Муниципальное Общеобразовательное учреждение Лицей города Истры

СТАТЬЯ

на тему: «Методика работы с понятиями и теоремами в контексте деятельностного подхода»

Майорова Анастасия Игоревна

Истра

2019

Ощущения - первый источник познания действительности. Именно на их основе складываются первичные представления об окружающем мире. На ряду с этим существует второй способ познания, который возник в результате социальной жизни человека. Им является слово. Оно содержит в себе целый комплекс сложных взаимосвязей, основанных на слуховой, кинестетической и зрительной информациях [1].

В свою очередь слова, связанные с различными классами явлений, предметов, взаимоотношений, образуют наивысший продукт человеческого мозга - понятия.

Все понятия появляются и развиваются благодаря ряду процессов, таких как анализ, абстракция, синтез, а также обобщение. Так, анализ раскладывает сложные объекты на более простые для лучшего восприятия. При помощи абстракции происходит мысленное отстранение от несущественных черт предмета или отношения для выделения характерных признаков. Благодаря синтезу происходит объединение этих признаков в единое целое, а обобщение распространяет их на принадлежащие данному классу объекты [2].

Всё это играет свою не заменимую роль не только в создании понятий, но и в их усовершенствовании, так как в связи с непрекращающимся развитием общества происходит изменение и продуктов социальной жизни людей, в частности понятий, которыми они оперируют.

У каждого предмета можно выделить признаки или свойства, то есть то в чем предметы схожи или различаются между собой. Те признаки, которые можно выразить в мыслях о предмете, называют признаками понятия, а слова или несколько слов, выражающие научный смысл, называют терминами.

Все признаки какого-либо объекта можно разделить на существенные и несущественные. Признак называют существенным, если он выражает необходимое свойство предмета, то есть без него понятие теряет свой смысл, становится другим [2].

Например, понятию «ромб» присущи следующие признаки:

•  все стороны равны;
•  диагонали перпендикулярны;
• диагонали являются биссектрисами.

Все эти признаки являются существенными и общими для всех представителей класса «ромб», а мысль о всех этих признаках есть понятие «ромб».

Несущественными или как их так же называют второстепенными признаками можно назвать, например, равенство диагоналей или же условие, при котором внутренние углы прямоугольные. Эти признаки не входят в понятие «ромб», потому что не являются необходимыми.

Каждое понятие формируется за счет представлений об объекте. Представление - это мысленное восприятие предмета через его признаки, существенные и несущественные, общие и индивидуальные [3].

Чтобы пройти путь от представления о предмете к понятию, нужно выполнить несколько логических операций:

1.  при помощи анализа выявить у схожих предметов отдельные признаки;
2.  показать какие из данных признаков общие и существенные, а какие являются индивидуальными и второстепенными;
3.  далее следует убрать из внимания несущественные признаки, то есть абстрагироваться от них;
4.  на основе объединения всех существенные признаки происходит переход к понятию о рассматриваемом предмете или группе предметов [2].

Каждому понятию присуща пара логических характеристик - это содержание и объем. Под содержанием понятия понимают совокупность всех существенных признаков объекта, описанных в понятии. Объемом понятия называют множество предметов, для которых характерны признаки, отраженные в понятии. Содержание понятия можно проследить в определении, а объем в классификации [2].

Например, понятие «параллелограмм». Для него существенными признаками является то что:

•  противоположные стороны попарно равны и параллельны;
•  противоположные углы попарно равны;
•  диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Всё это является содержанием понятия «параллелограмм». Объемом же этого понятия будет множество всех параллелограммов, к которому относятся не только параллелограммы в самом широком понимании, но и в частных случаях, то есть ромб, прямоугольник, квадрат.

Каждому понятию присуще определенное количество существенных признаков. Если отбросить хотя бы один из этих признаков, произойдет переход к более общему понятию. Данную операцию называют обобщением понятия. Например, убрав из признаков понятия «прямоугольный треугольник» наличие прямого угла, получается понятие «треугольник».

Если же к существенным признакам добавить новый признак, которые не вытекает из уже имеющихся, то получится понятие с меньшим объемом. Эту операцию называют ограничением понятия. Например, добавив к признакам понятия «прямоугольник» добавить равенство всех сторон, то получится «квадрат».

По объему все понятия можно разделить на единичные и общие. Понятие называют единичным, если оно относится к одному единственному предмету (например, прямоугольник ABCD или студент Петров). Если же, понятие относится к целому классу объектов, то оно называется общим (например, треугольник или обучающиеся). Общие понятия также можно разделить на конечные и бесконечные. Это характеристика зависит от объема. Например, понятие «простое число» имеет бесконечный объем, значит оно общее и бесконечное, а «просто число меньше 12» имеет конечный объем (2, 3, 5, 7, 11), значит оно общее, но конечное. Уменьшая объем понятия можно перейти от общего к единичному («просто число больше 6, но меньше 10» - 7).

Для введения математического понятия существует три основных методических линии:

1.  неопределяемые понятия вводят через абстракцию, сопровождая её пояснениями (например, точка, прямая, плоскость, дробь);
2.  косвенное определение через аксиомы применяется, когда основных понятий не достаточно, у них нужно вывести свойства, установить между ними связь (например, понятие «расстояние» можно определить перечислив все его свойства;
3.  определение через указание ближайшего рода и видового отличия, то есть необходимо подвести понятие под ближайшее родовое понятие и указать отличительные признаки (например, квадрат - ромб, у которого все углы равны) или же если понятие не имеет рода, то нужно перечислить все его существенные признаки (определение параллельных прямых) [2].

При составление определения должны выполняться правила:

1.  Определение должно быть соразмерным, то есть объем определяемого и определяющего понятий должен совпадать;
2.  В определении не должно быть лишних признаков, то есть признаки не должны зависеть друг от друга;
3.  Определение должно быть понятным, то есть изложено в наиболее правильной стилистической форме, без двусмысленных терминов и сравнений, а также определяющее понятие должно быть яснее определяемого [2].

Таким образом, определение математических понятий должны состоять из ранее совмещения известных ранее понятий, символов или действий. Для лучшего формирования понятий обучающимся нужно предоставлять как можно больше разнообразных представителей определяемого класса, а также объекты, не принадлежащие данному понятию, так как лучше всего познание происходит в сравнение.

Работу нужно сопровождать с привлечением как можно большего количества рецепторов восприятия, то есть следует делать акцент на наглядности, на примеры из повседневной жизни, на самостоятельное моделирование и так далее. При формировании новых понятий следует опираться на уже изученные, а также всегда требуется осуществлять закрепление понятия для лучшего усвоения и для возможности дальнейшего применения полученных знаний.

При формировании математического понятия в контексте деятельностного подхода перед обучающимися необходимо ставить следующие учебные задачи [4]:

1. Наблюдать фигуру на различных моделях;
2. Наблюдать и выявлять наиболее общий признак;
3. Выявлять существенные признаки, абстрагируясь от несущественных;
4. Формулировать определение, указывая в нем наиболее общий и наиболее частный признак;
5. Уметь применять при решении задач.

Так же при работе с понятиями необходимо выделять следующие этапы:

• первый этап: осуществляется анализ языкового материала;
• второй этап: обобщение признаков, установление связи;
• третий этап: формулируется словесное определение понятия;
• четвертый этап: отработка понятия, установление связи с ранее изученными понятиями [5].

Немало важную роль в формировании глубоких математических знаний играют теоремы. Теорема - это математическое утверждение, истинность которого устанавливается путем доказательства. Теоремы могут быть сформулированы по-разному: в условной или как её ещё называют импликативной форме (если А, то В), в категоричной форме (например, вертикальные углы равны) или в дизъюнктивной форме (А если или В, или С).

Условие любо теоремы - это достаточное условие (то есть при выполнении условие верно) по отношению к заключению, а заключение в свою очередь является необходимым условием (без выполнения которых условие заведомо неверно) по отношению к условию теоремы. Например, чтобы число x было меньше 7, необходимо, но недостаточно, чтобы оно было меньше 9.

Для доказательства теорем существуют разные методы. Различают прямые (синтетический метод, то есть когда происходит преобразование условия; восходящий анализ, при котором происходит преобразование заключения; нисходящий анализ, который заключается в отыскании необходимого признака истинности; прием последовательного преобразования) и косвенные (метод доказательства от противного, при котором верность суждения подтверждается через установление противоречия; разделительный метод используется, когда доказываемое утверждение рассматривается как один из нескольких возможных вариантов) [6].

Для отработки умения доказательства теорем необходимо каждый раз при изучении новой теоремы использовать правила:

1. Повторять ранее изученный материал, который нужен для доказательства;
2. Мотивационный фактор. Учитель должен убедить учащихся в том, что теорему необходимо доказать;
3. Учащиеся должны знать, что при доказательстве можно использовать только ранее известные определения, аксиомы, теоремы и следствия;
4. Учитель должен разъяснить, что роль чертежа заключается в помощи при доказательстве и что он не является самим доказательством;
5. Условие теоремы в процессе доказательства должно быть использовано полностью, в теореме нет лишних элементов;
6. Чтобы не возникало формального подхода к доказательству, в процессе обучения одни и те же фигуры следует изображать по-разному [6].

Для учителя необходимо четко соблюдать этапы работы над каждой теоремой.

1. Проведение логико-математического анализа, выбор методов работы, отбор содержания;
2. Актуализация требуемых знаний обучающихся, мотивация необходимости изучения факта;
3. Введение формулировки теоремы и осуществление ее доказательства;
4. Использование теоремы при решении задач. [2].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Теоретические основы обучения математике в средней школе: Учеб. пособие / Под ред. Т. А. Ивановой. – Н. Новгород: НГПУ, 2003. - 198 с.Рогачева, Е. Ю. Педагогика Джона Дьюи в XX веке: кросс-культурный контекст / Е. Ю. Рогачева. - Владимир, 2005. - 333 с.
2.  Филиппова, И. В. Методика работы над математическими терминами, определениями, теоремами. [Электронный документ]: социальная сеть работников образования. Режим доступа: http://nsportal.ru/shkola/materialy-metodicheskikh-obedinenii/library/2016/03/22/metodika-raboty-nad-matematicheskimi - 07. 02. 2017
3. Саранцев, Г. И. Общая методика преподавания математики: Учеб. пособие для студентов мат. спец. педвузов и ун-тов. – М.: Просвещение, 2002. - 200 с.
4. Шмигирилова, И. Б. Теория и методика обучения математике в понятиях, схемах и таблицах / И. Б. Шмигирилова. - Петропавловск, 2007. - 148 с.
5. Теоретические основы обучения математике в средней школе: Учеб. пособие / Под ред. Т. А. Ивановой. – Н. Новгород: НГПУ, 2003. - 198 с.
6. Далингер, В. А. Методика обучения учащихся доказательству математических предложений. / В. А. Далингер. -  М.: Просвещение, 2006. - 256 с.