Треугольник. Подготовка к ГИА.
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс)

Треугольник

Учитель математики МБОУ лицей г.Владикавказ

Сатцаева  Нонна Ефимовна

Как показывают результаты ОГЭ и ЕГЭ, за решение  геометрических задач берётся низкий процент выпускников, что свидетельствует о трудности восприятия условия таких задач и выполнения чертежей к ним.

Между тем развитое пространственное представление и воображение необходимо не только специалистам, непосредственно связанным с геометрией, но и любому рядовому гражданину: окружающий нас мир структурно является геометрическим.

Обучаясь правильно изображать пространственные фигуры, ученик знакомится с законами восприятия окружающих его предметов, приобретает необходимые практические навыки, формирует свои пространственные представления.

Решение пространственных задач по геометрии, как правило, требует выполнения чертежа, и от того, насколько правильно он сделан, во многом зависит успешность получения результата.

В современных условиях в рамках подготовки учащихся к выпускным экзаменам за курсы основной и средней школы предлагается много различных пособий.

В плане системной подготовки по геометрии к экзамену (ОГЭ, ЕГЭ) особо продуктивно будет повторение вопросов теории на одной задаче, в которой предусмотрено нахождение всех возможных элементов, а, следовательно, повторение всех необходимых формул, приёмов решения.

Этапы решение геометрических задач.

1. Чтение условия задачи.
2. Выполнение чертежа с буквенными обозначениями.
3. Краткая запись условия задачи (формирование базы данных).
4. Перенос данных условия на чертёж; выделение элементов чертежа различными цветами.
5. Запись требуемых формул и теорем на черновике (формирование базы знаний).
6. «Деталировка» – вычерчивание отдельных деталей на дополнительных чертежах.
7. Анализ данных задачи, привязка искомых величин элементам чертежа.
8. «Синтез» – составление «цепочки» действий (алгоритма решения).
9. Реализация алгоритма решения.

10. Проверка правильности решения.
11. Запись ответа.

Одна из основных фигур геометрии – это треугольник. Решение даже самых сложных математических задач обычно сводится к решению нескольких простых, где хотя бы одна из полученных новых задач будет задачей на треугольники.

Чтобы успешно решать задачи на треугольники необходимо усвоить несколько основных правил.

Во-первых, необходимо усвоить основные теоремы. Не зная признаков равенства и подобия треугольников невозможно научиться решать геометрические задачи.

Во-вторых, приступая к решению очередной задачи, делайте чертеж, чтобы представить ситуацию зрительно. Подписывайте на нем известные длины сторон, величины углов.

В-третьих, выучите некоторые полезные теоремы и следствия из них. К таким теоремам относятся:

теорема синусов, в которой говорится, что длины сторон любого треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов;

теорема косинусов, о том, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

В-четвертых, не забывайте о четырех замечательных точках и линиях треугольника и их свойствах. Так, три медианы пересекаются в одной точке. Точка пересечения делит каждую медиану в отношении 2 к 1, считая от вершины. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной в данный треугольник окружности.

В-пятых, не забывайте о соотношениях между элементами в прямоугольном треугольнике, а так же о теореме Пифагора. Именно она ваш главный помощник в решении геометрических задач.

Давайте вспомним все, что изучают в школьном курсе геометрии о треугольнике.

Определение: треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех , не лежащих на одной прямой,  и трех отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

                                                      Точки А, В, С – вершины  ∆ АВС

                                                      Отрезки АВ,ВС и АВ – стороны ∆АВС

                                                              ∠А, ∠В и ∠С – углы.

                Рис. 1

Стороны треугольника часто обозначают малыми латинскими буквами:

 АВ = с, ВС = а, АС = b.

 P = a+b+c – периметр треугольника.

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон:

a < b+c, b < a+c,  c< a+b.

Треугольник, у которого все углы острые, называется остроугольным (рис.1).

Треугольник, у которого угол прямой, называется прямоугольным (рис.2).

Стороны, образующие прямой угол, называются катетами (a и b), а сторона ,лежащая против прямого угла, - гипотенузой (с).

        Рис.2

Некоторые свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов   равна 90°.

        ∠А+∠В = 90° (рис.3)

2. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

3. Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета равен половине гипотенузы        

Треугольник с тупым углом называется тупоугольным (рис.3)

                 Рис.3

Определение вида треугольника по его сторонам

Пусть с наибольшая сторона, тогда:

а) если с2< a2+b2, то треугольник остроугольный;

б) если с2>a2+b2, то треугольник тупоугольный;

в) если с2= a2+b2, то треугольник прямоугольный.

     Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным (рис.4).

Равные стороны называются боковыми, а третья сторона - основанием равнобедренного треугольника.

          Рис.4

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним (рис.5).

Каждый угол равностороннего треугольника равен  60°.

         Рис. 5

Свойства равнобедренного треугольника:

1. Углы при основании равны.
2. Биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно медианой и высотой.
3. Высота, проведенная к основанию, является одновременно медианой и биссектрисой.
4. Медиана, проведенная к основанию, является  одновременно высотой и биссектрисой.

Внешним углом треугольника, называется угол смежный с каким-нибудь углом этого треугольника (рис.6).

∠CBD – внешний угол треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: ∠CBD = ∠A+∠B.

         Рис.6

Отрезок, соединяющий середины двух сторон, называется средней линией треугольника (рис.7).

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине: DE||AB, DE = ½AB.

            Рис.7

Признаки равенства треугольников

1 признак (по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

      Если  AB=A1B1, AC=A1C1, ∠A=∠A1, то

       ∆АВС=∆А1В1С1.

2 признак (по стороне и прилежащим к ней углам)

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если   AB=A1B1, ∠A=∠A1, ∠B=∠B1, то

             ∆АВС=∆А1В1С1.

3 признак ( по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам тругого треугольника, то такие треугольники равны.

Если  AB=A1B1, ВС=В1С1, AC=A1C1, , то

∆АВС=∆А1В1С1.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

1. Если катеты одного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

               Если  BС=В1С1, AC=A1C1, то

                  ∆АВС=∆А1В1С1.

2)  Если катет и прилежащий к нему острый угол  одного треугольника  соответственно равны  катету и прилежащему к нему углу другого, то такие треугольники равны.

        Если   AC=A1C1, ∠A=∠A1, то

                                                                   ∆АВС=∆А1В1С1.

   3)  Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны  

     гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

                Если   AВ=A1В1, ∠A=∠A1, то

                                                                                 ∆ АВС=∆А1В1С1.

              4) Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны                                         гипотенузе и катету другого, то такие  треугольники равны.

 Если  AB=A1B1,  AC=A1C1, , то

∆АВС=∆А1В1С1.

Подобные треугольники

Определение: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

 АВ и А1В1, АС и А1С1, ВС и В1С1 -  сходственные стороны.

Из подобия треугольников следует:

∠А=∠А1, ∠В=∠В1, ∠С=∠С1,   где k- коэффициент подобия.

Обозначение: ∆АВС~∆А1В1С1.

Если два треугольника подобны, то отношение их площадей равно k2  т.е   

Признаки подобия треугольников.

1 признак: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Если ∠А=∠А1, ∠В=∠В1, то ∆АВС~∆А1В1С1.

2 признак: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Если ∠А=∠А1, и   то ∆АВС~∆А1В1С1.

3 признак: если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Если  то ∆АВС~∆А1В1С1.

Четыре замечательные точки треугольника

С каждым треугольником связаны 4 точки:

1) точка пересечения медиан;

2) точка пересечение биссектрис,

3) точка пересечения высот (или их продолжений);

4) точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

Эти  четыре точки называются замечательными токами треугольника.

Высотой треугольника называется длина перпендикуляра, опущенного из любой его вершины на противоположную сторону или на ее продолжение.

В тупоугольном треугольнике две высоты падают на продолжение   сторон и лежат вне треугольника, а третья внутри.

Н

В остроугольном треугольнике все три высоты лежат внутри треугольника.

В прямоугольном треугольнике катеты одновременно служат и высотами.

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. В тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит вне треугольника.

В прямоугольном треугольнике он совпадает с вершиной прямого угла

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром тяжести треугольника.

Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от соответствующей вершины.

Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанного круга.

Три  перпендикуляра к сторонам треугольника, проведенные через их середины пересекаются в одной точке, которая является центром описанной окружности.

В тупоугольном треугольнике эта точка лежит вне треугольника, в остроугольном – внутри, в прямоугольном – на середине гипотенузы.

Ортоцентр, центр тяжести, центр вписанной и описанной окружностей совпадают друг с другом только в равностороннем треугольнике.

        Произвольный треугольник.        

      1) Свойство биссектрисы внутри угла треугольника:

                            .

       2) Длина биссектрисы: ;

                                               .

3) Длина медианы: .

4) Длина высоты:  где - стороны треугольника,

- полупериметр, - высота, проведенная к стороне .

5) Зависимость между сторонами и  высотами:

   .

6) Зависимость между высотами и радиусом вписанной окружности:

  .

Теорема Чевы

Для того чтобы прямые  и   пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Теорема Менелая

Если на сторонах ВС, АВ и продолжении стороны АС ∆АВС за точку С отмечены соответственно точки А1, С1 и В1, лежащие на одной прямой, то .

Теорема синусов

В любом треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов:

, где R – радиус окружности, описанной около треугольника.

Теорема косинусов

Квадрат одной стороны произвольного треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

,

,

.

Площадь треугольника

1)

2) ;

3) , где - формула Герона;

4) , где , r- радиус вписанной в треугольник окружности;

5) , где R – радиус, описанной около треугольника окружности;

6) - площадь равностороннего треугольника.

Равносторонний (правильный) треугольник

Задача.

Дано: ∆АВС        

АВ=с=13см                

ВС=а=14см

АС=b =15см                        

Найти:

1) ;

2)  высоту BD ;      

3) r  - радиус вписанной окружности;

4) величину наибольшего внутреннего угла ∆АВС;

5)R- радиус описанной окружности ;

6) mb – длину медианы ВF;

7)Lb- длину биссектрисы BE угла В (точка Е лежит на отрезке АС);

8) расстояние между точкой пересечения медиан G и центром описанной окружности Оо ;

9) расстояние между центрами вписанной Ов и описанной окружностей  Оо .                          

Решение:

1) Вычисление площади треугольника.

База знаний. Выпишем формулы для вычисления площади треугольника:

1)

2) ;

3) , где - формула Герона;

4) , где , r- радиус вписанной в треугольник окружности;

5) , где R – радиус, описанной около треугольника окружности;

6) - площадь равностороннего треугольника.

Так как по условию задачи даны только длины сторон треугольника, удобнее всего находить площадь  треугольника по формуле Герона.

Вычислим сначала полупериметр треугольника:

, тогда по формуле Герона

2) Вычисление высоты треугольника.

Используем формулу        

Так как известны  площадь ∆АВС  и длина стороны АС, то можем найти высоту BD=hb

.

3) Вычисление радиуса вписанной окружности

Для вычисления радиуса вписанной окружности r воспользуемся формулой  вычисления площади треугольника, где ,

4) Вычисление наибольшего угла треугольника.

Мы знаем, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. В нашем случае, наибольшая сторона АС, значит, наибольший угол ∠В. Его можно найти используя формулу для вычисления площади треугольника  
. Отсюда  ,  

5) Вычисление радиуса описанной окружности.

Вычислить радиус описанной окружности около треугольника можно использую теорему синусов  или формулу для вычисления площади треугольника

, где R – радиус, описанной около треугольника окружности.

По теореме синусов имеем:, используя формулу площади треугольника:

6) Вычисление длины медианы треугольника. 

Построим медиану BF и вычислим ее длину  mb .  

.  

7) Вычисление длины биссектрисы треугольника.

Построим биссектрису  BE =Lb.

8) Вычисление расстояния между точкой пересечения медиан G и центром описанной окружности Оо.

Обозначим G – точку пересечения медиан треугольника АВС, Оо- центр описанной окружности.

.

9)  Вычисление расстояния между центрами вписанной Ов и описанной окружностей  Оо .                          

Мы знаем, что центр вписанной окружности Ов -  это точка пересечения биссектрис, а центр описанной окружности  Оо – точка пересечения серединных перпендикуляров.

,

где R – радиус описанной окружности

r – радиус вписанной окружности