10-ГЕОМЕТРИЯ Перпендикулярность в пространстве
учебно-методический материал по геометрии (10 класс) на тему

Яковлева Татьяна Викторовна Барвихинская сош

материал предназначен для организации дистанционного взаимодействия с обучающимися

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл 10-geo_urok_5_perpendikulyarnost_pryamyh_v_prostranstve.docx67.25 КБ

Предварительный просмотр:

Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости

Урок: Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

1. Тема урока

На этом уроке мы рассмотрим перпендикулярность прямых в пространстве, перпендикулярность прямой и плоскости и параллельные прямые, которые перпендикулярны к плоскости.

2. Определения перпендикулярности прямых в пространстве

Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Обозначение. http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81188/c7dc5810_293f_0131_1fc7_22000aa81b95.png.

http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81189/c9108d80_293f_0131_1fc8_22000aa81b95.png

Рис. 1.

Рассмотрим прямые а и b. Прямые могут пересекаться, скрещиваться, быть параллельными. Для того, чтобы построить угол между ними нужно выбрать точку и через нее провести прямую http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81190/ca4a14e0_293f_0131_1fc9_22000aa81b95.png, параллельную прямой а, и прямую http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81191/cb7c9010_293f_0131_1fca_22000aa81b95.png, параллельную прямойb. Прямые http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81190/ca4a14e0_293f_0131_1fc9_22000aa81b95.pngи http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81191/cb7c9010_293f_0131_1fca_22000aa81b95.png пересекаются. Угол между ними и есть угол между прямыми а и b. Если угол равен 90°, то прямые а и b перпендикулярны.

3. Лемма

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Доказательство:

Пусть даны две параллельные прямые а и b, и прямая с,причем http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81192/ccf64e90_293f_0131_1fcb_22000aa81b95.png. Нужно доказать, что http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81193/ce2fa660_293f_0131_1fcc_22000aa81b95.png.

Возьмем произвольную точку М. Через точку М проведем прямую http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81190/ca4a14e0_293f_0131_1fc9_22000aa81b95.png, параллельную прямой а и прямую http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81194/cf60cfd0_293f_0131_1fcd_22000aa81b95.png, параллельную прямой c (рис. 2). Тогда угол АМС равен 90°.

http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81195/d0926190_293f_0131_1fce_22000aa81b95.png

Рис. 2.

Прямая b параллельна прямой а по условию, прямая http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81190/ca4a14e0_293f_0131_1fc9_22000aa81b95.png параллельна прямой а по построению. Значит, прямые http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81190/ca4a14e0_293f_0131_1fc9_22000aa81b95.png и b параллельны.

Имеем, прямые http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81190/ca4a14e0_293f_0131_1fc9_22000aa81b95.png и b параллельны, прямые с и http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81194/cf60cfd0_293f_0131_1fcd_22000aa81b95.png параллельны по построению. Значит, угол между прямыми b и с – это угол между прямыми http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81190/ca4a14e0_293f_0131_1fc9_22000aa81b95.png иhttp://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81196/d1c488e0_293f_0131_1fcf_22000aa81b95.png, то есть угол АМС, равный 90°. Значит, прямые b и с перпендикулярны, что и требовалось доказать.

4. Определение перпендикулярности прямой и плоскости

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Обозначение. http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81197/d3360420_293f_0131_1fd0_22000aa81b95.png.

http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81198/d46b1890_293f_0131_1fd1_22000aa81b95.png

Рис. 3. 

5. Свойство

Если http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81197/d3360420_293f_0131_1fd0_22000aa81b95.png, то http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81199/d59cd360_293f_0131_1fd2_22000aa81b95.png. (пересечение а и http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81200/d6f342e0_293f_0131_1fd3_22000aa81b95.png)

Доказательство:

Напоминание. Прямая и плоскость или пересекаются в одной точке, или параллельны, или прямая лежит в плоскости.

Если прямая а параллельна плоскостиhttp://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81201/d8215d00_293f_0131_1fd4_22000aa81b95.png (рис. 4), то в плоскости http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81200/d6f342e0_293f_0131_1fd3_22000aa81b95.png можно провести прямую http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81190/ca4a14e0_293f_0131_1fc9_22000aa81b95.png, параллельную прямой а. Получаем противоречие с определением перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая а лежит в плоскостиhttp://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81201/d8215d00_293f_0131_1fd4_22000aa81b95.png (рис. 5), то в плоскости http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81200/d6f342e0_293f_0131_1fd3_22000aa81b95.png можно провести прямую http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81190/ca4a14e0_293f_0131_1fc9_22000aa81b95.png, параллельную прямой а. Опять получаем противоречие с определением перпендикулярности прямой и плоскости.

Значит, если прямая а перпендикулярна плоскости http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81200/d6f342e0_293f_0131_1fd3_22000aa81b95.png, то она пересекается с ней.

http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81202/d99b8eb0_293f_0131_1fd5_22000aa81b95.pnghttp://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81203/dadc9b00_293f_0131_1fd6_22000aa81b95.png

Рис. 4.                                                           Рис. 5.

 

6. Теорема

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перепедикуляная к этой плоскости.

Доказательство.

Пусть прямая а параллельна прямой а1. Прямая а перепендикулярна плоскостиhttp://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81201/d8215d00_293f_0131_1fd4_22000aa81b95.png. Докажем, что и прямая а1 перепендикулярна плоскостиhttp://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81201/d8215d00_293f_0131_1fd4_22000aa81b95.png.

Прямая а перпендикулярна плоскости http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81200/d6f342e0_293f_0131_1fd3_22000aa81b95.png. Значит, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая х лежит в плоскости http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81200/d6f342e0_293f_0131_1fd3_22000aa81b95.png, значит, http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81204/dc1262c0_293f_0131_1fd7_22000aa81b95.png (см. рис. 6).

http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81205/dd446db0_293f_0131_1fd8_22000aa81b95.png

Рис 6.

Прямая а перпендикулярна прямой х, а прямая а1 параллельна прямой а. Значит, прямая а1 перпендикулярна прямой х по лемме. Прямую х мы выбирали произвольно. Значит, прямая а1 перпендикулярна любой прямой в плоскости http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81200/d6f342e0_293f_0131_1fd3_22000aa81b95.png, то есть прямая х перпендикулярна плоскости http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81200/d6f342e0_293f_0131_1fd3_22000aa81b95.png, что и требовалось доказать.

7. Обратная теорема

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Доказательство.

Пусть прямая а перепендикулярна плоскостиhttp://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81201/d8215d00_293f_0131_1fd4_22000aa81b95.png и прямая b перепендикулярна плоскостиhttp://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81201/d8215d00_293f_0131_1fd4_22000aa81b95.png. Докажем, что прямая а параллельна прямой b.

http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81206/de7e1610_293f_0131_1fd9_22000aa81b95.png

 

 

 

 

  

Рисунок 7.

Предположим, что прямая b не параллельна прямой а. Через точку М прямой b проведем прямую http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81191/cb7c9010_293f_0131_1fca_22000aa81b95.png, параллельно прямой а (рис. 8).

Прямые http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81191/cb7c9010_293f_0131_1fca_22000aa81b95.png и а параллельны, прямая а перпендикулярна плоскости http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81200/d6f342e0_293f_0131_1fd3_22000aa81b95.png. По теореме, прямая http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81191/cb7c9010_293f_0131_1fca_22000aa81b95.png также перпендикулярна плоскости http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81200/d6f342e0_293f_0131_1fd3_22000aa81b95.png.

Прямые b и http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81191/cb7c9010_293f_0131_1fca_22000aa81b95.png пересекаются, а значит через них проходит некоторая плоскость. Пусть эта плоскость пересекает плоскость http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81200/d6f342e0_293f_0131_1fd3_22000aa81b95.png по прямой с. Тогда прямая http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81191/cb7c9010_293f_0131_1fca_22000aa81b95.png перпендикулярна прямой с, так как прямая с лежит в плоскости http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81200/d6f342e0_293f_0131_1fd3_22000aa81b95.png, а прямая http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81191/cb7c9010_293f_0131_1fca_22000aa81b95.png ей перпендикулярна.

Но тогда в плоскости, определенной пересекающимися прямыми b и http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81191/cb7c9010_293f_0131_1fca_22000aa81b95.png через точку М проходят два перпендикуляра b и http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81191/cb7c9010_293f_0131_1fca_22000aa81b95.png  к прямой с. Получаем противоречие. Значит, прямая b параллельна прямой а, что и требовалось доказать.

http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81207/dfb57d30_293f_0131_1fda_22000aa81b95.png

Рис. 8.

8. Задача 1

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (рис. 9). Докажите, что http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81208/e1311440_293f_0131_1fdb_22000aa81b95.png и http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81209/e26500a0_293f_0131_1fdc_22000aa81b95.png, если http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81210/e397f480_293f_0131_1fdd_22000aa81b95.png.

http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81211/e4c831c0_293f_0131_1fde_22000aa81b95.png

Рис. 9.

Доказательство.

ABCD – прямоугольник, так как в параллелограмме ABCD угол http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81210/e397f480_293f_0131_1fdd_22000aa81b95.png.

Прямая В1С1 параллельна прямой ВС, а прямая ВС перпендикулярна прямой DС. Значит, по лемме, прямая перпендикулярна В1С1.

Прямая АВ перпендикулярна прямой ВС, а ВС параллельна прямой A1D1. Значит, по лемме, прямая АВ перпендикулярна A1D1. Задача доказана.

Рассмотрим другое доказательство факта, что http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81208/e1311440_293f_0131_1fdb_22000aa81b95.png.

Угол DCB равен углу между прямыми DC и В1С1. Угол DCB – прямой. Значит, прямые и В1С1 перпендикулярны.

9. Задача 2

В тетраэдре ABCD - http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81212/e5f1f460_293f_0131_1fdf_22000aa81b95.png. Докажите, что http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81213/e75fd5c0_293f_0131_1fe0_22000aa81b95.png, где М и N середины ребер АВ и АС.

http://static.interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/81214/e8a479a0_293f_0131_1fe1_22000aa81b95.png

Рис. 10.

Доказательство.

MN – средняя линия треугольника АВС. По свойству средней линии, ВС параллельна MN.

Прямые ВС и MN параллельны, а прямые ВС и AD перпендикулярны. Значит, по лемме, прямые AD и MN перпендикулярны, что и требовалось доказать.

10. Итоги урока

Итак, мы рассмотрели перпендикулярность прямых в пространстве, перпендикулярность прямой и плоскости, перпендикулярность к плоскости параллельных прямых. На следующем уроке мы рассмотрим признак перпендикулярности прямой и плоскости.

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Fizma.net (Источник)

2. Хvatit.com (Источник)

3. Якласс (Источник)

4. 900igr.net Источник

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 5, 6, 7 стр. 54

2. Дайте определение перпендикулярности прямых в пространстве.

3. Равные стороны АВ и CD четырехугольника ABCD перпендикулярны некоторой плоскости. Определите вид четырехугольника.

4. Сторона треугольника перпендикулярна некоторой прямой а. Докажите, что одна из средних линий треугольника перпендикулярна прямой а.


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Задачи по теме " Перпендикулярность в пространстве" 10 класс

В материале представлены карточки с задачами по темам "Теорема о трех перпендикулярах", "Двугранный угол", "Угол между прямой и плоскостью", "Перпендикулярность плоскостей". Каждая карточка содержит 4...

Зачёт "Перпендикулярность в пространстве"

Вопросы и задачи к зачёту. Учебник Л.С. Атанасяна....

Перпендикулярность в пространстве

Презентации к урокам геометрии по теме перпендикулярность в пространстве...

Задачи к зачёту по теме "Перпендикулярность в пространстве" геометрия 10 класс

Задачи для обобщения темы "Перпендикулярные прямые и плоскости в пространстве" (10 класс)....

Контрольная работа по геометрии по теме "Перпендикулярность в пространстве"

Предлагаю 4 варианта для проведения контрольной работы по геометрии в 10 классе....

Зачет по геометрии "Перпендикулярность в пространстве"

Предлагаю теоретический зачет по геометрии. Вопросы учитель разбивает по вариантам по своему усмотрению....

Урок по геометрии "Перпендикулярные прямые в пространстве"

Урок по геометрии "Перпендикулярные  прямые  в  пространстве" в 10 классе...