Синус, косинус и тангенс угла
план-конспект урока по геометрии (9 класс)

           Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

       «Республиканская школа-интернат «Тывинский кадетский корпус»

9 класс

Учитель : Куулар А.Д.

Кызыл 2017

Тема урока: «Синус, косинус и тангенс угла»

Дата проведения: 21.11.2017г

Класс: 9.

Цель урока:

- образовательная: ввести понятия синуса, косинуса и тангенса угла, актуализировать знания о синусе, косинусе и тангенсе угла в прямоугольном треугольнике, ознакомить с основным тригонометрическим тождеством, формулами приведения и формулой для нахождения координат точки, научить применять их при решении задач;

- развивающая: развитие внимания, памяти, речи, логического мышления, самостоятельности;

- воспитательная: воспитание дисциплины, наблюдательности, аккуратности, чувства ответственности.

Оборудование: мультимедиа проектор, презентация.

Тип урока: изучение нового материала.

Форма урока: урок - практикум

План урока:

1. Орг. момент (2 мин);
2. Актуализация знаний (4 мин);
3. Изучение нового материала (15 мин);
4. Первичное закрепление нового материла (9 мин);
5. Подведение итогов урока и домашнее задание (2 мин).

Ход урока:

I. Организационный момент.

Учитель приветствует учащихся, подготавливает помещение к уроку и отмечает отсутствующих.

II. Актуализация знаний.

- Сегодня мы приступаем к изучению новой главы «Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов» и первой темой в данной главе будет «Синус, косинус и тангенс угла». Запишите в тетрадях число и тему урока (слайд 1).

- Но прежде, чем перейти к изучению этой темы, повторим с вами пройденный материл.

– что называют синусом острого угла?

-  что называют косинусом острого угла?

- что такое тангенс острого угла?

- теперь решите следующий пример (слайд 2).

1. Пусть в прямоугольном треугольнике АВС
АВ = 6,
ВС = 3,
угол А = 30º.

Sin A = ?         Cos В = ?

Вариант 1 находит значение синуса угла А, вариант 2 находит косинус угла В.

(ученики самостоятельно решают в тетрадях)

Решение

1) В = 90º – 30º = 60º.

2) Вычислим sin A.      sin A =  =  = .

3) Теперь вычислим cos B.      cos B =  =  = .

В итоге получается:

sin A = cos B = . или

sin 30º = cos 60º = .

III. Изучение нового материала

- Мы вспомнили, что является синусом, косинусом и тангенсом угла в прямоугольном треугольнике. Теперь мы познакомимся с этими понятиями в независимости от фигуры, в которой они находятся.

Введем прямоугольную систему координат Оху и построим полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, расположенную в первом и втором квадрантах. Данная полуокружность называется единичной (см. рис. 290 в учебнике). Запишите определение с экрана и сделайте рисунок. (слайд 3)

Запись на доске и в тетрадях:

Если угол α острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем,

sin α =  , a cos α = .

Но OM = 1, MD = y, OD = x,

поэтому sin α = y, cos α = x.   (1)

Запись на доске и в тетрадях:

Т.к. tg = , то   tg = , ctg =  . (слайд 4).

Запись в тетрадях:

Т.к. 0 ≤ у ≤ 1, - 1 ≤ х ≤ 1, то для любого α из промежутка 0° ≤ α ≤ 180°

0 ≤ sin α ≤ 1, - 1≤ cos α ≤ 1. (слайд 5).  

 А теперь найдем значения синуса и косинуса для углов 0°, 90° и 180°.

Запись в тетрадях:

Sin 0° = 0, sin 90° = 1, sin 180° = 0, cos 0° = 1, cos 90° = 0, cos 180° = - 1 (слайд 6)

Запись в тетрадях:

Т.к. tg =  , то при α = 90° тангенс угла α не определен.

tg 0 ° = 0, tg 180 ° = 0,

т.к. ctg =   , то при α = 0 °, α =  180 °  катангенс угла α не определен

ctg 90° = 0. (слайд 7)

Кроме этих значений при решении задач вам понадобятся и другие значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса при различных угла α. (слайд 8).

Основное тригонометрическое тождество.

Запись в тетрадях:

Для любого угла α из промежутка 0° ≤ α ≤ 180° верно

sin2 α + cos2 α = 1 - основное тригонометрическое тождество. (слайд 9)

Теперь определим знаки синуса, косинуса и тангенса в разных четвертях.

Запись в тетрадях: 

т.к. sin α =  ,

 I , II ч - sin α > 0, III, IV ч - sin α < 0 (слайд 10)

Знаки тангенса и котангенса.

Запись в тетрадях:

tg α =  

I , III ч - tg α > 0, II, IV ч - tg α < 0

ctg α =

I , III ч - ctg α > 0, II, IV ч - ctg α < 0.

 Кроме основного тригонометрического тождества справедливы также следующие тождества, которые являются формулами приведения.  (слайд 11) 

Формулы приведения.

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α     (5)    при 0° ≤  α ≤  90,

sin (180° - α)= sin α

cos (180° - α) = - cos α    (6)   при   0° ≤  α ≤  180 .

Формулы для вычисления координат точки.

 Пусть задана система координат Оху и дана произвольная точка А(х;у) с неотрицательной ординатой у (см.рис. 291 учебника).

Запись в тетрадях:

sin α = y, cos α = x  

М(cos α; sin α), (cos α; sin α),  (х; у).

По лемме о коллинеарных векторах  = ОА ∙ , поэтому

x = ОА ∙ cos α,

y = OA ∙ sin α. (7)  (слайд 12)

4. Закрепление изученного материала

 Теперь закрепим изученный материал при решении следующих номеров задач: №№ 1012, 1013, 1015.

К доске вызываются ученики.

№ 1012.

Дано: М1(0; 1), М2 (  ; ), М3 ( ; ), М4 (-; ), А(1; 0), В(- 1; 0)

Найти: sin, cos, tg углов: АОМ1, АОМ2, АОМ3, АОМ4, АОВ

 Чтобы проверить, принадлежат ли точки единичной полуокружности, мы должны координаты точек подставить в уравнение окружности х2 + у2 = 1.

М1 (0; 1), 02 + 12 = 0 +1 = 1, следовательно М1  Окр (0; 1).

М2 (  ; ),  +  = 1,  +  = 1, 1 = 1, следовательно М2  Окр (0; 1).

М3 ( ; ), + = 1,  +  = 1, 1 = 1, следовательно М3  Окр (0; 1).

М4 (-; ),  +  = 1,  +  = 1, 1 = 1, следовательно М4  Окр (0; 1).

А(1; 0), 1 2 + 02 = 1 = 1, следовательно А  Окр (0; 1).

В(- 1; 0), (-1)2 + 02 = 1 = 1, следовательно В  Окр (0; 1).

Находим синус, косинус и тангенс угла АОМ1.

Т.к. sin α = y, cos α = x, tg =                       sin∠АОМ1= 1, cos∠АОМ1 = 0.

sin∠АОМ2 = ,                                                 cos∠АОМ2 = , tg ∠АОМ2 = .

sin∠АОМ3 = ,                                                 cos∠АОМ3 = , tg ∠АОМ3 = 1.

sin∠АОМ4 = ,                                                   cos∠АОМ4 =, tg ∠АОМ4 = .

sin∠АОВ = ,                                                      cos∠АОВ =, tg ∠АОВ = .

№ 1013 (а, б)

Дано: а) cos α = .

           б) cos α = .

Найти: sin α.         Решение: sin2 α + cos2 α = 1

a) sin2 α = 1 - cos2 α;

sin2 α = 1 -  = 1 -  = ;    sin2 α = ;  Так как α находится в 1 ч., то sin α > 0, sin α =  

б) sin2 α = 1 -  = 1 -  = ; Так как α находится во 2 ч., то sin α > 0, sin α =  .

№ 1015 (а, в)- самостоятельно    а) – 1 вариант; в) – 2 вариант

5. Подведение итогов урока и домашнее задание

Д/з: §1, п 93 - 95, № 1014, 1015 (б, г) (Слайд 13)