120. Найдите радиус круга. Ответ: 65 План решения: Найдите подобные треугольники и докажите их подобие Запишите отношение сходственных сторон Выполните необходимые вычисления Запишите ответ
(№24) Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M . Найдите MC , если AB =16, DC = 24, AC = 25. (№26) Основания трапеции относятся как 2 : 3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции? (№26) Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 16. Окружность радиуса 12 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC .
Наиболее часто встречающиеся теоретические вопросы Треугольники АО D и СОВ, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия k = АО : СО А О С В D
Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке K , причем отрезок BK составляет треть от диагонали BD . Найдите основание AD , если BC = 12 см. А К D С В РЕШЕНИЕ: Треугольники ВКС и АК D подобны по двум углам. По условию ВК – треть В D , тогда ВК : К D = 1 : 2, значит ВС : А D = 1 : 2, значит А D = 24. Ответ: 24 см.
Наиболее часто встречающиеся теоретические вопросы Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведенных к этим сторонам. Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
В треугольнике АВС D Е – средняя линия. Площадь треугольника С D Е равна 45 . Найдите площадь треугольника АВС . Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=7, AC=28. А Е D С В А С В Н
Задание 17 № 132764. Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна четырем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь? Решение. Столб и человек образуют два прямоугольных треугольниках ABC и FEB . Эти треугольники подобны по двум углам. Пусть высота фонаря равна х м , тогда ,откуда Поэтому фонарь расположен на высоте 5,1 м. Ответ: 5,1. Задачи практического содержания Определение высоты предмета.
Задание 17 № 314914. Человек, рост которого равен 1,8 м, стоит на расстоянии 16 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 9 м. Определите высоту фонаря (в метрах). Решение: Введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим прямоугольные треугольники AEB и С DE , они имеют общий угол Е и, следовательно, подобны по двум углам. Значит, , откуда
(№26) На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м? Дано: BO =2 м, OC =6 м, AB =0,5 м. Найти: С D Решение: Треугольники АВО и D СО подобны (по двум углам), АВ : С D = ВО : ОС, С D =АВ*ОС : ВО, С D =0,5*6:2=1,5 (м). Ответ: 1,5 А О В D С
(№26) На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 3 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м? (№17) Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 12 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 5,4 м. Найдите длину тени человека в метрах.
( №17) № 44. Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными? Решение (1 способ) Заметим, что высота экрана, расположенного на расстоянии 250 см, в 2 раза меньше высоты экрана, расположенного на искомом расстоянии, значит, по теореме о средней линии, искомое расстояние в два раза больше первоначального экрана: 250·2 = 500. Ответ: 500.
( №17) № 44. Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными? Решение (2 способ) По условию FG=160 см, DE=80 см, СН=250 см. Найти: СК. Δ СFG ~ Δ CDE (признак?), поэтому СН : СК = DE : FG. СК = СН * FG : D Е СН=250*160 : 80 = 500 Ответ: 500 . С H F K G E D
Стр.357 Задача 25 . Известно, что около четырёхугольника АВС D можно описать окружность и что продолжения сторон АВ и С D четырёхугольника пересекаются в точке М. Докажите, что треугольники МВС и М DA подобны. РЕШЕНИЕ. 1. По свойству углов вписанного четырёхугольника (п.75 ) сумма противоположных углов 4-угольника равна 180 ⁰ . 2. Пусть < В= 𝛼 , тогда <А D С=180- 𝛼. 3. По свойству смежных углов <М DA= 180- (180- 𝛼 )= 𝛼 . Рассмотрим ∆ MBC и ∆ М DA . <М –общий, <В=< М DA= 𝛼 . ∆ МВС∞∆ М DA по двум углам. 9В683 D D A C B M 𝛼 180- 𝛼 𝛼
Стр.357,356 . ЗАДАЧА 24 . Окружность пересекает стороны АВ и АС ∆ АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АК=16, а сторона АС в 1,6 раза больше стороны ВС. РЕШЕНИЕ. 1. ∆АКР∞∆АВС (см.предыдущую задачу) по двум углам. <А общий, <В=<КРА. 2.Если ∆ подобны, то стороны пропорциональны (по определению). Составим пропорцию 3. Пусть ВС=х, тогда АС=1,6х. ОТВЕТ : КР=10. С А В К Р
Стр. 361 Задача 25 .В ∆ АВС с тупым <АВС проведены высоты АА₁ и СС₁. Докажите, что ∆А₁ВС₁∞∆ АВС . А А₁ В С₁ РЕШЕНИЕ: (1 способ) 1.<АА₁С=<СС₁А=90⁰; АС диаметр окружности, описанной около ∆АА₁С и ∆АС₁С. 2. Рассмотрим ∆АВС и ∆А₁ВС₁: <АВС=<А₁ВС₁ (вертикальные), <САС₁=<СА₁С₁ (вписанные углы опираются на дугу СС₁) ∆ АВС∞∆А₁ВС₁ по двум углам. (В35Е5А ) С
РЕШЕНИЕ: (2 способ). 1.∆АВА₁ и ∆СВС₁ прямоугольные: <АА₁В=<СС₁В=90⁰, <АВА₁=<СВС₁ (вертикальные). ∆АВА₁ ∞ ∆СВС₁ (по двум углам). Стр. 361 Задача 25 .В ∆ АВС с тупым <АВС проведены высоты АА₁ и СС₁. Докажите, что ∆А₁ВС₁∞∆ АВС . 2. Из подобия треугольников составляем пропорцию По свойству пропорции получаем 3. В ∆АВС и ∆А₁ВС₁ стороны пропорциональны и углы между ними равны(вертикальные <АВС=< А₁ВС₁). ∆ АВС ∞ ∆А₁ВС₁ А А₁ С В С₁
1. АМ и ВК – перпендикуляры к прямой a , точки М и К – основания перпендикуляров. АК ∩ ВМ = О. Найдите АМ и МК, если МО = 6, ВО = 4, ВК = 6. 2. В треугольнике ОВС проведен отрезок МК, параллельный стороне ВС. Найдите отношение площадей треугольника ОМК и трапеции МВСК, если ОМ = 4, МВ = 12. 3. В треугольнике МРК сторона МК равна 12. Биссектриса МА делит сторону РК на отрезки АК = 8, АР = 10. Найдите длины отрезков, на которые делит сторону МР биссектриса КВ. Приложение
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK:KA=3:7, KM=12. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK:KA=1:5, KM=17. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=12, AC=42, NC=25. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=13, AC=65, NC=28. Приложение
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4,5 и 18, BD=9. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD=16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 3 и 12, BD=6. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=3, AC=12. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=10, AC=40. Приложение
Задачи на готовых чертежах
1 2 3 Признаки подобия треугольников Литература
1 2 3 4 6 7 Первый признак подобия треугольников 5 8 9 10
А В С Д О Доказать: Δ ВОС ~ Δ АОД Задача 1 в а а//в
А В С Д Доказать: Δ АВС ~ Δ АДЕ Задача 2 Е
А В С E Доказать: Δ А FE ~ Δ С MK Задача 3 Д F М К
А С Д Доказать: A Д E FCE Задача 4 E F В ~
А D В C Доказать: АВ C ~ В D С Задача 5
1 2 А Д С О В Доказать: АО/СО Задача 6
А В С О Найти: СО; ОВ Задача 7 Д 10 8 6 5
1 А В С Найти: ВС Задача 8 Д 9 6 К Е
А В C Д О Доказать: АОД ~ СОВ Задача 9
К Д С В А Найти: подобные треугольники Задача 10
1 2 3 4 6 7 5 8 9 10 Второй признак подобия треугольников 11
А В С Д О Доказать: Д= С Задача 1 10 20 17 34 К
А В С О Найти: ВО: ДЕ Задача 2 Д К 22 11 14 7 Е
А Д С В Доказать: РОД ~ ЕОС Задача 3 Е О 4 12 3 9 Р
Р А В С Д К Найти: х Задача 4 6 9 4 х
К Д С В А 8 5 4 6 Найти: КВ Задача 5 10
В Найти: АС А С Д Задача 6 4 2 5 6 15 К
Найти: ВС А С В Д О 3 21 4 Задача 7
А K С В Найти подобные треугольники Задача 8
А В С О К Р Найти подобные треугольники Задача 9
А В С Д Найти: подобные треугольники О Задача 10 К Е
Д О В С Найти: ДС Задача 11 24 15 14
Третий признак подобия треугольников 1 2 3 4
А В С Д Доказать: Задача 1 4 5 6 12 15 18 Р Е М К АКР ~ СМЕ
А Д В С Доказать: Δ АВ C ~ Δ PRQ Задача 2 Q R Р
А К Д В Р S Доказать: Р = К Задача 3 7 21 15 9 3 5
А В К Н 7в 6с 5а 40 80 Найти: М и В Задача 4 М 10 a 12 с 14в С
Список литературы 1.Саврасова С.М.,Ястребинецкий Г.А. Упражнения по планиметрии на готовых чертежах.- М.: просвещение, 1987.-112 с.: ил. 2. Зив Б.Г. и др. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл. общеобразоват.учреждений.-М.:Просвещение, 2000.-271 с.: ил . 3. Рабинович Е.М. Сборник задач на готовых чертежах.-К.:1996.-56с. 4. Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии: 8 класс.-2-е изд., перераб. и доп.-М.: ВАКО,2008.-368 с.
Спасибо за внимание!
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Задачи урока:
Четырехугольники 2 пары параллельных сторон 1 пара параллельных сторон Нет параллельных сторон параллелограмм трапеция
А B C D AB CD, AC BD Определение Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом
Свойство Признак ? Обратная теорема Определение
Свойство равнобедренного треугольника В С В равнобедренном треугольнике углы при основании Признак Если в треугольнике углы при основании равны, то А А С равны . треугольник-равнобедренный . В
Свойство 1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. А С В D 1 2 3 4 Дано: ABCD - параллелограмм Доказать: 1) АВ = С D, BC = AD ; 2) A = C, B = D Доказательство: рассмотрим ∆ ABC и ∆ ADC , AC - общая , 1 = 2 и 3 = 4 (как накрест лежащие углы) ∆ АВС = ∆ ADC (по 2-му признаку равенства треугольников) Следовательно: АВ = С D, BC = AD ; 1 + 4= 2 + 3 , т.е. A = C, B = D .
Решите задачи 1 M N P K 7 см 4 см Найдите периметр параллелограмма MNPK 2 70 Найдите все углы параллелограмма MNPK
АВ С D , В D , AC – секущие 1= 2 и 3= 4 (как накрест лежащие углы) Свойство 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. В А С D 1 2 3 4 Дано: АВС D - параллелограмм В D AC = O Доказать: ВО = О D, АО = ОС Доказательство: рассмотрим ∆ АОВ и ∆ СО D , Следовательно: АО = ОС, ВО = О D ∆ АОВ = ∆СО D (по 2-му признаку равенства треугольников) O АВ = С D (противоположные стороны параллелограмма,
Решите задачу. В параллелограмме ABCD : О – точка пересечения диагоналей, отрезок MK проходит через эту точку. 1 A B C D 2 Докажите, что ∆ OMB = ∆ OKD O K M
Признак 1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм. С В D A 2 1 4 3 Дано: АВС D – четырехугольник AB l l CD, AB = CD Доказать: АВС D - параллелограмм Доказательство: рассмотрим ∆ АВС и ∆ ADC , AC - общая , AB = CD ( по условию) 1 = 2 (как накрест лежащие углы) ∆ АВС = ∆ ADC (по 1 - му признаку равенства треуг .) 3 = 4 BC l l AD АВС D - параллелограмм
Решите задачу. В параллелограмме ABCD точки A₁ , B₁ , C₁ , D₁ - середины отрезков OA, OB, OC, OD A B C D Докажите , что четырехугольник A₁B₁C₁D₁ - параллелограмм O A₁ B₁ C₁ D₁
Признак 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. D С В А 1 2 Дано: АВС D – четырехугольник Доказать: АВС D - параллелограмм Доказательство: рассмотрим ∆ АВС и ∆ ADC , AC - общая , AB = CD, BC = AD ( по условию) ∆ АВС = ∆ ADC (по 3 - му признаку равенства треуг .) 1 = 2 AB l l CD и AB = CD АВС D - параллелограмм (по 1-му признаку параллелогр .) AB = CD, BC = AD
Решите задачу. В четырехугольнике ABCD 1= 2, ВС = А D. Докажите, что ABCD – параллелограмм. A B C D 1 2
АВ = С D и 3 = 4 АО = ОС и ВО = О D (по условию) 1= 2 (как вертикальные) Признак 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм. В А С D O 3 1 Дано: АВС D - четырехугольник В D AC = O , Доказать: ABCD - параллелограмм Доказательство: рассмотрим ∆ АОВ и ∆ СО D , АВ l l С D ( по призн . парал . прямых) ∆ АОВ = ∆СО D (по 1-му признаку рав . треуг .) АО = ОС и ВО = О D 2 4 Итак, АВ = С D и АВ l l С D ABCD – параллелограмм (по 1 призн . параллелогр .)
Решите задачу. В четырехугольнике ABCD 1= 2, ОА =ОС . Докажите, что ABCD – параллелограмм. A B C D 1 2
Домашнее задание Свойства, признаки выучить п. 42, 43 № 372(б), № 376( в,г )
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
С I
Какие элементы прямоугольного треугольника были известны? Гипотенуза и катет Какие еще элементы треугольника мы нашли? Второй катет и острые углы Дано : РКМ, К = 90 0 РК = 1 см, РМ = 2 см. Найти: Р, М, КМ. №1
Нахождение неизвестных элементов прямоугольного треугольника по известным двум его элементам называется решением прямоугольного треугольника Решить прямоугольный треугольник — значит вычислить все его стороны и углы по каким-либо данным, определяющим этот треугольник.
A C B a b c α β Т. е. катет прямоугольного треугольника равен гипотенузе, умноженной на синус угла, противолежащего этому катету, или на косинус угла, прилежащего к нему. Т. е. гипотенуза прямоугольного треугольника равна катету, деленному на синус угла, противолежащего этому катету, или на косинус угла, прилежащего к нему.
A C B a b c α β
ЗАДАНИЕ: Опишите возможные случаи задания прямоугольного треугольника по двум элементам. C B b c A C B a b C B a α C B c α A A A Два катета Катет и гипотенуза Катет и острый угол Гипотенуза и острый угол
Какие элементы прямоугольного треугольника были известны? Катет и прилежащий острый угол Какие еще элементы треугольника мы нашли? Второй катет, второй острый угол и гипотенузу Дано : М N К, К = 90 0 МК = 3 см , М = 30 0 . Найти : М N , N К, ∠ N № 2 Решить треугольник MNK
№ 3 Дано : ACB = 90 0 CD AB AB = m A = . Найти : AC, BC, AD
№ 4 Дано : ABC = D = 90 0 BC = a CAB = ABD = Найти : AD
На какую высоту поднялся матрос, прошедший 10 метров по трапу, составлявшему с пристанью угол 30 ? ? м 10 м 30 ᵒ
? к м 8 к м 6 к м B A Найдите расстояние между пунктами А и В. С
Лодка находится посередине реки. Глубина реки 4 м, длина якорного каната 5м. Как далеко отнесет течение реки лодку от места, куда был брошен якорь ? 5 м ? м 4 м
С самолета радируют капитану рыболовецкого судна, что самолет находится над косяком рыбы на высоте 1000 м. С судна определяют, что угол, под которым виден самолет над горизонтом, равен 30 0 . Найдите расстояние от судна до косяка рыбы . 30 0 1000 м ? м
? к м Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, а девочка 3 км/ч. Какое расстояние (в км) будет между ними через 30 мин?
Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты? Задачи практические старинные
Прямоугольный треугольник имеет широкое применение в повседневной жизни – многие геометрические и практические задачи сводятся к вычислению элементов прямоугольного треугольника, другими словами к решению прямоугольного треугольника.
П ирамида Кукулькана («оперённый змей»), Юкатан, Мексика
55,5 м 31 м 52 о ? Цель – вычислить высоту пирамиды
к а т е т к а т е т гипотенуза А В С п р о т и в о л е ж а щ и й 31 м 52 о ?
Гиппарх
32 5 2 о ? AC AB = sin В В С А sin 52 o 0,7 9 AC = AB • sin 52 o 32 • 0,7 9 = 2 5 , 28 25 м 25 м
С самолета радируют капитану рыболовецкого судна, что самолет находится над косяком рыбы на высоте 1000 м. С судна определяют, что угол, под которым виден самолет над горизонтом, равен 26 0 . Используя таблицу тригонометрических функций, найдите расстояние от судна до косяка рыбы. В ответе укажите приближенное значение, выраженное целым числом.
15 м 30 м 2 м ? На какой угол должна быть поднята пожарная лестница?
30 м 2 м ? На какой угол должна быть поднята пожарная лестница? 15 м
II в. до н.э. - Греция (Гиппарх) - без названия IV в. - Индия (Ариабхата) - «ардхаджива» (полутетива) «джива» (тетива) IX в. - Арабские государства - «джайб» (впадина) XII в. - государства Европы - « sinus » (впадина) XVII в. - «completely sinu s » (дополнительный синус) -« cosinus » X в. - Абу-ль-Вафа, XIV в. - Региомонтан, XVI в. - Томас Финке - «tangens» (касающийся) - « tg » XVII в. - Уильям Отред, Леонард Эйлер - « sin » , « cos »
Урок 2
1. 2. 3. 4. 5. Решете задачи.
Домашнее задание : 583 в,г ; 596
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
1 часть 2 части О F = 4 см Найти ВО и ВВ 1 Блиц-опрос.
JQCNDJ Блиц-опрос. 1 часть 2 части О B = 7 см Найти F О и BF
D Блиц-опрос. Найти отношения
5 Знаем: Свойства прямоугольного треугольника. В С А Сумма острых углов прямоугольного треугольника = 90 0 . катет катет гипотенуза Катет, лежащий напротив угла 30 0 равен половине гипотенузы. Если острый угол прямоугольного треугольника =45 0 , то его катеты равны.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному A B C D
A B C D
Отрезок XY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков AB и CD, если среднее пропорциональное для отрезков АВ и CD
Найти длину среднего пропорционального отрезков AB и CD, если АВ=9 см, CD=16 см
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой A B C D
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла A B C D
A B C a b c H h b c a c CH- высота, ВС= a, CA=b, AB=c, CH=h, AH=b с , HB=a c
Поработаем устно
A B C 5 H 20 Найти CH №1
A B C 12 M 16 Найти MC №2
A B C 10 Е Найти: AB и BC 15 №3
A B C 36 H Найти: 64 №4
Домашнее задание: П.63, №572( а,в,д ), 573, 574(б)
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике Урок 2
Задачи: 1.Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна 6 см и делит гипотенузу на отрезки, один из которых больше другого на 5 см. Найдите стороны треугольника. В каком отношении данная высота делит площадь треугольника? 2. В прямоугольном треугольнике АВС (<С = 90 °) проведена высота СД так, что длина ВД на 4 см больше длины отрезка СД, АД = 9 см. Найдите стороны треугольника АВС. В каком отношении СД делит площадь треугольника АВС?
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Решите задачи: 1. Дано : АВСD – трапеция; Основания ВС и АD; ВК- высота. ВС : АD = 2 : 3; ВК = 6см; S ABCD = 60см 2 . Найти: BC, AD 2. Дано : АВСD – прямоугольная трапеция; АВ-меньшая боковая сторона. АВ=3 см. S ABCD = 30 см?, Р ABCD =28 см. Найти: Большую боковую сторону СD
Домашнее задание: Выучить формулы площадей № 477, 480(б)
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Какие углы называются смежными? C А В М Какие углы называются вертикальными? D L T N O Каким свойством обладают смежные углы? Назовите свойство вертикальных углов.
D L T N O 65° ? ? ? 1 2 3 4 Известно, что: Найдите:
А В С D Какая фигура называется треугольником? Назовите стороны и углы этого треугольника. Какие равенства и неравенства выполняются в треугольнике? Как называется угол ВС D ? Каким свойством обладает внешний угол треугольника?
М К D Р 70 ° 150 ° ? ? Найти: Решите задачу двумя способами
М К D 50 ° ? ? Известно, что: Найдите:
А В С D 40 ° Докажите, что АВ>ВС.
А В С Какие отрезки можно провести внутри треугольника? Дайте определение медианы треугольника. D Дайте определение биссектрисы треугольника. К Дайте определение высоты треугольника. S
А В С D К S 30 ° ? ?
Сформулируйте признаки равенства треугольников. Какие треугольники называются равными?
А В С D Докажите, что
D С В А Докажите, что
А В С D К АК=МС . Докажите, что АВ= D С. М
Какие виды треугольников Вы знаете?
Дайте определение равнобедренного треугольника. Сформулируйте признак равнобедренного треугольника. Сформулируйте свойства равнобедренного треугольника. D А В С М N 106 ° 74 ° 1 2 Докажите, что треугольник АВС – равнобедренный.
А В С 1 2 D 40 ° ?
Какой треугольник называется прямоугольным? Как называются стороны прямоугольного треугольника? А В С Перечислите свойства прямоугольного треугольника.
А В С 30 ° 7 ? Р 65 ° ? ?
К М Р 30 ° 60 ° N 5 см ?
Перечислите признаки равенства прямоугольных треугольников. С D А В М К Докажите:
Какие прямые называются параллельными? а в Как называются углы, образованные при пересечении двух прямых секущей? с 1 2 3 4 5 6 7 8 Какие признаки параллельных прямых Вы знаете? Какие свойства параллельных прямых Вы знаете?
а в с 1 2 3 4 5 6 7 8 Известно, что Докажите, что а||в (тремя способами)
А В Е D C 75° N 130° 50° V L ? ? ?
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Как вы думаете, сколько общих точек могут иметь прямая и окружность? О
О Сначала вспомним как задаётся окружность Окружность (О, r ) r – радиус r A B АВ – хорда С D CD - диаметр
Исследуем взаимное расположение прямой и окружности в первом случае: d – расстояние от центра окружности до прямой О А В Н d < r две общие точки АВ – секущая r d
Второй случай: О Н r одна общая точка d = r d – расстояние от центра окружности до прямой d
Третий случай: О H d r d > r d – расстояние от центра окружности до прямой не имеют общих точек
Сколько общих точек могут иметь прямая и окружность? d < r d = r d > r две общие точки одна общая точка не имеют общих точек Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки . Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку . Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек .
Касательная к окружности Определение: П рямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. O s = r M m
Выясните взаимное расположение прямой и окружности, если: r = 15 см, d = 11 см r = 6 см, d = 5 ,2 см r = 3,2 м, d = 4 ,7 м r = 7 см, d = 0,5 дм r = 4 см, d = 4 0 мм прямая – секущая прямая – секущая общих точек нет прямая – секущая прямая - касательная
Свойство касательной: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. m – касательная к окружности с центром О М – точка касания OM - радиус O M m
Свойство касательных, проходящих через одну точку: ▼ По свойству касательной ∆ АВО, ∆ АСО–прямоугольные ∆ АВО= ∆ АСО–по гипотенузе и катету: ОА – общая, ОВ=ОС – радиусы АВ=АС и ▲ О В С А 1 2 3 4 Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Признак касательной: Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то она является к асательной. окружность с центром О радиуса OM m – прямая, которая проходит через точку М и m – касательная O M m
Решите № 633. Дано: OABC- квадрат AB = 6 см Окружность с центром O радиуса 5 см Найти: секущие из прямых OA , AB , BC , АС О А В С О
Решите № 638, 640. Домашнее задание: выучить конспект, № 631, 635
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
А С В Свойство медиан треугольника . Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. В 1 А 1 О ВО В 1 О = АО А 1 О СО С 1 О = = 2 1 С 1 1
Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. В А Теорема С L K М 1 2
Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе. В А Обратная теорема С L K М
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. В А Следствие С K А 1 В 1 С1 О М L ОМ=ОК ОК =О L По теореме о биссектрисе угла = По обратной теореме т. О лежит на биссектрисе угла С ОМ О L 2
a С Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярно к нему. М В Определение Прямая a – серединный перпендикуляр к отрезку.
m O Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. B A Теорема М
Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. Обратная теорема B A m O N
По теореме о серединном перпендикуляре к отрезку Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. C B Следствие A m р О A =О B О B =О C = По обратной теореме т. О лежит на сер. пер. к отрезку АС О A О C n О 3
Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Теорема C B A А 2 С 2 В 2 A 1 В 1 С 1 По теореме о серединных перпендикулярах: серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. 4
Замечательные точки треугольника. Точка пересечения медиан Точка пересечения биссектрис Точка пересечения высот Точка пересечения серединных перпенди куляров
Треугольник, который опирается на острие иглы в точке пересечения медиан, находится в равновесии! Точка, обладающая таким свойством, называется центром тяжести треугольника.
А В С К М O Т Высоты тупоугольного треугольника пересекаются в точке О, которая лежит во внешней области треугольника. Высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине С. Высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке О, которая лежит во внутренней области треугольника. O А В С Точка пересечения высот называется ортоцентр.
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. Эта точка замечательная – точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности. O
Эта точка замечательная – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника является центром описанной окружности. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярно к нему. O
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
цели урока 1. получить представление об измерении площадей многоугольников 2. рассмотреть основные свойства площадей 3.Научиться использовать изученный теоретический материал в ходе решения задач
Площадь одного квадрата – 1 см 2 Площадь всей ф игуры-?
Найди площади фигур
Площадь многоугольника Площадь многоугольника – это величина той части площади, которую занимает многоугольник. Площадь многоугольника – выражается положительным числом Площадь многоугольника показывает сколько раз единица измерения или её части укладываются в данном многоугольнике.
Свойства площадей Свойство1. Равные многоугольники имеют равные площади Задача Площадь параллелограмма ABCD – 30 кв. см Чему равна площадь треугольника АВ D ? Многоугольники, имеющие равные площади называются равновеликими.
Свойство 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. S1=S2+S3 Если многоугольник разрезан на несколько многоугольников и из него составлен другой многоугольник, то такие многоугольники называют равносоставленными .
Свойство 3 Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Найдите площади фигур
Творческое задание: Найти площадь фигуры:
Палетка. В тех случаях, когда измерение площади какой-нибудь фигуры не требует большой точности, а также, когда фигура, площадь которой требуется измерить, ограничена криволинейным контуром , для измерения площади употребляется особый прибор, называемый палеткой. Палетка представляет собой прозрачную пластинку, на которую наносится масштабная квадратная сетка, например, со стороной квадрата, равной 1 см.
Эта пластинка накладывается на фигуру, площадь которой требуется измерить Сначала подсчитывается число квадратов, полностью укладывающихся в данной фигуре; на чертеже их 26. Затем подсчитывается число квадратов, пересекаемых контуром фигуры; на чертеже их 21. Каждый из неполных квадратов принимается за половину квадрата, таким образом, их общая площадь приближённо составит 21 : 2 = 10,5 квадрата. Общее число квадратов, заключающихся в измеряемой фигуре, таким образом, составит 26 + 10,5 = 36,5 квадрата. Если, например, каждый квадрат в действительности соответствует 1 кв. м, то измеряемая площадь составит 36,5 кв. м.
Домашнее задание: Вопросы 1,2 с. 133, № 449(б ), 450(в), 451
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
ПЛАН Пропорциональные отрезки. Свойство биссектрисы треугольника. Определение подобных треугольников. Отношение периметров подобных фигур. Отношение площадей подобных фигур. Признаки подобия треугольников .
Пропорциональные отрезки Отношением отрезков называется отношение их длин. Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A 1 B 1 и C 1 D 1 , , если A B C D A B С D A 1 B 1 С 1 D 1 ПРИМЕР
ПРИМЕР Даны два прямоугольных треугольника 5 20 15 ? 3 4 A C B N M K Стороны Β C и CA пропорциональны MN и MK , так как т.е. и НАЙДИТЕ ГИПОТЕНУЗУ БОЛЬШЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА.
Пропорциональность отрезков Понятие пропорциональности вводится для любого числа отрезков. 5 20 15 25 3 4 A C B N M K например
Подобные фигуры Предметы одинаковой формы, но разных размеров Фотографии, отпечатанные с одного негатива, но с разными увеличениями; Здание и его макет Планы, географические карты одного и того же района, выполненные в разных масштабах.
Подобные фигуры В геометрии фигуры одинаковой формы называют подобными фигурами Подобными являются любые два квадрата Подобными являются любые два круга два куба два шара
Подобные треугольники Даны два треугольника A Β C и A 1 Β 1 C 1 , у которых A = A 1 , Β = Β 1 , C = C 1 . Стороны A Β и A 1 Β 1 , AC и A 1 C 1 , Β C и Β 1 C 1 , лежащие против равных углов, называют сходственными C Β A C 1 A 1 Β 1
Определение Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого . C Β A C 1 A 1 Β 1 A = A 1 , Β = Β 1 , C = C 1 . Δ A Β C ~ Δ A 1 Β 1 C 1
Коэффициент подобия Число k , равное отношению сходственных сторон, называется коэффициентом подобия . C Β A C 1 A 1 Β 1 Δ A Β C ~ Δ A 1 Β 1 C 1 k – коэффициент подобия .
Дополнительные свойства Отношение высот подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия. Отношение медиан подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия. Отношение биссектрис подобных треугольников, проведенных к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия.
Отношение периметров Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия . C Β A C 1 A 1 Β 1 Δ A Β C ~ Δ A 1 Β 1 C 1 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Отношение периметров C Β A C 1 A 1 Β 1 Δ A Β C ~ Δ A 1 Β 1 C 1 Выносим общий множитель за скобку и сокращаем дробь.
Отношение площадей Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия . C Β A C 1 A 1 Β 1 Δ A Β C ~ Δ A 1 Β 1 C 1 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Отношение площадей C Β A C 1 A 1 Β 1 Пусть Δ A Β C ~ Δ A 1 Β 1 C 1 , коэффициент подобия k A = A 1 , по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, имеем
Свойство биссектрисы треугольника C B A Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. D или ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИМЕР
Свойство биссектрисы треугольника Δ ABD и Δ ACD имеют общую высоту AH Δ ABD и Δ ACD имеют равные углы 1 = 2 A H D C B 1 2 ИМЕЕМ
Свойство биссектрисы треугольника Дано: Δ ABC AD – биссектриса AB = 14 см BC = 20 см AC = 21 см Найти: BD , CD . Решение: B A C D 1 2 14 см 2 1 см 2 0 см
Свойство биссектрисы треугольника Решение: Пусть BD = x см, тогда CD = (2 0 – x ) см. По свойству биссектрисы треугольника имеем B A C D 1 2 14 см 2 1 см 2 0 см Решая уравнение, получим х = 8 BD = 8 см, CD = 12 см.
Признаки подобия треугольников Первый признак подобия треугольников. (по двум углам) Второй признак подобия треугольников. (по углу и двум пропорциональным сторонам) Третий признак подобия треугольников . (по трем пропорциональным сторонам)
Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. B C A B 1 A 1 C 1
Первый признак подобия треугольников. Дано: Δ ABC и Δ A 1 B 1 C 1 , A = A 1 , B = B . Доказать: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 Доказательство: B C A B 1 A 1 C 1
Первый признак подобия треугольников. Доказательство: A = A 1 , B = B 1 . C = 180 º – A – B , C 1 = 180 º – A 1 – B 1 . C = C 1 Таким образом углы треугольников соответственно равны. B C A B 1 A 1 C 1
Первый признак подобия треугольников. Доказательство: A = A 1 , B = B 1 . Имеем Аналогично, рассматривая равенство углов C = C 1 , A = A 1 , получим Итак, сходственные стороны пропорциональны.
Второй признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. C Β A Β 1 C 1 A 1
Второй признак подобия треугольников. Дано: Δ ABC и Δ A 1 B 1 C 1 , A = A 1 , Доказать: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 Доказательство: C Β A Β 1 C 1 A 1
Доказательство: Достаточно доказать, что B = B 1 . Δ ABC 2 , 1= A 1 , 2= B 1 , Δ ABC 2 ~ Δ A 1 B 1 C 1 по двум углам. (из подобия). По условию AC = AC 2 . Δ ABC = Δ ABC 2 , т.е. B = B 1 . Второй признак подобия треугольников. C 1 B 1 A 1 B С A С 2 1 2
Третий признак подобия треугольников . Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. C Β A C 1 A 1 Β 1
Третий признак подобия треугольников . Дано: Δ ABC и Δ A 1 B 1 C 1 , Доказать: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 Доказательство: C Β A C 1 A 1 Β 1
Третий признак подобия треугольников . Доказательство: Достаточно доказать, что A = A 1 Δ ABC 2 , 1= A 1 , 2= B 1 , Δ ABC 2 ~ Δ A 1 B 1 C 1 по двум углам. Отсюда По условию Δ ABC = Δ ABC 2 по трем сторонам, т.е. A = A 1 C 1 A 1 Β 1 B С A С 2 1 2
Разминка 1 Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам MN и PK . Найдите MN , если AB = 3, CD = 4, PK = 2. MN = 1,5
Разминка 2 Даны два подобных прямоугольных треугольника. Коэффициент подобия 1,5 Стороны одного из них 3, 4 и 5. Найдите гипотенузу другого. 7,5 5 · 1,5 = 7,5
Разминка 3 По данным на рисунке найдите х . 12 х 5 4 х = 15
Разминка 4 Длины двух окружностей 2 π и 8 π . Найдите отношение их радиусов. 0,25 2 π : 8 π = 1 : 4
Разминка 5 Отношение площадей двух квадратов равно 9 : 1. Найдите сторону большего их них, если сторона меньшего равна 2. 6 k 2 = 9, k = 3 Коэффициент подобия 3 · 2 = 6 сторона большего квадрата
Решение задач Пропорциональные отрезки Свойство биссектрисы Определение подобных треугольников Отношение периметров подобных фигур Отношение площадей подобных фигур 1 7 13 4 8 11 15 14 5 2 3 12 9 6 10
1 задача Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам EF и MN . Найдите EF , если AB = 5 см, CD = 80 мм, MN = 1 дм.
4 задача В треугольнике АВС АС = 6 см, ВС = 7 см, AB = 8 см, BD – биссектриса. Найдите, AD , CD . A B C D 1 2 7 8
7 задача Треугольник со сторонами 2 см, 3 см, 4 см подобен треугольнику со сторонами 5 мм, 7,5 мм и 1 см. Найдите коэффициент подобия.
10 задача Сходственные стороны подобных треугольников относятся как 1 : 3. Найдите периметр большего треугольника, если периметр меньшего 15 см.
13 задача Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 , AB : A 1 B 1 = k = 4 S Δ ABC = 48 м 2 . Найдите площадь треугольника A 1 B 1 C 1 .
2 задача В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О , CD = 10 см. Найдите периметр параллелограмма, если A D C B O 10
5 задача Основание равнобедренного треугольника равно 18 мм, а биссектриса делит боковую сторону на отрезки, из которых прилежащий к основанию равен 12 мм. Найдите периметр треугольника M A C B 12 18
8 задача Треугольники KPF и ЕМТ подобны, причем F = 20°, E = 40°. Найдите остальные углы этих треугольников. T E M 4 0 ° F P K 2 0 °
11 задача Периметры подобных треугольников 12 мм и 108 мм соответственно. Стороны одного из них 3 мм, 4 мм и 5 мм. Найдите стороны другого и определите его вид.
14 задача Площади двух подобных треугольников равны 16 см 2 и 25 см 2 . Одна из сторон первого треугольника равна 2 см. Найдите сходственную ей сторону второго треугольника.
В треугольнике ABC точка K лежит на стороне АС. Площади треугольников АВK и KВС относятся как 1 : 3, ВС = 10 см. Найдите AC , если 3 задача . . A K C B 10
6 задача A B C D 1 2 5 4 AD = 4 BC = 5 AB + DC = 12 Найти AB , DC , AC
9 задача На рисунке Δ ВЕС ~ Δ АВС , АЕ = 16 см, СЕ = 9 см. Углы ABC и ВЕС тупые. Найдите ВС . A B E C 1 6 9
12 задача Масштаб плана 1 : 1000. Какова длина ограды участка, если на плане размеры прямоугольника, изображающего участок 2 см х 5 см.
15 задача Периметры подобных треугольников относятся как 2 : 3, сумма их площадей равна 260 см 2 . Найдите площадь каждого треугольника.
ЗАДАЧИ 1. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O . Площади треугольников BOC и AOD относятся как 1 : 9. Сумма оснований BC и AD равна 4,8 см. Найдите основания трапеции. Решение:
Решение Рассмотрим Δ AOD и Δ BOC : 1= 2 (накрест лежащие при AD || BC , и секущей AC ; 3= 4 (вертикальные) Δ AOD ~ Δ BOC (по двум углам) = k A B C D O 1 2 4 3
Решение . k = 3 AD + BC = = 3 BC + BC = 4 BC AD + BC = 4,8 см (по условию) BC = 1,2 см AD = 3,6 см A B C D O 1 2 4 3 Ответ: BC = 1,2 см AD = 3,6 см
ЗАДАЧИ 2. Докажите, что треугольники, изображенные на рисунке, подобны, и выясните взаимное положение прямых CB и DF . 2,5 A B E C D F 1 0 4 20 1 6 5 Решение:
Решение Отсюда Δ ABC ~ Δ DEF по трем пропорциональным сторонам 2,5 A B E C D F 1 0 4 20 1 6 5 Найдем отношение сходственных сторон данных треугольников
Решение Δ ABC ~ Δ DEF Соответственно A = E B = F ACB = EDF E . Рассмотрим прямые BC и DF , секущую AE 1 = 2 (внешние накрест лежащие) BC || DF . A B C D F 1 2
ЗАДАЧИ 3. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O , причем . Докажите, что CBO = DAO . Решение:
Решение Рассмотрим Δ AOD и Δ C O B DOA = COB ( вертикальные). . Δ AOD ~ Δ C O B по углу и двум пропорциональным сторонам. CBO = DAO (из подобия) . A O C B D
ЗАДАЧИ 4. В треугольнике ABC AB = 4, BC = 6, AC = 7. Точка E лежит на стороне AB . Внутри треугольника взята точка M так, что MB = 5,25 , ME = 4,5 , AE = 1. Прямая BM пересекает AC в точке P . Докажите, что Δ APB равнобедренный. Решение:
Решение . Рассмотрим Δ BEM и Δ ABC BE = AB − AE = 4 – 1 = 3 BE : AB = 3 : 4 = 0,75 EM : BC = 4,5 : 6 = 0,75 BM : AC = 5,25 : 7 = 0,75, т.е. стороны треугольников пропорциональны B E P C A M 7 6 4 4,5 5,25 1
Δ BEM ~ Δ ABC по трем пропорциональным сторонам. Следовательно, B M E = A С B E B M = B A C B E M = A B C . Рассмотрим треугольник ABP : EBM = BAC , т.е. A B P = BA P . Δ ABP – равнобедренный, что и требовалось доказать. Решение
ЗАДАЧИ 5. Диагональ AC параллелограмма ABCD равна 90. Середина M стороны AB соединена с вершиной D . Отрезок M D пересекает AC в точке O . Найдите отрезки A О и C О . Решение:
Рассмотрим Δ AO M и Δ C О D AO M = C О D ( вертикальные ) , M AO = О CD (накрест лежащие при AB || DC и секущей AC ) . Отсюда Δ AO M ~ Δ C О D по двум углам. Решение C M A O D B
Решение C M A O D B Δ AO M ~ Δ C О D . AM = ½ AB (по условию) AB = CD ( ABCD - параллелограмм), AM : CD = 1 : 2 т.е. AO = 0,5 C О AO = ⅓ AC = ⅓· 90 = 30 CO = ⅔ AC = ⅔· 90 = 60
ТЕСТ А Б В Г 1 2 3 4 5 Решите задачи, отметьте нужные ячейки
ТЕСТ 1. По данным рисунка х равен А) 7 Б) 14 В) 3,5 Г) 14/3 7 х
ТЕСТ 2 3 4 А В С 2) По данным рисунка периметр Δ ABC равен А) 9 Б) 27 В) 36 Г) 18
ТЕСТ А В С 3) По данным рисунка отрезок BC равен А) 3,75 Б) 7,5 В) 5 Г) 4,5 3 3 4 0,5 2,5
ТЕСТ 4) По данным рисунка площади данных треугольников относятся А) 3 : 1 Б) 9 : 1 В) 6 : 1 Г) 9 : 4 A B E C D F 12 9 4 3 18 6
ТЕСТ 5) По данным рисунка прямые AB и DE А) нельзя ответить Б) пересекаются В) параллельны A B E C D F 12 9 4 3 18 6
ТЕСТ А Б В Г 1 2 3 4 5 ОТВЕТЫ:
Помощь в управлении презентацией управление презентацией осуществляется с помощью левой клавиши мыши переход от одного слайда к другому и на гиперссылки по одиночному щелчку завершение презентации при нажатии кнопки выход Возврат в содержание Переход по слайдам Возврат к гиперссылке Справка
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Конспект и презентация урока геометрии в 7 классе по теме "Треугольник. Признаки равенства треугольников"
Урок обобщения и систематизации знаий по теме"Признаки равенства треугольников" Цели урока: Образовательные: - закрепить, обобщить и систематизировать материал по теме «Треугольн...
Урок+презентация по геометрии 8 класс "Теорема о пересечении высот треугольника"
Разработка представляет собой урок геометрии в 8 классе, третий из цикла уроков «Замечательные точки треугольника». Его тема - «Теорема о пересечении высот треугольника». На уроке применяется практиче...
Презентация по геометрии "Признаки подобия треугольников" (8 класс)
презентаци по геометрии "Признаки подобия треугольников" с решением задач...
Урок-презентация-игра, 7 класс, Геометрия "Знаете ли вы геометрию?"
Урок-презентация-игра, 7 класс, Геометрия "Знаете ли вы геометрию?"...
Презентация по геометрии на тему" Итоговое повторение курса геометрии 8 класс"
Презентация содержит основные теоремы и задачи рассматриваемые в курсе геометрии 8 класса....
презентация по геометрии "История развития геометрии"
В этой презентации вы сможите найти интересные факты из истории геометрии. Откуда появилась геометрия, её родина. Узнаете о первых папирусах, на которых написаны первые задачи. Геометрические фигуры и...
Презентация по геометрии на тему "Геометрия в заданиях ОГЭ"
Презентация по геометрии на тему "Геометрия в заданиях ОГЭ"....