Геометрия 7. Треугольник Рёло.
план-конспект занятия по геометрии (7 класс) на тему

                Задачи на построение. Треугольник Рёло.

Вопрос рассмотрения и исследования характерных точек и линий треугольников возник, как из научного любопытства, так и из практических целей. Если в древние времена наиболее широко применялся на практике прямоугольный треугольник Пифагора, то в наше время наибольший интерес вызывают необычные свойства треугольника Рело.

Цель работы - изучить основные свойства треугольника Рело, историю изобретения, рассмотреть области применения и изучить его свойства, доказать, что из всех фигур постоянной ширины треугольник Рело имеет наименьшую площадь.

Для этого поставлены следующие задачи.

• Познакомиться с историей изобретения;
• Рассмотреть и изучить свойства треугольника Рело;
• Доказать, что из всех фигур постоянной ширины треугольник Рело имеет наименьшую площадь;
• Выявить и рассмотреть открытые проблемы и задачи, связанные с треугольником Рело;
• Выяснить области применения треугольника Рело.

Актуальность:  в  современном  мире,  при  быстро  развивающихся  технологиях  нельзя  обойти  стороной  фигуру  постоянной  ширины  —  треугольник  Рёло,  позволяющий  сократить  затраты  при  производстве,  к  примеру,  при  конструировании  деталей. 

Объектом  исследования  является  треугольник  Рёло.

Цель  исследования:  привести  достаточное  количество  примеров  применения  свойств  треугольника  Рёло.

Для  решения  поставленной  цели  были  выделены  следующие  задачи  исследования: 

·изучить  главные  свойства  треугольника  Рёло; 

·отсмотреть  видео  материал  про  треугольник  Рёло;

·на  основе  изученных  материалов  предложить  области  использования  треугольника  Рёло. 

Методами  исследования  являются  изучение  документации  и  информационных  материалов,  наблюдение,  анализ,  эксперимент.

Франц Рёло́ (нем. Franz Reuleaux; 30 сентября 1829, Эшвайлер, Пруссия — 20 августа 1905, Берлин, Германская империя) — немецкий учёный в области механики и машиностроения[3], лектор Берлинской королевской технической академии, ставший впоследствии её президентом.

Просмотр видео Круглый треугольник Рёло https://www.youtube.com/watch?v=Q0aRgmnOJ-A

Проектор 8 миллиметровой кинопленки Луч-2. Именно он был в каждом доме, где сами снимали и смотрели киноэтюды.

Колесо… Окружность. Одним из свойств окружности является ее постоянная ширина. Проведем две параллельные касательные и зафиксируем расстояние между ними. Начнем вращать. Кривая (в нашем случае окружность) постоянно касается обеих прямых. Это и есть определение того, что замкнутая кривая имеет постоянную ширину.

Зададимся вопросом: бывают ли кривые, отличные от окружности и имеющие постоянную ширину?

Рассмотрим правильный треугольник. На каждой стороне построим дугу окружности, радиусом равным длине стороны.

 Эта кривая и носит имя "треугольник Рело". Оказывается, она тоже является кривой постоянной ширины. Как и в случае окружности проведем две касательные, зафиксируем расстояние между ними и начнем их вращать. Треугольник Рело постоянно касается обеих прямых. Действительно, одна точка касания всегда расположена в одном из "углов" треугольника Рело, а другая на противоположной дуге окружности. Значит, ширина всегда равна радиусу окружностей, т.е. длине стороны изначального правильного треугольника.

В житейском смысле постоянная ширина кривой означает, что если сделать катки с таким профилем, то книжка будет катиться по ним, не шелохнувшись.

Однако колесо с таким профилем сделать нельзя, так как центр такой фигуры описывает сложную линию при качении фигуры по прямой.

А бывают ли какие-то еще кривые постоянной ширины? Оказывается их бесконечно много.

На любом правильном нечетном n-угольнике можно построить кривую постоянной ширины по той же схеме, что был построен треугольник Рело. Из каждой вершины, как из центра, проводим дугу окружности на противоположной вершине стороне. Примером такой фигуры может служить английская монета в 20 пенсов, имеющая форму кривой постоянной ширины, построенной на семиугольнике.

Вот одна из решенных современных задач. Рассмотрим произвольный набор пересекающихся прямых. Рассмотрим один из секторов. Проведем дугу окружности произвольного радиуса с центром в точке пересечения прямых, определяющих этот сектор. Возьмем соседний сектор, и с центром в точке пересечения прямых, определяющих его, проведем окружность. Радиус подбирается такой, чтобы уже нарисованный кусок кривой непрерывно продолжался. Будем так делать дальше. Доказать, что при таком построении кривая замкнется и будет иметь постоянную ширину. Докажите это!

Еще несколько интересных фактов про кривые постоянной ширины:

- все кривые данной постоянной ширины имеют одинаковый периметр;

- окружность и треугольник Рело выделяются из всего набора кривых данной ширины своими экстремальными свойствами: окружность ограничивает максимальную площадь, а треугольник Рело — минимальную в классе кривых данной ширины. (Например, если делать колонны с сечением круг или треугольник Рело, то, соответственно, круглые колонны будут занимать большую площадь).

Оказывается, что треугольник Рело имеет интересные приложения в механике.

Это Мазда RX-7. В отличие от большинства серийных машин в ней (а также в модели RX-8) стоит роторный двигатель Ванкеля. Как же он устроен внутри? В качестве ротора используется именно треугольник Рело! Между ним и стенками образуется три камеры, каждая из которых по очереди является камерой сгорания. Вот вспрыснулась синяя бензиновая смесь, далее из-за движения ротора она сжимается, поджигается и крутит ротор. Роторный двигатель лишен некоторых недостатков поршневого аналога - здесь вращение передается сразу на ось и не нужно использовать коленвал.

А это — грейферный механизм. Он использовался в кинопроекторах. Двигатели дают равномерное вращение оси, а чтобы на экране было четкое изображение, пленку мимо объектива надо протянуть на один кадр, дать ей постоять, потом опять резко протянуть и так 18 раз в секунду. Именно эту задачу решает грейферный механизм. Он основан на треугольнике Рёло, вписанном в квадрат. Вот такие интересные применения, казалось бы, чисто математической задачи используют люди.

Практическая работа:

1. Построение треугольника Рёло из вершин равностороннего треугольника.

2. Построение треугольника Рёло с помощью циркуля пересечением трёх окружностей

Приготовить раздаточный материал.

Просмотр видео:

 Галилео о треугольнике Рёло https://www.youtube.com/watch?v=j5FPhVbA2Hc

Сверление квадратных отверстий https://www.youtube.com/watch?v=_o8XhfJCGW8

Качение доски на круглых и треугольных колёсах  https://www.youtube.com/watch?v=U7x1ppB1g3Q

Велосипед https://www.youtube.com/watch?v=BeOS9pG6vjU

Являясь  фигурой  постоянной  ширины,  треугольник  Рёло  обладает  всеми  общими  свойствами  фигур  этого  класса.  А  именно:

·с  каждой  из  своих  опорных  прямых,  треугольник  Рёло  имеет  лишь  по  одной  общей  точке;

·расстояние  между  двумя  любыми  точками  треугольника  Рёло  ширины  не  может  превышать  а;

·отрезок,  соединяющий  точки  касания  двух  параллельных  опорных  прямых  к  треугольнику  Рёло,  перпендикулярен  к  этим  опорным  прямым;

·через  любую  точку  границы  треугольника  Рёло  проходит,  по  крайней  мере,  одна  опорная  прямая;

·через  каждую  точку  границы  треугольника  Рёло  проходит  объемлющая  его  окружность  радиуса,  причём  опорная  прямая,  проведённая  к  треугольнику  Рёло  через  точку,  является  касательной  к  этой  окружности;

·радиус  окружности,  имеющей  не  меньше  трёх  общих  точек  с  границей  треугольника  Рёло  ширины,  не  превышает;

·по  теореме  Ханфрида-Ленца  о  множествах  постоянной  ширины  треугольник  Рёло  нельзя  разделить  на  две  фигуры,  диаметр  которых  был  бы  меньше  ширины  самого  треугольника;

·треугольник  Рёло,  как  и  любую  другую  фигуру  постоянной  ширины,  можно  вписать  в  квадрат,  а  также  в  правильный  шестиугольник;

·по  теореме  Барбье  формула  периметра  треугольника  Рёло  справедлива  для  всех  фигур  постоянной  ширины.

Не  опровержим  тот  факт,  что  свойство  треугольника  Рёло  —  качение  по  квадрату,  позволяет  применять  его  в  интересных  областях  (Рис.  4). 

Изучив  научную  и  справочную  литературу  по  треугольнику  Рёло,  я  выделил  4  области  применения  фигуры  постоянной  ширины. 

Рисунок  6.  Двигатель  Ванкеля

Во-первых,  это  двигатель  Ванкеля  (Рис.  6),  который  возможен  благодаря  форме  ротора.  Он  вращается  внутри  камеры,  поверхность  которой  выполнена  по  эпитрохоиде[1].  Вал  ротора  жёстко  соединён  с  зубчатым  колесом,  которое  сцеплено  с  неподвижной  шестерёнкой.  Такой  трёхгранный  ротор  обкатывается  вокруг  шестерни,  касаясь  вершинами  внутренних  стенок  двигателя  и  образуя  три  области  переменного  объёма,  каждая  из  которых  по  очереди  является  камерой  сгорания.  Благодаря  этому  двигатель  выполняет  три  полных  рабочих  цикла  за  один  оборот.

Во-вторых,  кинематография,  а  более  точно  —  «Грейферный»  механизм  (Рис.  7),  который  осуществляет  покадровое  перемещение  плёнки  в  кинопроекторах.  В  данном  случае  треугольник  Рёло  находится  внутри  квадрата  и  двигает  рамку,  посредством  вращения  вокруг  одного  из  своих  углов.  Зуб,  который  находиться  на  рамке,  входит  в  перфорацию  киноплёнки,  протаскивает  её  на  один  кадр  вниз  и  выходит  обратно.

Рисунок  7.  Грейферный  механизм

В-третьих,  с  помощью  сверла  формы  треугольника  Рёло  можно  сверлить  квадратные  отверстия!  Замечено  что  вершины  треугольника  Рёло  описывают  квадрат  только  при  вращение  центра  строго  по  фигуре  состоящей  из  4  дуг  эллипсов  (Рис.4).  Отсюда  и  сложность  создания  такого  сверла,  так  как  обычная  дрель  вращает  сверло  вокруг  своей  оси.  Но  все-таки,  конструкция  позволяющая  воплотить  такое  сверло,  было  придумано  Гарри  Уаттсу  в  1917  году  (Рис.  8). 

Рисунок  8.  Сверло  Уаттсу

В-четвертых,  это  медиатор  музыкантов-струнников,  а  так  же  диаграммы  Эйлера  RGB.

Основываясь  на  теоретических  данных,  предполагаю,  что  свойства  треугольника  Рёло  возможно  использовать  в  следующих  направлениях:

1.  Создание  и  использование  машины  для  дробления  камней  в  шахтах.  Для  этого  необходимо  изготовить  два  вала,  которые  при  фронтальном  срезе  будут  в  форме  треугольника  Рёло,  причем  вершины  треугольника  имеют  зубья,  глубина  которых  равна  разнице  расстояния  от  центра  до  вершины,  и  расстоянию  от  центра  до  самой  удаленной  точки  на  стороне  (Рис.  9). 

Рисунок  9.  Вал  дробильной  машины  (вид  сбоку)

Которые  надо  расположить  таким  образом,  что  их  оси  будут  находиться  на  расстоянии,  равном  двум  расстояниям  от  самой  удаленной  точки  стороны  треугольника  (назовем  её  х)  до  его  центра,  плюс  15  %  от  этого  расстояния,  и  начать  их  вращать.  При  вращение  мы  будем  наблюдать  две  фазы.  Первая,  когда  точки  х  обоих  валов  будут  на  не  большом  (15  %)  расстоянии  друг  от  друга  (Рис.10),  и  вторая,  когда  зубчатые  вершины  треугольника  Рёло  будут  входить  друг  в  друга  с  небольшим  зазором  (Рис.  11). 

Рисунок  10.  Первая  фаза

Рисунок  11.  Вторая  фаза

В  первой  фазе  камни  будут  попадать  в  зазор,  а  во  второй  дробиться.  Причем,  если  по  той  же  технологии  расположить  круглые  валы,  то  вероятность  того,  что  конструкция  заклинит  выше,  потому  что  при  вращение  круглых  валов,  всего  одна  фаза,  при  которой  камни  и  попадают  в  дробильный  механизм,  и  дробятся  одновременно.  В  случае  с  машиной,  в  которой  применен  треугольник  Рёло,  фазы  две,  и  даже,  если  при  дроблении  камень  застрял,  то  в  следующей  фазе  механизм  образует  зазор,  и  машина  не  застопорится.  К  тому  же,  современная  дробилка  устроена  таким  образом,  что  в  ней  присутствует  возвратнопоступательный  механизм.  На  примере  сравнения  двигателя  Ванкеля  и  поршневого  двигателя  (и  здесь  можно  выделять  те  же  плюсы).

2.  Тренажеры  для  развития  различных  групп  мышц.  Главная  цель  современных  тренажеров,  это  изолированная  тренировка  мышцы.  Но  время  не  стоит  на  месте  и  биомеханика,  позволила  понять,  что  важно  не  только  изолировать  мышцу,  но  и  правильно  давать  на  нее  нагрузку.  Так  как  мышца  не  способна  одинаково  сильно  работать  на  протяжении  всего  своего  «рабочего  хода»,  то  надо  давать  слабую  нагрузку  в  момент,  когда  она  находиться  в  одном  из  крайних  положений  и  когда  она  проходит  «центральное»  положение,  нагрузка  может  возрастать.  Но  такого  эффекта  сложно  добиться,  для  этого  используют  различные  кулачковоблочные  механизмы,  и  такие  тренажеры  отличаются  дороговизной.  В  свою  очередь  использования  треугольника  Рёло  для  этой  цели  очень  эффективно  заменяет  все  сложные  механизмы.  Работая  пятое  лето  подряд  у  отца  на  заводе  по  изготовлению  тренажеров,  и  занимаясь  последние  два  лета  непосредственно  разработкой  такого  вида  тренажеров,  как  никто  другой,  я  знаю,  как  сложно  создать  такой  механизм.  И  вот  теперь  я  произвел  расчеты,  что,  если  тянуть  трос  не  через  кулачковоблочный  механизм,  а  через  блок  в  виде  треугольника  Рёло,  то  экономиться  приблизительно  2  метра  троса  который  проходит  через  такую  систему,  и  сокращается  расход  метала.  А  результат  изменения  нагрузки  будет  таким  же,  нагрузка  будет  с  начало  возрастать,  а  затем  она  станет  пиковой  в  момент  прохождения  вершины  треугольника  Рёло,  а  затем  снова  сходить  на  нет,  при  условии,  что  мы  тянули  один  и  тот  же  вес.  Нагрузка  на  мышцу  получилась  плавная  и  равномерная.

3.  Люки  канализации.  Фигура  постоянной  ширины  не  может  проходить  через  отверстие  такой  же  фигуры  с  меньшей  шириной.  Благодаря  чему  можно  треугольник  Рёло  использовать  и  в  этом  направление  тоже.  Тут,  конечно,  можно  рассуждать,  что  и  круглый  люк  не  проваливается,  так  как  круг  тоже  фигура  постоянной  величины,  но  нам  уже  известен  тот  факт,  что  у  треугольника  Рёло  меньше  площадь,  чем  у  круга,  а  значит  и  материала  меньше  расходуется  на  крышку  люка.  Это  придумал  не  я.  Но  я  думаю  это  актуально  и  сейчас. 

4.  Музыкальные  инструменты.  Я  окончил  музыкальную  школу  по  классу  баян.  Поэтому  знаю,  какие  минусы  есть  у  моего  инструмента.  Один  из  них  это,  что  при  нажатии  на  клавиши  близко  стоящие  во  2  и  3  ряду  они  цепляют  друг  за  друга  в  виду  небольшого  смешения,  что  не  приемлемо.  Если  же  клавиши  сделать  в  форме  треугольника  Рёло,  и  расположить  их,  как  показано  на  рисунке  12,  то  такой  проблемы  можно  избежать.  Причем  инструмент  будет  более  экстравагантный. 

Рисунок  12.Клавиши  баяна

5.  Также  нашел  применение  треугольника  Рёло  в  мотоиндустрии.  Сам  я,  с  недавних  пор,  увлекся  мотоциклами,  и,  соответственно,  туда  тоже  применил  эту  фигуру.  Всем  известно,  для  того,  чтобы  приводить  мотоцикл  в  движение  необходимо  «крутить  ручку  газа».  В  мотоиндустрии  проблема  с  хорошим  хватом  этой  ручки  стоит  остро.  Её  решали  по-разному,  к  примеру:  используя  материалы,  повышающие  трение  между  перчаткой  и  грипсой  (ручкой  газа).  К  тому  же,  при  длительной  езде  рука  попросту  устает.  Ради  решения  моей  проблемы,  я  изготовил  из  дерева  ручку,  которая  при  фронтальном  разрезе  имела  форму  треугольника  Рёло  и,  как  оказалось,  она  идеально  повторяет  внутренние  контуры  закрытой  ладони,  и  удерживать  такую  рукоять  гораздо  легче.  Как  оказалось,  при  простейшем  изучении  вашей  ладони  вы  увидите,  что  если  собрать  руку  «трубочкой»,  как  будто  вы  держите  что-нибудь  круглое,  то  вторая  и  третья  фаланга  второго,  третьего  и  четвертого,  а  также  вторая  фаланга  первого  пальца  (замыкающего  «кольцо»  из  вашей  ладони)  образуют  вершины  круглого  треугольника,  что  полностью  доказывает  мою  гипотезу.  Данное  открытие  можно  использовать  не  только  для  ручек  мотоцикла,  но  и  везде  где  необходимо  удерживать  с  сопротивлением  поворотную  рукоять  такого  типа.

На  самом  деле,  треугольник  Рёло  называется  так  не  по  праву.  Потому  что  сам  Рёло,  только  описал  и  изучил  круглый  треугольник,  но  никак  не  придумал  его.  Это  легко  проверить,  заглянув  в  работы  Леонардо-де  Винчи.  Еще  можно  встретить  эту  фигуру  в  архитектуре  ранее. 

Что  же  я  получили  в  ходе  работы?  Изучив  литературу,  просмотрев  видео  материалы,  рассмотрев  большое  количество  областей,  которые  укладываются  в  мой  кругозор,  где  только  возможно  применение  треугольника  Рёло,  мы  получили  интересный  результат.  А  заключается  он  в  том,  что  применение  данного  треугольника  в  окружающем  нас  мире,  может  быть  гораздо  большем,  чем  мы  могли  бы  подумать.  Я  считаю,  что  нельзя  так  беззаботно  обходить  треугольник  Рёло,  его  можно  использовать  в  различных  механизмах.  Это  подобно  великому  русскому  языку.  Ведь  столько  слов,  которые  мы  можем  использовать,  не  заимствуя  их  с  других  языков.  Не  применяя  русские  слова,  мы  используем  иностранные.  Так,  не  учитывая  во  внимание  существование  данной  фигуры,  мы  стараемся  изобрести  что-то  новое.  А  так  ли  это  необходимо?  Не  всегда.  Иногда  необходимо  лишь  углубить  свои  знания  в  той  или  иной  области.  И  ответ  окажется  очень  простым.  Знание  о  треугольнике  Рёло,  действительно  облегчает  нашу  жизнь.